- Сумма нескольких векторов
- Вычитание векторов
- Знать понятия суммы трёх и более векторов, разности двух векторов.
- Уметь строить сумму нескольких векторов, используя правило многоугольника; строить разность двух данных векторов двумя способами.
- Объясните, какой вектор называется суммой двух векторов. В чём заключается правило треугольника сложения двух векторов?
- Чему равна сумма любого вектора и нулевого вектора?
- Сформулируйте законы сложения векторов.
- Сформулируйте правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов.
Сумма нескольких векторов
Рис. 1. Правило многоугольника
Складывать можно любое количество векторов. Для этого необходимо последовательно прикладывать эти векторы друг к другу так, чтобы конец предыдущего вектора был началом следующего, выстраивая «цепочку» векторов. Суммой этих векторов будет вектор, соединяющий начало первого вектора и конец последнего.
Пример сложения четырех векторов изображен на рисунке 1.
Рис. 2
Если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору (рис. 2).
В силу переместительного закона векторы можно прикладывать друг к другу в разной последовательности, при этом результат будет получаться один и тот же.
Пример 1
Рис. 3. Пример 1
Сложите, используя правило многоугольника, векторы, изображенные на рисунке (рис. 3). Выполните сложение двумя разными способами.
Решение
Рис. 4. 1 случай
- В первом случае последовательно сложим векторы и (рис. 4).
Рис. 5. 2 случай
2. Во втором случае изменим последовательность сложения. Например, сложим их в порядке (рис. 5).
3. Заметим, что каждый из двух способов дал один и тот же результат, что ещё раз подтверждает справедливость переместительного закона сложения векторов.
Вычитание векторов
Разностью векторов и называется такой вектор , сумма которого с вектором равна вектору . Разность векторов и обозначается так: .
Рис. 6. Разность векторов
Построим разность векторов и :
1. Отложим от произвольной точки O векторы и , соответственно равные данным векторам (рис. 6).
2. По правилу треугольника сумма векторов и равна вектору :
3. По определению разности векторов это означает, что вектор – это вектор, равный разности векторов и .
Построить разность векторов можно и другим способом.
Для этого нам понадобится понятие противоположного вектора.
Векторы и называются противоположными, если они имеют одинаковые длины и противоположно направлены (рис. 7).
Рис. 7. Противоположно направленные векторы
Вектор, противоположный вектору , обозначается вектором (минус вектор ).
Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору: .
Докажем теорему о разности двух векторов.
Для любых векторов и справедливо равенство
Доказательство
Воспользуемся определением разности векторов и получим следующее равенство:
Прибавим к обеим частям равенства вектор и преобразуем получившееся равенство:
Таким образом, доказали, что разность векторов и равна сумме вектора и вектора, противоположного вектору .
Рис. 8. Разность векторов
Для построения разности двух векторов воспользуемся доказанной теоремой.
1. Отметим произвольную точку O и от неё отложим вектор , равный вектору (рис. 8).
2. От точки A отложим вектор , равный вектору
Вектор будет суммой векторов и , а значит, и разностью векторов и .
Упражнение 1
1. В треугольнике MNK MN = 6, NK = 8, ∠N = 900. Найдите:
а) и
б) и
2. Дана трапеция MNKL с основаниями ML и NK. Чему равна сумма векторов ?
3. Дан параллелограмм MNKL. Выразите вектор через векторы и , если:
Контрольные вопросы
1. В чём заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов?
2. Какой вектор называется разностью двух векторов? Постройте разность двух данных векторов.
3. Какой вектор называется противоположным данному?
4. Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов.
Упражнение 1
1. а) -2; 10; б) 14; 10.
2.
3.
