Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Координаты вектора

Векторы на плоскости и в пространстве

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора

План урока

  • Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
  • Координаты вектора

Цели урока

  • Знать понятие координатные векторы, чему равны координаты координатных векторов, лемму о коллинеарных векторах, утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам, правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.
  • Уметь доказывать: лемму о коллинеарных векторах, теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам, утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам, правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.
  • Уметь объяснять, что значит разложить вектор по двум данным векторам, как связаны между собой координаты равных векторов.
  • Уметь находить координаты вектора, применяя правила нахождения координат суммы и разности векторов, координат произведения вектора на число.

Разминка

  • Какой вектор называется произведением данного вектора на число?
  • Чему равно произведение ka, если: a=0k = 0?
  • Могут ли векторы a и ka быть неколлинеарными?
  • Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.

 

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

 

Вспомним, что при умножении вектора на число k мы получаем два коллинеарных вектора, которые либо сонаправлены, если k0, либо противоположно направлены, если k<0. Длины векторов различаются в k раз.

 

Справедливо и обратное суждение, которое отражено в  лемме (лемма – вспомогательная теорема, с помощью которой доказывается следующая теорема или несколько теорем):


Лемма

 

Если векторы a и b коллинеарны и a0то существует такое число k что b=ka .


Доказательство

Рис. 1 Рис. 1

Рассмотрим коллинеарные векторы a и b.Существует два случая: a и b либо сонаправлены, либо противоположно направлены.

1) ab. Возьмём число k, равное отношению длины векторов

 

 k = ba. Так как k0, то kaa,
следовательно, kab и их длины равны: ka=k·a=ba·a=b (рис. 1). Таким образом, b=ka.

Рис. 2 Рис. 2

2) ab . Возьмём число k, равное -ab. Так как k < 0, то kaa, но kabи их длины равны: ka=k·a=ba·a=b  
(рис. 2). Таким образом, b = ka. Лемма доказана.


Рис. 3. Пример 1 Рис. 3. Пример 1

Пример 1

 

Выразить коллинеарные векторы abc и m через коллинеарный им вектор i (рис. 3).


Решение

Рис. 4. Пример 1. Решение Рис. 4. Пример 1. Решение

1. Рассмотрим векторы a и iai. Значит, k0. Взяв длину вектора i за единицу (рис. 4), видим, что длина вектора в 3 раза больше, т.е. a=3·i.

 

2. Рассмотрим векторы b и ibi . Значит,  k0. При этом длина вектора b в 6,5 раз больше длины вектора i, т.е.  b=6,5·i.

3. Рассмотрим вектор c. Он противоположно направлен с вектором i. Поэтому k<0. К тому же длина вектора c в 5,5 раз больше длины вектора i. Значит, c = - 5,5 · i  

4. Рассмотрим вектор mm – нулевой вектор. Нам известно, что нулевой вектор сонаправлен любому вектору. И его длина равна нулю. Таким образом, вектор m = 0 · i.

 

Ответ: a=3·ib=6,5·ic=- 5,5·im= 0·i.


Вспомним правило параллелограмма сложения двух векторов. Если векторы-слагаемые AB и AD  отложены от одной точки, то, построив на них параллелограмм ABCD, мы получим вектор AC – их сумму. Обозначим вектор AC как вектор c. Тогда, c = AB + AD. В свою очередь вектор AB всегда можно выразить как произведение коллинеарного ему вектора a на некоторое число x, а вектор AD – как произведение коллинеарного ему вектора b  на некоторое число y. Тогда можно записать, что вектор c = xa  + yb. В таком случае говорят, что  вектор c  разложен по неколлинеарным векторам   a и b, где числа x и y, коэффициенты разложения


Теорема

 

На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.


Рис. 5 Рис. 5

Доказательство

 

Пусть данными векторами будут неколлинеарные векторы a и b (рис. 5). Докажем, что любой вектор c можно разложить по данным векторам.

1. Пусть c||b. Тогда по лемме о двух коллинеарных векторах получаем, что вектор c = yb. Также можно записать его разложение по векторам c = 0a + yb. Только коэффициент разложения при векторе a равен нулю, таким образом, вектор c разложен по векторам  a и b.

Рис. 6 Рис. 6

2. Пустьc || a || b (рис. 6): отметим некоторую точку O и отложим от неё векторы OAOB и OC равные векторам a,  b и c соответственно. Через точку C проведём прямую параллельную прямой OB. Точку пересечения полученной прямой с OA обозначим как A1.

 

По правилу треугольника вектор c=OA+ AC. Вектор OA коллинеарен вектору a, вектор AC коллинеарен вектору b. Это значит, что вектор OA = xa, а вектор AC = yb. Отсюда получаем, что вектор c = xa + yb. Тем самым мы разложили его по векторам a и b

Первая часть теоремы доказана. Действительно, на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам.


Теперь докажем, что коэффициенты разложения x и y определяются единственным способом.

 

Допустим, что кроме разложения c = xa + yb возможно другое разложение,  c = x1a + y1b. Вычтем второе равенство из первого. Получаем, что нулевой вектор можно разложить по векторам a и b, при этом коэффициенты разложения равны x - x1 и y - y1

 

Тогда 0 = x - x1a + y - y1b. Такое возможно только в том случае, если данные коэффициенты разложения равны нулю. А значит, при x = x1 и y = y1. Значит, коэффициенты разложения определяются единственным способом.


Пример 2

Рис. 7. Пример 2 Рис. 7. Пример 2

 

Разложите вектор c по векторам a и b (рис. 7).


Решение

 

Все векторы отложены от точки O. При этом векторы a,  b и c равны векторам OAOB и OC соответственно.

 

Через точку проведём прямую, параллельную OB. И точку пересечения этой прямой с ОА назовём A1.

 

По правилу треугольника вектор c = OA1+ A1C. Вектор OA1 || a, тогда его можно выразить OA1 = 3a.

 

Аналогично, выразим A1CA1CbA1C= 5b.

 

Тогда разложение вектора c по векторамa и bc = 3a + 5b.   

 

Ответ:  c = 3a + 5b.  


Пример 3

Рис. 8. Пример 3 Рис. 8. Пример 3

Разложите по двум векторам i и j вектор k, изображённый в координатной плоскости (рис. 8).


Решение

Рис. 9. Пример 3. Решение Рис. 9. Пример 3. Решение

Итак, рассмотрим k. Восстановим для него правило треугольника сложения двух векторов так, чтобы вектор k являлся вектором суммы, а векторы-слагаемые k и k были коллинеарны векторам i и jсоответственно.

 

Таким образом, k = 4i, а k = 7j. Поэтому k = 4i + 7j.

 

Ответ: k = 4i + 7j


Координаты вектора

Рис. 10. Прямоугольная система координат Рис. 10. Прямоугольная система координат

Из курса алгебры нам известна прямоугольная система координат. В ней есть оси x и y, а каждая отмеченная на плоскости точка имеет свои координаты, например (рис. 10) точка N (x0; y0). Используя эти координаты, можно свести решение многих геометрических задач к работе с чисто алгебраическими уравнениями. Естественно, что на координатной плоскости можно отметить и векторы. 

 

Построим два вектора, которые начинаются в начале координат, имеют длину, равную единице, и направление которых совпадает с направлениями осей координат. Тот вектор, который лежит на оси x, обозначим буквой i, а тот, который лежит на оси y, обозначим как j.


Векторы i и j называют координатными векторами .


Рис. 11 Рис. 11

Понятно, что любой вектор с можно разложить по векторам i и j. Причём коэффициенты разложения, числа x и y, определяются единственным образом (рис. 11), т.е. c = xi + yj.


Коэффициенты разложения вектора c  по координатным векторам называют  координатами вектора  c  в данной системе координат.

 

Координаты вектора записывают в фигурных скобках через точку с запятой. При этом первым будем записывать коэффициент разложения x, а вторым — y cx; y .


В Примере 3 мы раскладывали вектор k по двум векторам i и j (рис. 8). Итак, вектор  k = 4i + 7j, следовательно, его координаты  k 4; 7.

 

Коэффициенты разложения нулевого вектора по векторам i и j равны нулю. Тогда получаем, что


Нулевой вектор имеет координаты  {0; 0} , причём в любой системе координат и при любых координатных векторах.


Если векторы равны, то их разложения по векторам i и j также будут равны, а значит, равны будут и коэффициенты разложения. Таким образом, получаем, что 


Координаты равных векторов соответственно равны .


Рассмотрим ещё один особенный случай — противоположные векторы . Их разложения противоположны. Значит, противоположны будут и соответственные координаты.

 

Пользуясь приобретёнными знаниями о координатах вектора, получим правила нахождения координат векторов с помощью уже известных действий: сложения, вычитания и умножения вектора на число.


10. Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.


Доказательство

 

1. Рассмотрим сумму двух векторов a x1; y1  и b x2; y2

2. Пользуясь их координатами, запишем разложение данных векторов по координатным векторам: a = x1i + y1jb = x2i + y2j.

3. Сложим полученные равенства 

a + b = x + x1i+ y + y1j.

4. Пользуясь свойствами сложения векторов и произведения вектора на число, получаем, что координаты вектора суммы векторов a и b равны x + x1;  y + y1.


20. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.


Если   ax1; y1 и bx2; y2 – данные векторы, то a-b имеет координаты  x1x2;  y1y2. Доказывается аналогично 10 свойству.


30. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению  соответствующей координаты на это число.


Доказательство

 

1. Пусть а имеет координаты {x; y} 

2. Найдём координаты вектора ka, где k – произвольное число

3. Разложим вектор a через векторы i иja = xi + yj

4. Тогда ka = kxi+ kyj.

5. Таким образом, координаты вектора ka {kx; ky}


Все три правила в дальнейшем помогут определять координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.


Пример 4

 

Найти координаты вектора е  по координатам данных векторов 
a 0; 6b-3; 8c1; 4d-2; 7e=5b-12a+d-c.


Решение

 

Представим это выражение в виде суммы. Рассмотрим отдельно каждое слагаемое:

1. Вектор 5b имеет координаты {-3·5; 8·5} или {-15; 40}.

2. Вектор -12a имеет координаты 0·-12; 6·-120; -3

3. Координаты вектора d-2; 7

4. Координаты вектора -c-1; -4.

5. Координаты вектора е найдём как суммы соответствующих координат полученных векторов. В результате получаем, что е имеет координаты е -18; 40.

 

Ответ: е -18; 40.


Упражнение 1

 

1. Выразите коллинеарные векторы d и е через коллинеарный им вектор i (рис. 3).

2. Разложите по двум векторам i и j векторы mn, и l, изображённые в координатной плоскости (рис. 8).

3. Найдите координаты векторов mn, и l, изображённых в координатной плоскости (рис. 8).

4. Найдите координаты вектора f  по координатам данных векторов a0; 6 b-3; 8c1; 4d-2; 7, если f=3a + b + -2c + -d.


Контрольные вопросы

 

1. Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах.
2. Что значит разложить вектор по двум данным векторам?
3. Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
4. Что такое координатные векторы?

5. Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам.
6. Что такое координаты вектора?
7. Чему равны координаты координатных векторов?
8. Как связаны между собой координаты равных векторов?
8. Сформулируйте и докажите правила нахождения координат суммы и разности векторов, произведения вектора на число по заданным координатам векторов.


Ответы

 

Упражнение 1

 

       1. d=2·i; e = -12·i.

       2. m = 9i 2j; n =-3i  5j; l=-3i + 3j.

       3. m9; -2; n-3; -5;l-3; 3.

       4. f-9; -3.


Предыдущий урок
Сложение и вычитание векторов
Векторы на плоскости и в пространстве
Следующий урок
Умножение вектора на число
Векторы на плоскости и в пространстве
  • Координаты вектора

    Геометрия

  • Сельское хозяйство. Растениеводство

    География

  • Обобщение и систематизация основных понятий главы «Коммуникационные технологии»

    Информатика

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке