Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Сфера и шар

План урока

Сфера и шар.

Цели урока

Знать, что такое сфера, ее центр, радиус и диаметр;
Знать определение шара;
Знать формулу площади сферы;
Уметь вычислять площадь сферы;
Знать формулу объема шара;
Уметь вычислять объем шара.

Разминка

Какая фигура называется конусом?
Что такое цилиндр?
Что такое коническая поверхность?
Чему равна площадь боковой поверхности конуса?
Как найти объем конуса?

Сфера и шар

Сфера – поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (рис. 1).

Рис. 1. Сфера

На рисунке 1 данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние на рисунке обозначено $R$ и называется радиусом сферы. Также и любой отрезок, который соединяет любую точку сферы с ее центром, будет являться радиусом.

Диаметром сферы называется отрезок, который соединяет две точки сферы и проходит через ее центр. Понятно, что диаметр сферы в два раза больше ее радиуса, т.е. равен $2 R$ .

Шар – тело, ограниченное сферой.

Рис. 2. Шар

Центр, радиус и диаметр сферы также будут центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, что шар радиуса $R$ с центром $О$ содержит все точки пространства, расположенные от точки $О$ на расстоянии, не превышающем $R$ (включая и саму точку $О$ ), и не содержит других точек.

Шар получается при вращении полукруга или круга вокруг его диаметра $А В$ как оси (рис. 2).

Заметим, что в отличие от всяких других круглых тел шар имеет не одну, а бесчисленное множество осей. Любой диаметр может служить осью шара. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Любое сечение шара плоскостью будет являться кругом. Если секущая плоскость проходит через центр, в сечении получается круг, радиус которого равен радиусу шара. Такой круг называется большим кругом. Круг, плоскость которого не проходит через центр шара, называется малым кругом. Например, меридианы земного шара – это большие круги, а параллели (кроме экватора) – это малые круги. Экватор будет большим кругом.

Поверхность шара, даже если ее разрезать на части, нельзя развернуть на плоскости и представить в виде плоской фигуры. Поэтому для сферы не пригоден способ вычисления площади с помощью развёртки.

Площадь сферической поверхности шара ровно в четыре раза больше площади его большого круга. Т.е.

$S = 4 π R^{2}$ .

Объем шара радиуса $R$ находится по формуле:

$V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Доказательство этих формул будет рассмотрено в курсе стереометрии 11 класса.

Пример 1

Найдите площадь сферы, диаметр которой равен 12 см ( $π = 3, 14$ ).

Решение

Сначала найдем радиус, как половину диаметра:

$R = 12 : 2 = 6$ см.

Найдем площадь сферы по формуле:

$S = 4 π R^{2}$

$S = 4 \cdot 3, 14 \cdot 6^{2} = 452, 16$ см².

Ответ: 452,16 см².

Пример 2

Найдите объем шара, диаметр которого равен 18 см ( $π = 3, 14$ ).

Решение

Сначала найдем радиус, как половину длины диаметра:

$R = 18 : 2 = 9$ см.

Найдем объем шара по формуле $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ :

$V = \frac{4}{3} \cdot 3, 14 \cdot 9^{3} = 3052, 08$ см³.

Ответ: 3052,08 см³.

Пример 3

Отношение объемов двух шаров равно 27. Найдите, как относятся площади их поверхностей.

Решение

Составим отношение объемов двух шаров:

$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{4}{3} π R_{1}^{3}}{\frac{4}{3} π R_{2}^{3}} = 27$ .

Отсюда $\frac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}} = 27$ , тогда $\frac{R_{1}}{R_{2}} = 3$ .

$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{4 π R_{1}^{2}}{4 π R_{2}^{2}} = \frac{R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}} = {(\frac{R_{1}}{R_{2}})}^{2} = 3^{2} = 9$ .

Ответ: 9.

Упражнение 1

1. Найдите площадь сферы, диаметр которой равен 8 см ( $π = 3, 14$ ).

2. Найдите объем шара, диаметр которого равен 15 см ( $π = 3, 14$ ).

3. Отношение объемов двух шаров равно 8. Найдите, как относятся площади их поверхностей.

Контрольные вопросы

1. Что называется сферой?

2. Какое геометрическое тело называется шаром?

3. Что такое центр, радиус и диаметр сферы?

4. По какой формуле вычисляется площадь сферы?

5. По какой формуле вычисляется объем шара?

Ответы

Упражнение 1

1. 200,96 см². 2. 1766,25 см³. 3. 4

Конспект урока: Сфера и шар

Сфера и шар

Сфера и шар