Координаты вектора

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора

План урока

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Координаты вектора

Цели урока

Знать понятие координатные векторы, чему равны координаты координатных векторов, лемму о коллинеарных векторах, утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам, правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.
Уметь доказывать: лемму о коллинеарных векторах, теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам, утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам, правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.
Уметь объяснять, что значит разложить вектор по двум данным векторам, как связаны между собой координаты равных векторов.
Уметь находить координаты вектора, применяя правила нахождения координат суммы и разности векторов, координат произведения вектора на число.

Разминка

Какой вектор называется произведением данного вектора на число?
Чему равно произведение $k \vec{a}$ , если: $\vec{a} = \vec{0}$ , $k = 0$ ?
Могут ли векторы $\vec{a}$ и $k \vec{a}$ быть неколлинеарными?
Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Вспомним, что при умножении вектора на число $k$ мы получаем два коллинеарных вектора, которые либо сонаправлены, если $k \geq 0$ , либо противоположно направлены, если $k < 0$ . Длины векторов различаются в $k$ раз.

Справедливо и обратное суждение, которое отражено в лемме (лемма – вспомогательная теорема, с помощью которой доказывается следующая теорема или несколько теорем):

Лемма

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и $\vec{a} \neq \vec{0}$ , то существует такое число $k$ что $\vec{b} = k \vec{a}$ .

Доказательство

Рис. 1

Рассмотрим коллинеарные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b} .$ Существует два случая: $\vec{a}$ и $\vec{b}$ либо сонаправлены, либо противоположно направлены.

1) $\vec{a} ↑ ↑ \vec{b}$ . Возьмём число $k$ , равное отношению длин векторов

$k = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$ . Так как $k \geq 0$ , то $k \vec{a} ↑ ↑ \vec{a}$ ,
следовательно, $k \vec{a} ↑ ↑ \vec{b}$ и их длины равны: $|k \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}| = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} \cdot |\vec{a}| = |\vec{b}|$ (рис. 1). Таким образом, $\vec{b} = k \vec{a}$ .

Рис. 2

2) $\vec{a} \overset{}{↑ ↓ \vec{b}}$ . Возьмём число $k$ , равное $- \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$ . Так как $k < 0$ , то $k \vec{a} ↑ ↓ \vec{a}$ , но $k \vec{a} ↑ ↑ \vec{b}$ и их длины равны: $|k \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}| = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} \cdot |\vec{a}| = |\vec{b}|$
(рис. 2). Таким образом, $\vec{b} = k \vec{a} .$ Лемма доказана.

Рис. 3. Пример 1

Пример 1

Выразить коллинеарные векторы $\vec{a}$ , $\vec{b},$ $\vec{c}$ и $\vec{m}$ через коллинеарный им вектор $\vec{i}$ (рис. 3).

Решение

Рис. 4. Пример 1. Решение

1. Рассмотрим векторы $\vec{a}$ и $\vec{i}$ : $\vec{a} ↑ ↑ \vec{i}$ . Значит, $k \geq 0$ . Взяв длину вектора $\vec{i}$ за единицу (рис. 4), видим, что длина вектора $\vec{a}$ в 3 раза больше, т.е. $\vec{a} = 3 \cdot \vec{i} .$

2. Рассмотрим векторы $\vec{b}$ и $\vec{i}$ : $\vec{b} ↑ ↑ \vec{i} .$ Значит, $k \geq 0$ . При этом длина вектора $\vec{b}$ в 6,5 раз больше длины вектора $\vec{i}$ , т.е. $\vec{b} = 6, 5 \cdot \vec{i} .$

3. Рассмотрим вектор $\vec{c}$ . Он противоположно направлен вектору $\vec{i}$ . Поэтому $k < 0$ . К тому же длина вектора $\vec{c}$ в 5,5 раз больше длины вектора $\vec{i}$ . Значит, $\vec{c} = - 5, 5 \cdot \vec{i}$

4. Рассмотрим вектор $\vec{m}$ : $\vec{m}$ – нулевой вектор. Нам известно, что нулевой вектор сонаправлен любому вектору. И его длина равна нулю. Таким образом, вектор $\vec{m} = 0 \cdot \vec{i}$ .

