Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

  • Общие сведения из стереометрии

  • Окружность

  • Векторы на плоскости и в пространстве

  • Сфера и шар

  • Конус

  • Преобразования на плоскости и в пространстве

  • Треугольники

  • Пирамида

  • Цилиндр

Конспект урока: Цилиндр

Цилиндр

28.03.2024
1574
0

Тела и поверхности вращения. Цилиндр

План урока

  • Тела и поверхности вращения;
  • Вычисление площади боковой поверхности и объема цилиндра.

Цели урока

  • Знать, что такое тела и поверхности вращения;
  • Знать, что такое цилиндр и его составные элементы;
  • Знать, что такое осевое сечение цилиндра;
  • Знать формулу объема цилиндра;
  • Знать, что такое развертка боковой поверхности цилиндра и чему равна ее площадь;
  • Уметь находить полную площадь боковой поверхности прямого цилиндра, объем цилиндра.

Разминка

  • Какой многогранник называется пирамидой?
  • Что такое призма?
  • Какие составные элементы пирамиды вы знаете?
  • Какая пирамида называется правильной?
  • Что такое апофема правильной пирамиды?
  • Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды?
  • Как найти площадь полной поверхности пирамиды?
  • Чему равна площадь круга? Длина окружности?

Тела и поверхности вращения. Цилиндр

 

Тело, образуемое вращением какой-нибудь плоской фигуры около неподвижной прямой линии, называется  телом вращения .  Неподвижная прямая называется осью вращения .

 

Вырежем из картона прямоугольник и насадим его на ось и будем очень быстро вращать вокруг этой оси. Наш глаз примерно в течении  116 секунды удерживает зрительное впечатление. Поэтому, если прямоугольник будет делать 15-20 оборотов в секунду, мы перестанем различать отдельные его положения, а увидим сплошное круглое тело.


Цилиндр – фигура, полученная вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.


Рис. 1. Цилиндр

На рисунке 1 цилиндр, полученный вращением прямоугольника AA1O1O вокруг одной из его сторон OO1 или прямоугольника AA1B1B вокруг прямой OO1, которая проходит через серединные точки противолежащих сторон.

 

Прямая OO1 называется осью цилиндра, отрезки AA1 и BB1 –  образующие цилиндра . В качестве высоты цилиндра  можно выбрать любой из отрезков AA1=BB1=OO1. Два круга, лежащих в параллельных плоскостях, которые образовались при вращении, называют  основаниями цилиндра . Радиус цилиндра  – это радиус его основания R=OA=OB.

При вращении стороны AA1, образуется поверхность, состоящая из множества отрезков (образующих цилиндра), параллельных оси цилиндра. Ее называют  цилиндрической или боковой поверхностью .

 

Таким образом, цилиндр – это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.

 

Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник AA1B1B (рис. 1).

 

Тела, имеющие форму цилиндра, встречаются довольно часто. Оси колес, стержни, валы, колонны, столбы, обтесанные бревна и многие другие предметы имеют форму цилиндра. Например, трубы, банки, стаканы, ведра имеют форму цилиндра, пустого внутри.


Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту

 

V=S·h,

 

            где V – объем цилиндра, S – площадь основания, h - высота цилиндра.


Так как основанием цилиндра является круг, а его площадь равна πR2, то объем цилиндра также можно вычислить по формуле:

V=πR2h.


Пример 1

 

Найдите объем цилиндра, если диаметр его основания равен 12 см, а высота равна 5 см (π=3,14).


Решение

 

Сначала найдем радиус основания, как половину диаметра:

 

R=12÷2=6 см.

 

Найдем объем цилиндра по формуле V=πR2h:

 

V=3,14·62·5=565,2 см3.

 

Ответ: 565,2 см3.


На рисунке 2 изображен цилиндр. Представьте себе,что его боковую часть разрезали по образующей AA1 и развернули таким образом, что получился прямоугольник. Этот прямоугольник называется  разверткой боковой поверхности цилиндра . Длина данного прямоугольника равна длине окружности основания, а ширина AA1 равна высоте цилиндра. Таким образом, легко получить формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра.

Рис. 2. Развёртка боковой поверхности цилиндра


Площадь Sбок боковой поверхности цилиндра равна площади ее развертки и находится по формуле:

 

Sбок=2πRh.


Площадь полной поверхности прямого цилиндра состоит из двух равных площадей оснований и площади боковой поверхности. Таким образом:

 

S=Sбок+2Sосн=2πRh+2πR2.


Пример 2

 

Точки O и O1 – центры оснований цилиндра, OA – радиус основания, AA1 – образующая цилиндра. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра, если O1A1=3 см, OO1=6 см (π=3,14).


Решение

 

Радиус R основания цилиндра R=OA=O1A1=3 см, OO1 будет являться высотой, т.е. h=OO1=6 см.

Найдем площадь боковой поверхности по формуле:

 

Sбок=2πRh

Sбок=2·3,14·3·6=113,04 см2

 

2. Найдем объем по формуле:

 

V=πR2h

V=3,14·32·6=169,56 см3

 

Ответ: 113,04 см2, 169,56 см3.


Упражнение 1

 

1. Найдите объем цилиндра, если диаметр его основания равен 20 см, а высота равна 12 см (π=3,14).

2. Точки O и O1 – центры оснований цилиндра, OA – радиус основания. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра, если OA=4 см, OO1=9 см (π=3,14).


Контрольные вопросы

 

1. Объясните, какое тело называется цилиндром?

2. Объясните, что такое цилиндрическая поверхность?

3. По какой формуле можно найти объем цилиндра?

4. Как вычислить площадь боковой поверхности цилиндра?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 3768 см3;

2. 226,08 см2, 452,16 см3.

Предыдущий урок
Пирамида
Пирамида
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Права и свободы человека и гражданина

    Обществознание

  • Табличные информационные модели

    Информатика

  • Сложноподчиненное предложение с несколькими придаточными. СПП с неоднородным соподчинением придаточных

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке