Конспект урока: Правильные многоугольники

Правильный многоугольник

Среди множества различных геометрических фигур на плоскости можно выделить большое семейство многоугольников. Что же означает слово «многоугольник»? Оно указывает на то, что у всех фигур этого семейства «много углов». Что мы получим, если вместо части слова «много» подставим конкретное число, например 5? Верно, мы получим пятиугольник.

Рис. 1. Правильные многоугольники

Посмотрите на рисунок 1. Здесь изображены некоторые правильные многоугольники.  Это равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и правильный шестиугольник.

Заметим, что бывают фигуры, у которых равны все стороны, а углы имеют разную величину. Например, такой фигурой является ромб. Возможна и обратная ситуация – все углы у фигуры равные, а стороны имеют разную длину. Примером такой фигуры будет прямоугольник.  Важно понимать, что такие фигуры (как, например, ромб и прямоугольник) не являются правильными многоугольниками.

Введем формулу для вычисления угла ${\alpha }_n$ правильного $n$– угольника.

Решение

Воспользуемся формулой ${\alpha }_n=\frac{n-2}{n}·180°$. Речь идет о пятиугольнике, значит $n=5$. Получим:

${\alpha }_5=\frac{5-2}{5}·180°=108°$

Ответ: $108°$.

Окружность, описанная вокруг правильного многоугольника

Напомним, что окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности. 

Центром окружности, описанной около правильного многоугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника (достаточно найти точку пересечения серединных перпендикуляров к двум соседним сторонам), а радиусом является отрезок биссектрисы угла многоугольника, соединяющий его вершину с центром.

Докажем теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

Рис. 2. Доказательство теоремы

Доказательство

 

Обозначим вершины правильного  $n$- угольника буквами $A_1,A_2,A_3,\dots ,A_n$. Проведем биссектрисы углов $A_1$ и $A_2$. Они пересекутся в точке О. Соединим О с другими вершинами многоугольника отрезками $O{A}_3$, $O{A}_4$ и т.д. (рис. 2).

$\angle A_1=\angle A_2$ по определению правильного многоугольника. Обозначим их через $\alpha$:

 $\angle A_1=\angle A_2=\alpha$.

$A_{1}O$ и $A_{2}O$ - это биссектрисы, которые разбивают углы $A_1$ и $A_2$ на равные углы:

$\angle O{A}_1{A}_2=\angle O{A}_2{A}_1=\frac{\alpha }{2}$

Получаем, что треугольник $O{A}_1{A}_2$ равнобедренный, т.к. имеет два равных угла. Поэтому: 

$O{A}_1=O{A}_2$

Теперь сравним треугольники $O{A}_1{A}_2$ и $O{A}_2{A}_3$. Они имеют общую сторону $O{A}_2$, равные стороны $A_1{A}_2$ и $A_2{A}_3$, а также равные углы $O{A}_2{A}_1$ и  $O{A}_2{A}_3$. Значит, эти треугольники равны:

$∆O{A}_1{A}_2=∆O{A}_2{A}_3$

Из равенства треугольников имеем:

$O{A}_3=O{A}_1$, $\angle O{A}_3{A}_2=\angle O{A}_1{A}_2=\frac{\alpha }{2}$.

Вычислим угол $\angle O{A}_3{A}_4$:

$\angle O{A}_3{A}_4=\angle A_3-\angle O{A}_3{A}_2=\alpha -\frac{\alpha }{2}=\frac{\alpha }{2}=\angle O{A}_3{A}_2$

Получаем, что отрезок $A_{3}O$ - это также биссектриса угла $A_3$. 

Повторяя все предыдущие рассуждения, можем доказать цепочку равенств:

$O{A}_4=O{A}_2, O{A}_5=O{A}_3, O{А}_6=O{A}_4, \dots$

Все эти равенства можно объединить:

$O{A}_1=O{A}_2=O{A}_3=O{A}_4=\cdots =O{A}_n$

Из этих равенств следует, что точка О равноудалена от вершин многоугольника. Следовательно, можно построить окружность с центром в точке О, на которой будут лежать все вершины $A_1, A_2, A_3 ,\dots , A_n$ многоугольника.

Докажем, что описанная окружность будет единственная. Рассмотрим какие-нибудь три вершины, например, $A_1, A_2, A_3$. Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника $A_1{A}_2{A}_3\dots A_n$ можно описать единственную окружность.

Теорема доказана.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. При этом многоугольник называется описанным около этой окружности.

Докажем теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Доказательство

Пусть $A_1{A}_2{A}_3\dots A_n$ - правильный многоугольник, 
$О$ - центр описанной окружности (рис.3). 

Рассуждая аналогично доказательству предыдущей теоремы, можно установить, что

$∆O{A}_1{A}_2=∆O{A}_2{A}_3=\cdots ∆O{A}_n{A}_1$

Рис. 3. Доказательство теоремы

Следовательно, высоты этих треугольников, проведённые из вершины $O$, также будут равны: 

 

$O{H}_1=O{H}_2=\cdots =O{H}_n$

 

Тогда окружность с центром $O$ и радиусом $O{H}_1$ проходит через точки $H_1, H_2, \dots , H_n$ и касается сторон многоугольника в этих точках, т. е. эта окружность вписана в данный правильный многоугольник.

 

Докажем единственность вписанной окружности.

Допустим, есть еще одна окружность с центром $O_1$, вписанная в многоугольник $A_1{A}_2{A}_3\dots A_n$. Тогда $O_1$ равноудалена от сторон многоугольника, т. е. точка $O_1$ лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой $O$ пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки $O$ до сторон многоугольника, т. е. равен $O{H}_1$. Таким образом, вторая окружность совпадает с первой.

 

Теорема доказана.

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

Правильный многоугольник, как и любая другая плоская фигура, имеет площадь  $S$ и периметр $P$. Длина стороны многоугольника обозначается $a_n$, где $n$ - количество сторон многоугольника. Мы доказали, что для каждого правильного многоугольника можно построить вписанную и описанную окружность. Радиус описанной окружности обозначается $R$, а радиус вписанной – $r$.

Докажем первую формулу. Соединим центр данного многоугольника с его вершинами (рис. 3). Тогда многоугольник разобьётся на $n$ равных треугольников, площадь каждого из которых будет равна $\frac{1}{2}{a}_{n}r$. 

Следовательно,

$S=n·\frac{1}{2}{a}_{n}r=\frac{1}{2}\left(n{a}_n\right)r=\frac{1}{2}Pr$

Для доказательства второй формулы рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1{H}_{1}O$, (рис.3). Помня, что $a_n=\frac{n-2}{n}·180°$ имеем:

$\angle A_1=\frac{a_n}{2}=\frac{n-2}{2n}·180°=\frac{180°n-360°}{2n}=\frac{180°n}{2n}-\frac{360°}{2n}=90°-\frac{180°}{n}$

Следовательно,

$a_n=2A_1{H}_1=2Rcos\left(90°-\frac{180°}{n}\right)=2Rsin\frac{180°}{n}$

Докажем третью формулу:

$r=O{H}_1=Rsin\left(90°-\frac{180°}{n}\right)=Rcos\frac{180°}{n}$

Вычислим сторону правильного треугольника, четырехугольника, шестиугольника.

$a_3=2Rsin\frac{180°}{3}=2Rsin60°=2R·\frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}$,

$a_4=2Rsin\frac{180°}{4}=2Rsin45°=2R·\frac{\sqrt{2}}{2}=R\sqrt{2}$,

$a_6=2R\sin \frac{180°}{6}=2Rsin30°=2R·\frac{1}{2}=R$.

Решение

Имеем $n=3$, $R=8$. Найти $r$.

По формуле $r=R \cos \frac{180°}{n}$ найдем $r$:

$r=R \cos \frac{180°}{n}=8 \cos \frac{180°}{3}=8 \cos 60°=8·\frac{1}{2}=4$.

Ответ: 4.

Построение правильных многоугольников

Задача построения правильного многоугольника легко решается при наличии транспортира. Сначала нужно по ранее выведенной формуле вычислить величину угла многоугольника. Далее строим сторону определенной длины и от её конца откладываем такую же сторону под заданным углом, после чего от конца второй стороны также откладываем третью сторону под тем же углом и т.д.

Однако интерес вызывают задачи, связанные с построением с помощью всего двух инструментов – циркуля и линейки. В этом случае построение правильного многоугольника становиться довольно сложной задачей. Рассмотрим две такие задачи.

Рис. 4. Задача 1

Решение

 

Мы уже знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу окружности, описанной около него, т.е. $a_6=R$. Пусть $KM$ — данный отрезок. Построим окружность радиуса $KM$ и отметим на ней произвольную точку $A_1$(рис. 4).

Затем, не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки $A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$ так, чтобы выполнялись равенства $A_1{A}_2=A_2{A}_3=A_3{A}_4=A_4{A}_5=A_5{A}_6$. Соединим последовательно все построенные точки отрезками. Искомый правильный шестиугольник $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6$.

Решение

Пусть дан правильный $n$- угольник $A_1{A}_2{A}_3\dots A_n$. Построим биссектрисы углов $A_1$ и $A_2$, пересекающиеся в точке $O$. Проведём окружность с центром $O$ радиуса $O{A}_1$ (рис. 2), получили окружность, описанную около $A_1{A}_2{A}_3\dots A_n$.

Рис. 5. Задача 2

Разделим дуги $A_1{A}_2,A_2{A}_3,\dots ,A_n{A}_1$пополам, обозначим эти середины $B_1,B_2,..,B_n$, соединим их отрезками с концами соответствующей дуги (рис. 5). 

 

На этом рисунке $n = 6$. Для построения точек $B_1,B_2,..,B_n$ можно воспользоваться серединными перпендикулярами к сторонам данного $n$- угольника. На рисунке 5 таким способом построен правильный двенадцатиугольник $A_1{B}_1{A}_2{B}_2\dots A_6{B}_6$. 

Используя  указанный способ, можно с помощью циркуля и линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них. Например, если построить правильный четырёхугольник, т. е. квадрат, и пользуясь результатом задачи 2, можно построить правильный восьмиугольник, затем правильный шестнадцатиугольник и вообще правильный $2^k$- угольник, где $k$ - любое целое число, большее двух. 

Рассмотренные примеры показывают, что многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Но не все правильные многоугольники можно построить таким образом. Доказано, например, что правильный семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки.