Конспект урока: Длина окружности и площадь круга

Длина окружности

Для начала вспомним, что такое окружность.

Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

Рис. 1. Длина окружности

Чтобы получить наглядное представление о длине окружности, представим себе, что окружность сделана из нерастяжимой нити. Если разрезать эту нить в какой-нибудь точке и распрямить, то получится отрезок, длина которого будет равна длине окружности (рис.1).

Рис. 2. Приближенное значение длины окружности

Если около правильного многоугольника описать окружность, то периметр этого многоугольника является приближенным значением длины окружности. Это приближенное значение длины окружности при увеличении числа сторон многоугольника становится практически равным периметру многоугольника (рис.2). Такое значение длины окружности - это предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон.

Выведем формулу, выражающую длину окружности через её радиус.

Пусть $C$ и $C_1$ – длины окружностей радиусов $R$ и $R_1$. В каждую из этих окружностей впишем правильный $n$-угольник. Пусть $P$ и $P_1$ – периметры этих 
$n$-угольников, а $a_n$и ${a^{\text{'}}}_n$ – их стороны. По формуле стороны правильного многоугольника $a_n=2R \sin \frac{180°}{n}$, можно выразить периметр:

$P=n·a_n=n·2R \sin \frac{180°}{n}$

$P_1=n·{a^{\text{'}}}_n=n·2R_1 \sin \frac{180°}{n}$

Тогда можно составить отношение
 

$\frac{P}{P_1}=\frac{2R}{2R_1}$.

При любых значениях $n$ это равенство имеет место. Теперь будем неограниченно увеличивать значение $n$. При $n\to \infty$$P\to C$, $P_1\to C_1$, тогда предел отношения  $\frac{P}{P_1}$равен $\frac{C}{C_1}$. Но, с другой стороны, этот предел равен отношению $\frac{2R}{2R_1}$. Таким образом, получаем:

$\frac{C}{C_1}=\frac{2R}{2R_1}$.

Из этого равенства несложно получить:

$\frac{C}{2R}=\frac{C_1}{2R_1}$.

В итоге мы показали, что отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать как $\pi$ (читается «пи»).

Тогда из равенства $\frac{C}{2R}=\pi$ получим формулу для вычисления длины окружности:

$C=2\pi R$

Докажем вторую формулу. Длина всей окружности равна $2\pi R$, тогда длина дуги окружности, равной 1°, будет равна $\frac{2\pi R}{360}=\frac{\pi R}{180}$, Получили, что длина дуги с градусной мерой $\alpha$ будет равна $\frac{\pi R}{180}·\alpha$.

Решение

Сначала найдем радиус окружности $R$ как половину диаметра: 

$R=10:2=5$.

Вычислим длину окружности по формуле $C=2\pi R$, приняв число $\pi =3,14$:

$C=2·3,14·5=31,4$

Ответ: 31,4.

Число пи

Для всех окружностей отношение длины окружности к ее диаметру - это одно и то же число. Его принято обозначать греч. буквой $\pi$ (читается «пи»).

$\pi =3,14159265\dots$

Это бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Обозначение числа $\pi$ происходит от первой буквы греческих слов периферия, что означает «окружность» и периметр. 

Рациональное число $\frac{22}{7}$ является приближенным значением числа $\pi$ с точностью до 0,002. Это приближенное значение было найдено ещё в III в. до н. э. великим греческим ученым Архимедом. 

В XX в. с приходом компьютерных систем и вычислительной техники дело пошло быстрее: теперь уже точные десятичные значения высчитывали машины. С помощью специальных алгоритмов математики во всем мире продолжают определять новые, более точные значения числа пи, устанавливая рекорды по количеству цифр десятичного разложения (после запятой в десятичной дроби).

При решении задач обычно используют приближенное значение числа $\pi$, равное 3,14.

Площадь круга

Рис. 3. Площадь круга

Докажем эту формулу. Пусть дан круг радиуса $R$ и с центром в точке $O$(рис. 3). 

 

Впишем в круг какой-нибудь правильный многоугольник $A_1{A}_2{A}_3\dots A_n$. Легко заметить, что площадь круга  $S$ будет больше площади правильного многоугольника $S_n$, ведь многоугольник целиком лежит в круге. В многоугольник $A_1{A}_2{A}_3\dots A_n$ впишем круг радиуса $r_n$ с центром в точке $O$. Его площадь $S^{\text{'}}$ будет меньше площади $S_n$ многоугольника $A_1{A}_2{A}_3\dots A_n$, так как круг целиком лежит в многоугольнике. Таким образом, можно записать неравенство:

 

$S^{\text{'}}<S_n<S$

 

Представим себе, что число сторон правильного многоугольника неограниченно увеличивается, т.е. $n\to \infty$. По изученной ранее формуле: $r_n=Rcos\frac{180°}{n}$, где $r_n$ - радиус вписанной окружности, а $R$ - радиус описанной окружности. При  $n\to \infty$ значение $\cos \frac{180°}{n}\to 1$, значит  $r_n\to R$. 

Мы получили, что при неограниченном увеличении сторон правильного многоугольника вписанная в него окружность «стремится» к описанной окружности, и тогда $S_n\to S$ при $n\to \infty$. 

Из формулы$S_n=\frac{1}{2}{P}_n{r}_n$, где $P_n$ - периметр многоугольника $A_1{A}_2{A}_3\dots A_n$, учитывая, что $r_n\to R$, $P_n\to 2\pi R$, $S_n\to S$ при  $n\to \infty$, получим:

 

$S=\frac{1}{2}2\pi R·R=\pi R^2$.

Эта задача, известная под названием квадратуры круга, не может быть решена. Действительно, если обозначить буквой $x$ сторону искомого квадрата, а буквой $R$ радиус круга, то получим уравнение:

$x^2=\pi R^2$,     $\pi R:x=x:R$

т.е. $x$ есть среднее пропорциональное между полуокружностью и радиусом. Значит, если известен отрезок, длина которого равна длине полуокружности, то легко построить квадрат, равновеликий данному кругу, и обратно: если известна сторона квадрата, равновеликого кругу, то можно построить отрезок, равный по длине полуокружности. Но с помощью циркуля и линейки нельзя построить отрезок, длина которого равнялась бы длине полуокружности; следовательно, нельзя в точности решить задачу о построении квадрата, равновеликого кругу. Приближенное решение можно выполнить, если предварительно найти приближенную длину полуокружности и затем построить среднее пропорциональное между отрезком этой длины и радиусом.

Решение

Найдем радиус круга, как половину диаметра:

$R=12:2=6$

Вычислим площадь круга по формуле $S=\pi R^2$:

$S=3,14·6^2=113,04$

Ответ: 113,04.

Площадь кругового сектора

Рис. 4. Круговой сектор

На рисунке 4 изображено два круговых сектора. Первый закрашенный сектор с дугой АМВ и второй сектор с дугой АКВ.

Действительно, так как площадь всего круга равна $\pi R^2$, то площадь сектора, ограниченного дугой в 1°, будет составлять $\frac{\pi R^2}{360}$. Поэтому площадь сектора, ограниченного дугой с градусной мерой $\alpha$ будет составлять $\frac{\pi R^2}{360}·\alpha$.

Рис. 5. Круговой сегмент

Очевидно, что если градусная мера дуги меньше 180°, то площадь сегмента легко найти, вычитая из площади сектора площадь равнобедренного треугольника, сторонами которого являются два радиуса и хорда сегмента.

Решение

Найдем площадь всего круга:

$S=\pi R^2=3,14·{20}^2=1256 \left(с{м}^2\right)$.

Найдем площадь сектора

$S=\frac{\pi R^2}{360}·\alpha =\frac{3,14·{20}^2}{360}·90=314 \left(с{м}^2\right)$.

Найдем площадь оставшейся части круга. Для этого из площади круга вычтем площадь сектора:

$S=1256-314=942 \left(с{м}^2\right)$.

Ответ: 942 см².