Ответ: $\vec{a} = 3 \cdot \vec{i}$ ; $\vec{b} = 6, 5 \cdot \vec{i}$ ; $\vec{c} = - 5, 5 \cdot \vec{i}$ ; $\vec{m} = 0 \cdot \vec{i}$ .

Вспомним правило параллелограмма сложения двух векторов. Если векторы-слагаемые $\vec{A B}$ и $\vec{A D}$ отложены от одной точки, то, построив на них параллелограмм $A B C D$ , мы получим вектор $\vec{A C}$ – их сумму. Обозначим вектор $\vec{A C}$ как вектор $\vec{c}$ . Тогда, $\vec{c}$ = $\vec{A B}$ + $\vec{A D}$ . В свою очередь вектор $\vec{A B}$ всегда можно выразить как произведение коллинеарного ему вектора $\vec{a}$ на некоторое число $x,$ а вектор $\vec{A D}$ – как произведение коллинеарного ему вектора $\vec{b}$ на некоторое число $y$ . Тогда можно записать, что $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$ . В таком случае говорят, что вектор $\vec{c}$ разложен по неколлинеарным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , а числа $x$ и $y$ называются коэффициентами разложения .

Теорема

На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Рис. 5

Доказательство

Пусть данными векторами будут неколлинеарные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 5). Докажем, что любой вектор $\vec{c}$ можно разложить по данным векторам.

1. Пусть $\vec{c} | | \vec{b}$ . Тогда по лемме о двух коллинеарных векторах получаем, что вектор $\vec{c} = y \vec{b}$ , где $y$ – некоторое число. Также можно записать его разложение в виде $\vec{c} = 0 \vec{a} + y \vec{b}$ . Коэффициент разложения при векторе $\vec{a}$ равен нулю, таким образом, вектор $\vec{c}$ разложен по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ .

Рис. 6

2. Пусть $\vec{c} | | \vec{a} | | \vec{b}$ (рис. 6): отметим некоторую точку $O$ и отложим от неё векторы $\vec{O A}$ , $\vec{O B}$ и $\vec{O C}$ равные векторам $\vec{a}$ , $\vec{b}$ и $\vec{c}$ соответственно. Через точку $C$ проведём прямую, параллельную прямой $O B$ . Точку пересечения полученной прямой с $O A$ обозначим как $A_{1}$ .

По правилу треугольника вектор $\vec{c} = \vec{O A} ₁ + \vec{A ₁ C}$ . Вектор $\vec{O A ₁}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$ , вектор $\vec{A ₁ C}$ коллинеарен вектору $\vec{b}$ . Это значит, что вектор $\vec{O A} ₁ = x \vec{a}$ , а вектор $\vec{A ₁ C} = y \vec{b}$ . Отсюда получаем, что вектор $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b} .$ Тем самым мы разложили его по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ .

Первая часть теоремы доказана. Действительно, на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам.

Теперь докажем, что коэффициенты разложения $x$ и $y$ определяются единственным способом.

Допустим, что кроме разложения $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$ возможно другое разложение, $\vec{c} = x_{1} \vec{a} + y_{1} \vec{b}$ . Вычтем второе равенство из первого. Получаем, что нулевой вектор можно разложить по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , при этом коэффициенты разложения равны $x - x_{1}$ и $y - y_{1}$ , т. е. $\vec{0} = (x - x_{1}) \vec{a} + (y - y_{1}) \vec{b}$ . Такое возможно только в том случае, если данные коэффициенты разложения равны нулю. Тогда $x = x_{1}$ и $y = y_{1}$ . Значит, коэффициенты разложения определяются единственным способом.

Пример 2

Рис. 7. Пример 2

Разложите вектор $\vec{c}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 7).

Решение

Все векторы отложены от точки O. При этом векторы $\vec{a}$ , $\vec{b}$ и $\vec{c}$ равны векторам $\vec{O A}$ , $\vec{O B}$ и $\vec{O C}$ соответственно.

Через точку C проведём прямую, параллельную OB. И точку пересечения этой прямой с ОА назовём A₁.

По правилу треугольника вектор $\vec{c} = \vec{O A_{1}} + \vec{A_{1} C}$ . Вектор $\vec{O A_{1}} | | \vec{a}$ , тогда его можно выразить $\vec{O A_{1}} = 3 \vec{a} .$

Аналогично, выразим $\vec{A_{1} C}$ : $\vec{A_{1} C} ∥ \vec{b}$ , $\vec{A_{1} C} = 5 \vec{b}$ .

Тогда разложение вектора $\vec{c}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ : $\vec{c} = 3 \vec{a} + 5 \vec{b} .$

Ответ: $\vec{c} = 3 \vec{a} + 5 \vec{b} .$

Пример 3

Рис. 8. Пример 3

Разложите по двум векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ вектор $\vec{k}$ , изображённый в координатной плоскости (рис. 8).

Решение

Рис. 9. Пример 3. Решение

Итак, рассмотрим $\vec{k}$ . Восстановим для него правило треугольника сложения двух векторов так, чтобы вектор $\vec{k}$ являлся вектором суммы, а векторы-слагаемые $\vec{k} ₁$ и $\vec{k} ₂$ были коллинеарны векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ соответственно.

Таким образом, $\vec{k} ₁$ = $4 \vec{i}$ , а $\vec{k} ₂$ = $7 \vec{j}$ . Поэтому $\vec{k}$ = $4 \vec{i}$ + $7 \vec{j}$ .

Ответ: $\vec{k} = 4 \vec{i} + 7 \vec{j}$

Рис. 10. Прямоугольная система координат

Из курса алгебры нам известна прямоугольная система координат. В ней есть оси $x$ и $y$ , а каждая отмеченная на плоскости точка имеет свои координаты, например (рис. 10) точка $N (x_{0}; y_{0})$ . Используя эти координаты, можно свести решение многих геометрических задач к работе с чисто алгебраическими уравнениями. Естественно, что на координатной плоскости можно отметить и векторы.

Построим два вектора, которые начинаются в начале координат, имеют длину, равную единице, и направления которых совпадают с направлениями осей координат. Тот вектор, который лежит на оси $x$ , обозначим буквой $\vec{i}$ , а тот, который лежит на оси $y$ , обозначим как $\vec{j}$ .

Векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ называют координатными векторами .

Рис. 11

Понятно, что любой вектор $\vec{с}$ можно разложить по векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ . Причём коэффициенты разложения, числа $x$ и $y$ , определяются единственным образом (рис. 11), т.е. $\vec{c} = x \vec{i} + y \vec{j}$ .

Коэффициенты разложения вектора $\vec{c}$ по координатным векторам называют координатами вектора $\vec{c}$ в данной системе координат.

Координаты вектора записывают в фигурных скобках через точку с запятой. При этом первым будем записывать коэффициент разложения $x$ , а вторым — $y$ : $\vec{c} \{x; y\}$ .

В Примере 3 мы раскладывали вектор $\vec{k}$ по двум векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ (рис. 8). Итак, вектор $\vec{k} = 4 \vec{i} + 7 \vec{j}$ , следовательно, его координаты $\vec{k} \{4; 7\}$ .

Коэффициенты разложения нулевого вектора по векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ равны нулю. Тогда получаем, что

Нулевой вектор имеет координаты ${0; 0}$ , причём в любой системе координат и при любых координатных векторах.

Если векторы равны, то их разложения по векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ также будут равны, а значит, равны будут и коэффициенты разложения. Таким образом, получаем, что

Координаты равных векторов соответственно равны .

Рассмотрим ещё один особенный случай — противоположные векторы . Их разложения противоположны. Значит, противоположны будут и соответственные координаты.

Пользуясь приобретёнными знаниями о координатах вектора, получим правила нахождения координат векторов с помощью уже известных действий: сложения, вычитания и умножения вектора на число.

1⁰. Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Доказательство

Рассмотрим сумму двух векторов $\vec{a} \{x_{1}; y_{1}\}$ и $\vec{b} \{x_{2}; y_{2}\}$

Пользуясь их координатами, запишем разложение данных векторов по координатным векторам: $\vec{a} = x_{1} \vec{i} + y_{1} \vec{j}$ , $\vec{b} = x_{2} \vec{i} + y_{2} \vec{j}$ .

Сложим полученные равенства, пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на число:

$\vec{a} + \vec{b} = (x_{1} + x_{2}) \vec{i} + (y_{1} + y_{2}) \vec{j}$ .

Координаты вектора суммы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны $\{x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2}\}$ .

2⁰. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Если $\vec{a} \{x_{1}; y_{1}\}$ и $\vec{b} \{x_{2}; y_{2}\}$ – данные векторы, то $\vec{a} - \vec{b}$ имеет координаты $\{x_{1} - x_{2}; y_{1} - y_{2}\}$ . Доказывается аналогично 1⁰ свойству.

3⁰. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Доказательство

Пусть вектор $\vec{a}$ имеет координаты ${x; y}$

Найдём координаты вектора $k \vec{a}$ , где $k$ – произвольное число

Разложим вектор $\vec{a}$ через векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ : $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j}$ .

Тогда $k \vec{a} = k x \vec{i} + k y \vec{j}$ .

Таким образом, координаты вектора $k \vec{a}$ ${k x; k y}$

Все три правила в дальнейшем помогут определять координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.

Пример 4

Найти координаты вектора $\vec{e} = 5 \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{d} - \vec{c}$ , если $\vec{a} \{0; 6\}$ , $\vec{b} \{- 3; 8\}$ , $\vec{c} \{1; 4\}$ , $\vec{d} \{- 2; 7\}$ .

Решение

Представим это выражение в виде суммы. Рассмотрим отдельно каждое слагаемое:

1. Вектор $5 \vec{b}$ имеет координаты ${- 3 \cdot 5; 8 \cdot 5}$ или ${- 15; 40}$ .

2. Вектор $(- \frac{1}{2} \vec{a})$ имеет координаты $\{0 \cdot (- \frac{1}{2}); 6 \cdot (- \frac{1}{2})\}$ , $\{0; - 3\}$ .

3. Координаты вектора $\vec{d} \{- 2; 7\}$ .

4. Координаты вектора $- \vec{c} \{- 1; - 4\}$ .

5. Координаты вектора $\vec{е}$ найдём как суммы соответствующих координат полученных векторов. В результате получаем, что $\vec{е}$ имеет координаты $\vec{е} \{- 18; 40\}$ .

Ответ: $\vec{е} \{- 18; 40\}$ .

Упражнение 1

1. Выразите коллинеарные векторы $\vec{d}$ и $\vec{е}$ через коллинеарный им вектор $\vec{i}$ (рис. 3).

2. Разложите по двум векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ векторы $\vec{m}$ , $\vec{n}$ , и $\vec{l}$ , изображённые в координатной плоскости (рис. 8).

3. Найдите координаты векторов $\vec{m}$ , $\vec{n}$ , и $\vec{l}$ , изображённых в координатной плоскости (рис. 8).

4. Найти координаты вектора $\vec{f} = 3 (\vec{a} + \vec{b} + (- 2 \vec{c}) + (- \vec{d}))$ , если $\vec{a} \{0; 6\}$ , $\vec{b} \{- 3; 8\}$ , $\vec{c} \{1; 4\}$ , $\vec{d} \{- 2; 7\}$ .

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах.
2. Что значит разложить вектор по двум данным векторам?
3. Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
4. Что такое координатные векторы?

5. Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам.
6. Что такое координаты вектора?
7. Чему равны координаты координатных векторов?
8. Как связаны между собой координаты равных векторов?
8. Сформулируйте и докажите правила нахождения координат суммы и разности векторов, произведения вектора на число по заданным координатам векторов.

Ответы

Упражнение 1

1. $\vec{d} = 2 \cdot \vec{i}; \vec{e} = - \frac{1}{2} \cdot \vec{i}$ .

2. $\vec{m} = 9 \vec{i} - 2 \vec{j}; \vec{n} = - 3 i - 5 \vec{j}; \vec{l} = - 3 \vec{i} + 3 \vec{j}$ .

3. $\vec{m} \{9; - 2\}; \vec{n} \{- 3; - 5\}; \vec{l} \{- 3; 3\}$ .

4. $\vec{f} \{- 9; - 3\}$ .

Конспект урока: Координаты вектора

Векторы на плоскости и в пространстве

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Координаты вектора