Конспект урока: Уравнение окружности

Рис. 1. Окружность (C; r)

Выведем уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (рис. 1).

1. Пусть центр окружности имеет координаты (x₀; y₀). 

2. Возьмем на окружности произвольную точку M (x; y). 

3. Запишем формулу расстояния между точками C и M: $MC=\sqrt{{(x-x₀)}^2+{(y-y₀)}^2}$;

4. Мы знаем, что длина отрезка, который соединяет любую точку на окружности с центром окружности – это радиус. 

Поэтому можно записать, что MC = r. 

5. Возведем MC в квадрат и получим уравнение MC² = r². 

6. Заменим MC² на выражение  ${(x-x₀)}^2+{(y-y₀)}^2$

и получим, что если точка лежит на окружности радиуса r и с центром в точке с координатами $\left(x_0; y_0\right)$, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению ${(x-x₀)}^2+{(y-y₀)}^2=r^2$

7. Если точка не лежит на окружности, например, K и N (рис. 1), то расстояние от этих точек до центра окружности не равно радиусу, поэтому координаты таких точек не будут удовлетворять полученному уравнению. Можно сказать, что 

Рис. 2. Окружность (O; r)

Запишем уравнение окружности радиуса r и с центром в начале координат (рис. 2). 

Начало координат имеет координаты (0; 0). Подставим их в уравнение окружности ${(x-x₀)}^2+{(y-y₀)}^2=r^2$ и получим, что 

Рис. 3

1. Запишем уравнение окружности в общем виде:  ${(x-x₀)}^2+{(y-y₀)}^2=r^2$ 

2. Проанализируем исходное уравнение 

(x – 5)² + (y – 3)² = 4.

Определимся с координатами центра окружности. Это будут числа 5 и 3, т.е. $(x_0; y_0)=(5; 3)$.

Определим величину радиуса окружности. Поскольку в правой части формулы стоит квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо извлечь квадратный корень из 4,   

$r = \sqrt{4} = 2.$

3. Значит,  формула (x – 5)² + (y – 3)² = 4 задает окружность с центром в точке с координатами (5; 3) и радиусом, равным 2 (рис. 3). 

Ответ: рис. 3.

Рис. 4

Решение

1. Уравнениями типа x² + y² = 9 описываются окружности с центром в начале координат.

2. Определим величину радиуса окружности. Поскольку в правой части формулы стоит квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо извлечь квадратный корень из 9.

Таким образом, $r = \sqrt{9}=3.$

 3. Значит, уравнение x² + y² = 9 задает окружность с центром в точке с координатами (0; 0) и радиусом, равным 3.

Рис. 6. Кольцо и концентрические окружности

Взаимное расположение двух окружностей

Исследуем, как могут располагаться две окружности.

Для начала рассмотрим случай, когда центры окружностей совпадают 
(рис. 6):

Рис. 7. Окружности не пересекаются

Рассмотрим случаи, когда центры окружностей не совпадают. Соединим их, расстояние между ними обозначим d, и назовем линией центров данной пары окружностей (рис. 7).

В данном случае взаимное расположение окружностей будет зависеть от соотношения между величиной d и величинами радиусов окружностей. 

Рис. 8. Окружности не пересекаются

Для того, чтобы было понятно, о какой окружности идет речь, радиус одной из окружностей обозначим за r, а радиус второй окружности – за R. 

И будем считать, что r ≤ R. 

• Если d > R + r, то, очевидно, что окружности не пересекаются. В этом случае говорят, что одна окружность лежит вне другой (рис. 7).
• Если d < R - r, то тогда одна окружность лежит внутри другой, но они не пересекаются (рис. 8).

Рис. 9. Внутренне касающиеся окружности

• Если d = R - r, тогда малая окружность лежит внутри большой, но имеет с ней одну  общую точку на линии центров. Такой случай называют внутренним касанием, а такие окружности называют внутренне касающимися (рис. 9)

Рис.10. Пересекающиеся окружности

• Если R – r < d < R + r , то окружности пересекаются в двух точках и называются пересекающимися (рис. 10).

Рис.11. Внешне касающиеся окружности

• Если d = R + r, то такие окружности имеют одну общую точку, причем центр одной из них расположен за пределами второй окружности. Такой вид касания называется внешним касанием, а такие окружности называются внешне касающимися. Точка касания внешне касающихся окружностей лежит на линии центров (рис. 11).