Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Уравнение прямой

Векторы на плоскости и в пространстве

Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой

План урока

  • Уравнение линии на плоскости
  • Уравнение прямой

Цели урока

  • Знать, какое уравнение называется уравнением данной линии в заданной прямоугольной системе координат
  • Уметь выводить уравнение прямой
  • Знать и объяснять, что такое угловой коэффициент прямой и как, сравнивая угловые коэффициенты двух прямых, сделать вывод об их взаимном расположении (параллельны или пересекаются)
  • Уметь строить прямые с заданными уравнениями, используя при этом опыт, полученный при изучении курса алгебры

Разминка

  • Что такое радиус-вектор точки?
  • Как вычислить координаты вектора по координатам его начала и конца?
  • Как вычислить координаты середины отрезка по координатам его начала и конца?
  • Как найти длину отрезка по его координатам?
  • Как вычислить расстояние между двумя точками по их координатам?

 

Уравнение линии на плоскости 

Рис. 1. График линейной функции <i>y = x</i> Рис. 1. График линейной функции y = x

На уроках алгебры мы с вами уже знакомились с графиками некоторых функций.  Рассмотрим отдельно график линейной функции y=x (рис. 1). Если возьмем произвольные точки на этом графике, например, N1(x1; y1) и N2(x2; y2), то координаты этих точек будут удовлетворять следующему условию: x=y. Это же условие будет выполняться для любой точки, лежащей на этой прямой.  Но, если мы возьмем любую точку вне этого графика, например, А(x3; y3),  то координаты этой точки не будут удовлетворять условию: x=y. В таких случаях говорят, что уравнение 

y=x является уравнением прямой N1N2.

Рис. 2. График линии <i>L</i> Рис. 2. График линии L

Теперь введём понятие уравнения для произвольной линии. Пусть в декартовой системе координат дана произвольная линия L (рис. 2). 


Уравнение с двумя переменными x и y называется уравнением линии L , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии. 


Рис. 3. Парабола <i>y = x<sup>2</sup></i> Рис. 3. Парабола y = x2

Например, уравнением параболы, которая изображена на рисунке 3 будет уравнение y=x2. Для того, чтобы в этом убедиться, возьмем две точки: одну на параболе M(-3; 9), вторую — вне параболы N(3; 3). Подставив координаты обеих точек в уравнение y=x2 увидим, что координаты точки, лежащей на параболе, удовлетворяют нашему уравнению, а координаты точки, которая не лежит на параболе — не удовлетворяют. Очевидно, что координаты всех точек, которые лежат на параболе, будут удовлетворять этому уравнению. 

Уравнение прямой 

Рис. 4. Уравнение прямой <i>x = 3</i> Рис. 4. Уравнение прямой x = 3

В координатной плоскости прямая может располагаться либо вертикально (параллельно оси Oy), либо горизонтально (параллельно оси Ox), либо быть наклонной к обеим осям. 

 

Первым рассмотрим случай, когда прямая параллельна оси Oy.  Возьмем на оси Ox, например, точку с координатой 3 и проведем через эту точку прямую, параллельную оси Oy (рис. 4). Абсцисса любой точки этой прямой равна 3. То есть координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению x=3, а координаты любой точки, которая не лежит на данной прямой не удовлетворяют данному уравнению. Значит, уравнение x=3 является уравнением прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку с координатами (3; 0)

 

Можно сказать, что 


Произвольная прямая, параллельная оси Oy, задается уравнением x=x0 . Уравнение x=0 является уравнением оси Oy .


Пример 1 

 

Написать уравнения прямых, показанных на рисунке 5. 


Решение 

Рис. 5. Пример 1 Рис. 5. Пример 1

Для того, чтобы написать уравнение каждой прямой, запишем общее уравнение прямых, параллельных оси Oyx=x0

 

Итак, уравнения прямых: 

  • Фиолетовая прямая x=-2;
  • Зелёная прямая x=2;
  • Красная прямая x=6.

 

Ответ: x=-2x=2x=6


Рассмотрим теперь случай, когда прямая параллельна оси Ox. Возьмем на оси Oy, например, точку 5 и проведем через нее прямую, параллельную оси Ox. Любая точка этой прямой удовлетворяет уравнению y=5, любая точка, которая не лежит на этой прямой не удовлетворяет этому уравнению, значит, эту прямую задает уравнение y=5. (Построение выполняется аналогично рисунку 4). 

 

Можно сказать, что 


Произвольная прямая, параллельная оси Ox, задается уравнением y=y0 . Уравнение y=0  является уравнением оси Ox


Рис. 6. <i>l</i> — наклонная Рис. 6. l — наклонная

Рассмотрим случай, когда прямая наклонная к обеим осям (рис. 6).  

 

1. Отметим на координатной плоскости точки A(x1; y1) и B(x2; y2) так, чтобы указанная прямая l была серединным перпендикуляром к отрезку AB

 

2. Теперь возьмем произвольную точку N(x; y). Если точка N лежит на прямой l, то, очевидно, что длины отрезков AN и BN будут равны. Найдем эти отрезки и приравняем их: 

 

AN=x-x12+y-y12;  

BN=x-x22+y-y22

 

Получим уравнение: 

x-x12+y-y12=x-x22+y-y22:

 

Если точка N не лежит на прямой, то, очевидно, что отрезки AN и BN не будут равны и координаты точки N не будут удовлетворять этому уравнению. 

 

3. Раскроем скобки и выполним элементарные преобразования. Введем замену: 

 

a=2x1-x2;

 

b=2y1-y2;

 

c=x22+y22-x12-y12

 

4. Получим уравнение ax+by+c=0

 

Так как в самом начале мы говорили, что точки A и B — различные точки, то хотя бы одна из разностей x1-x2 и y1-y2 не равна нулю, то есть хотя бы один из коэффициентов a и b не равен нулю. Таким образом можно сказать, что  


Уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени и имеет вид: ax+by+c=0


Если в уравнении ax+by+c=0 коэффициент b отличен от нуля, то уравнение можно записать:  

 

y=kx+d ,

 

где  k=-ab d=-cb . Число  k  называется угловым коэффициентом прямой , заданной этим уравнением. 


Две параллельные прямые , не параллельные оси Oy, имеют одинаковые угловые коэффициенты .


Если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты , то эти прямые параллельны .


Пример 2 

 

Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A(1; -1) и B(-3; 2)


Решение 

 

1. y=kx+d

2. Составим и решим систему: 

 

-1=k·1+d,2=k·-3+d,

 

k+d=-1,-3k+d=2,

 

-k-d=1,-3k+d=2.

 

Сложим уравнения системы: 4k = 3k = 0,75.  

 

Ответ: -0,75


Упражнение 1 

 

1. Среди предложенных уравнений прямых выберите те, которые задают прямые, параллельные прямой y=5x7:  

 

а) y=2x+3; б) y=5x3; в) y=x7; г) y=5x+4

 

2. Даны координаты вершин трапеции ABCDA(-2; -2);  B(-3; 1)C(7; 7)D(3; 1). Написать уравнения прямых, содержащих диагонали AC и BD.


Контрольные вопросы 

 

1. Какое уравнение называется уравнением данной линии?

2. Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе координат. 

3. Что такое угловой коэффициент прямой?

4. Напишите уравнения прямых, проходящих через данную точку и параллельных осям координат.

5. Напишите уравнения осей координат.


Ответы

Упражнение 1

 

1. б) y=5x3 и г) y=5x+4

 

2. ACy=xBDy=1


Предыдущий урок
Координаты вектора
Векторы на плоскости и в пространстве
Следующий урок
Умножение вектора на число
Векторы на плоскости и в пространстве
  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Обмен веществ и энергии: энергетический обмен

    Биология

  • Сложноподчиненное предложение с несколькими придаточными. СПП с однородным соподчинением придаточных

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке