Онлайн школа №1 - Энциклопедия

Пирамида

План урока

Пирамида;
Вычисление площади боковой поверхности и объема пирамиды.

Цели урока

Знать, что такое пирамида и ее составные элементы;
Знать формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды;
Знать формулу объема пирамиды;
Уметь решать задачи на нахождение площади боковой поверхности пирамиды и объема.

Разминка

Что значит «объем тела»? Перечислите единицы измерения объемов.
Вспомните свойства объемов.
Чему равен объем куба?
Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда?
Чему равен объем призмы?

Пирамида

Пусть дан многоугольник $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ и точка $S$ , не лежащая в плоскости этого многоугольника. Соединив точку $S$ отрезками с вершинами многоугольника (рис. 1), получим $n$ треугольников $S A_{1} A_{2}$ , $S A_{2} A_{3}$ , …, $S A_{n} A_{1}$ , которые имеют общую вершину. Многогранник, составленный из $n -$ угольника $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ и этих треугольников, называется пирамидой.

Рис. 1. Пирамида

Многоугольник $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ называется основанием пирамиды, а указанные треугольники — боковыми гранями пирамиды. Точка $S$ называется вершиной пирамиды, а отрезки $S A_{1}$ , $S A_{2}$ , …, $S A_{n}$ — её боковыми ребрами. Обозначая пирамиду буквами, сначала пишут ту, которой обозначена вершина. Пирамиду с вершиной $S$ и основанием $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ обозначают так: $S A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ .

Рис. 2. Тетраэдр, четырехугольная и шестиугольная пирамиды

Пирамиды бывают разные (рис. 2). Например, треугольная, четырёхугольная и т.д., в зависимости от того, что является основанием – треугольник, четырёхугольник и т.д. Треугольная пирамида является многогранником с наименьшим числом граней.

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, называется высотой. На рисунке 1 отрезок $S H$ — высота пирамиды.

Пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник, а высота пирамиды опускается в центр этого многоугольника. В правильной пирамиде все боковые рёбра равны между собой. А все боковые грани – это равные равнобедренные треугольники. Высота $S H_{1}$ каждого из этих треугольников называется апофемой.

Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Вычисление площади боковой поверхности и объема пирамиды

Площадь поверхности пирамиды составляется из площадей ее основания и боковой поверхности.

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему, т.е.

$S_{б о к} = \frac{1}{2} P h_{1}$ ,

где $P$ - периметр основания, $h_{1}$ - апофема пирамиды.

Рис. 3. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

Пусть $S A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ правильная пирамида, $h_{1}$ длина апофемы пирамиды (рис. 3).

Мы знаем, что все апофемы правильной пирамиды равны. Боковыми гранями правильной пирамиды будут равные равнобедренные треугольники. Основаниями этих треугольников будут стороны правильного $n -$ угольника $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ , а высотами треугольников будут апофемы пирамиды, равные $h_{1} .$ Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Тогда:

$S_{б о к} = S_{∆ A_{1} S A_{2}} + S_{∆ A_{2} S A_{3}} + . . . + S_{∆ A_{n} S A_{1}} =$

$= \frac{1}{2} A_{1} A_{2} \cdot h_{1} + \frac{1}{2} A_{2} A_{3} \cdot h_{1} + . . . + \frac{1}{2} A_{n} A_{1} \cdot h_{1} =$

$= \frac{1}{2} \cdot h_{1} \cdot (A_{1} A_{2} + A_{2} A_{3} + . . . + A_{n} A_{1}) = \frac{1}{2} \cdot h_{1} \cdot P$ ,

где $P$ – периметр основания.

Теорема доказана.

Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, которая не является правильной, нужно вычислить по отдельности площади всех боковых граней, а затем сложить найденные площади.

Пример 1

Найдите площадь боковой поверхности правильной пятиугольной пирамиды, у которой сторона основания 20 см, а апофема равна 30 см.

Решение

1. Сначала найдем периметр основания. Так как пирамида пятиугольная, то в основании лежит правильный пятиугольник. Его периметр равен:

$P = 5 \cdot 20 = 100$ см.

2. Найдем площадь боковой поверхности по формуле:

$S_{б о к} = \frac{1}{2} P h_{1}$

$S_{б о к} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 30 = 1500$ см²

Ответ: 1500 см².

Теорема

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту

$V = \frac{1}{3} S h$ .

Пример 2

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания 12 см, а высота 10 см.

Решение

1. Так как пирамида правильная четырехугольная, то в основании будет квадрат. Площадь квадрата можно найти по формуле:

$S = a^{2}$

$S = 12^{2} = 144$ см².

2. По формуле объема вычислим:

$V = \frac{1}{3} S h$

$V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 10 = 480$ см³

Ответ: 480 см³.

Упражнение 1

1. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, у которой сторона основания 15 см, а апофема равна 20 см.

2. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания 10 см, а высота 9 см.

Контрольные вопросы

1. Какой многогранник называется пирамидой?

2. Какая пирамида называется правильной?

3. Что такое апофема правильной пирамиды?

4. Как найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

5. Чему равен объем пирамиды?

Ответы

Упражнение 1

1. 900 см².

2. 300 см³.

Конспект урока: Пирамида

Пирамида

Пирамида

Вычисление площади боковой поверхности и объема пирамиды