Онлайн школа №1 - Энциклопедия

Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой

План урока

Уравнение линии на плоскости
Уравнение прямой

Цели урока

Знать, какое уравнение называется уравнением данной линии в заданной прямоугольной системе координат
Уметь выводить уравнение прямой
Знать и объяснять, что такое угловой коэффициент прямой и как, сравнивая угловые коэффициенты двух прямых, сделать вывод об их взаимном расположении (параллельны или пересекаются)
Уметь строить прямые с заданными уравнениями, используя при этом опыт, полученный при изучении курса алгебры

Разминка

Что такое радиус-вектор точки?
Как вычислить координаты вектора по координатам его начала и конца?
Как вычислить координаты середины отрезка по координатам его начала и конца?
Как найти длину вектора по его координатам?
Как вычислить расстояние между двумя точками по их координатам?

Уравнение линии на плоскости

Рис. 1. График линейной функции y = x

На уроках алгебры мы с вами уже знакомились с графиками некоторых функций. Рассмотрим отдельно график линейной функции $y = x$ (рис. 1). Если возьмем произвольные точки на этом графике, например, $N_{1} (x_{1}; y_{1})$ и $N_{2} (x_{2}; y_{2})$ , то координаты этих точек будут удовлетворять следующему условию: $x = y$ . Это же условие будет выполняться для любой точки, лежащей на этой прямой. Но, если мы возьмем любую точку вне этого графика, например, $А (x_{3}; y_{3})$ , то координаты этой точки не будут удовлетворять условию: $x = y$ . В таких случаях говорят, что уравнение

$y = x$ является уравнением прямой $N_{1} N_{2}$ .

Рис. 2. График линии L

Теперь введём понятие уравнения для произвольной линии. Пусть в декартовой системе координат дана произвольная линия $L$ (рис. 2).

Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнением линии $L$ , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии $L$ и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Рис. 3. Парабола y = x²

Например, уравнением параболы, которая изображена на рисунке 3 будет уравнение $y = x^{2}$ . Для того, чтобы в этом убедиться, возьмем две точки: одну на параболе $M (- 3; 9)$ , вторую — вне параболы $N (3; 3)$ . Подставив координаты обеих точек в уравнение $y = x^{2}$ увидим, что координаты точки, лежащей на параболе, удовлетворяют нашему уравнению, а координаты точки, которая не лежит на параболе — не удовлетворяют. Очевидно, что координаты всех точек, которые лежат на параболе, будут удовлетворять этому уравнению.

Уравнение прямой

Рис. 4. Уравнение прямой x = 3

В координатной плоскости прямая может располагаться либо вертикально (параллельно оси $O y$ ), либо горизонтально (параллельно оси $O x$ ), либо быть наклонной к обеим осям.

Первым рассмотрим случай, когда прямая параллельна оси $O y$ . Возьмем на оси $O x$ , например, точку с координатой $3$ и проведем через эту точку прямую, параллельную оси $O y$ (рис. 4). Абсцисса любой точки этой прямой равна $3$ . То есть координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению $x = 3$ , а координаты любой точки, которая не лежит на данной прямой не удовлетворяют данному уравнению. Значит, уравнение $x = 3$ является уравнением прямой, параллельной оси $O y$ и проходящей через точку с координатами $(3; 0)$ .

Можно сказать, что

Произвольная прямая, параллельная оси $O y$ , задается уравнением $x = x_{0}$ . Уравнение $x = 0$ является уравнением оси $O y$ .

Пример 1

Написать уравнения прямых, показанных на рисунке 5.

Решение

Рис. 5. Пример 1

Для того, чтобы написать уравнение каждой прямой, запишем общее уравнение прямых, параллельных оси $O y$ : $x = x_{0}$ .

Итак, уравнения прямых:

Фиолетовая прямая $x = - 2$ ;
Зелёная прямая $x = 2$ ;
Красная прямая $x = 6$ .

Ответ: $x = - 2$ ; $x = 2$ ; $x = 6$ .

Рассмотрим теперь случай, когда прямая параллельна оси $O x$ . Возьмем на оси $O y$ , например, точку $5$ и проведем через нее прямую, параллельную оси $O x$ . Любая точка этой прямой удовлетворяет уравнению $y = 5$ , любая точка, которая не лежит на этой прямой не удовлетворяет этому уравнению, значит, эту прямую задает уравнение $y = 5$ . (Построение выполняется аналогично рисунку 4).

Можно сказать, что

Произвольная прямая, параллельная оси $O x$ , задается уравнением $y = y_{0}$ . Уравнение $y = 0$ является уравнением оси $O x$ .

Рис. 6. l — наклонная

Рассмотрим случай, когда прямая наклонная к обеим осям (рис. 6).

1. Отметим на координатной плоскости точки $A (x_{1}; y_{1})$ и $B (x_{2}; y_{2})$ так, чтобы указанная прямая $l$ была серединным перпендикуляром к отрезку $A B$ .

2. Теперь возьмем произвольную точку $N (x; y)$ . Если точка $N$ лежит на прямой $l$ , то, очевидно, что длины отрезков $A N$ и $B N$ будут равны. Найдем эти отрезки и приравняем их:

$A N = \sqrt{{(x - x_{1})}^{2} + {(y - y_{1})}^{2}}$ ;

$B N = \sqrt{{(x - x_{2})}^{2} + {(y - y_{2})}^{2}}$ .

Получим уравнение:

${(x - x_{1})}^{2} + {(y - y_{1})}^{2} = {(x - x_{2})}^{2} + {(y - y_{2})}^{2}$ :

Если точка $N$ не лежит на прямой, то, очевидно, что отрезки $A N$ и $B N$ не будут равны и координаты точки $N$ не будут удовлетворять этому уравнению.

3. Раскроем скобки и выполним элементарные преобразования. Введем замену:

$a = 2 (x_{1} - x_{2})$ ;

$b = 2 (y_{1} - y_{2})$ ;

$c = {x_{2}}^{2} + {y_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} - {y_{1}}^{2}$

4. Получим уравнение $a x + b y + c = 0$ .

Так как в самом начале мы говорили, что точки $A$ и $B$ — различные точки, то хотя бы одна из разностей $x_{1} - x_{2}$ и $y_{1} - y_{2}$ не равна нулю, то есть хотя бы один из коэффициентов $a$ и $b$ не равен нулю. Таким образом можно сказать, что

Уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени и имеет вид: $a x + b y + c = 0$ .

Если в уравнении $a x + b y + c = 0$ коэффициент $b$ отличен от нуля, то уравнение можно записать:

$y = k x + d$ ,

где $k = - \frac{a}{b}$ ; $d = - \frac{c}{b}$ . Число $k$ называется угловым коэффициентом прямой, заданной этим уравнением.

Две параллельные прямые, не параллельные оси $O y$ , имеют одинаковые угловые коэффициенты.

Если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.

Пример 2

Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $A (1; - 1)$ и $B (- 3; 2)$ .

Решение

Уравнение прямой имеет вид $a x + b y + c = 0$ . Так как точки $A$ и $B$ лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют этому уравнению. Подставим их в уравнение, получим систему:

$\{\begin{cases} a - b + c = 0, \\ - 3 a + 2 b + c = 0 . \end{cases}$

Выразим из первого уравнения системы $a$ , подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

$\{\begin{cases} a = b - c, \\ - 3 b + 3 c + 2 b + c = 0 . \end{cases}$

Откуда

$\{\begin{cases} a = b - c, \\ - b + 4 c = 0, \end{cases} \{\begin{cases} a = 3 c, \\ b = 4 c . \end{cases}$

Подставим выражения для $a$ и $b$ в уравнение прямой и, разделив левую и правую части уравнения на $c (c \neq 0)$ , получим уравнение прямой, проходящей через заданные точки: $3 x + 4 y + 1 = 0$ . Здесь $a = 3$ , $b = 4$ , $c = 1$ .

Так как угловой коэффициент прямой $k$ равен $k = - a b$ , то имеем $k = - 0, 75$ .

Ответ: $- 0, 75$ .

*Данную задачу можно было решить и подставляя координаты точек $A$ и $B$ в уравнение вида $y = k x + d$ .

Упражнение 1

1. Среди предложенных уравнений прямых выберите те, которые задают прямые, параллельные прямой $y = 5 x - 7$ :

а) $y = 2 x + 3$ ; б) $y = 5 x - 3$ ; в) $y = x - 7$ ; г) $y = 5 x + 4$ .

2. Даны координаты вершин трапеции $A B C D$ : $A (- 2; - 2)$ ; $B (- 3; 1)$ ; $C (7; 7)$ ; $D (3; 1)$ . Написать уравнения прямых, содержащих диагонали $A C$ и $B D$ .

Контрольные вопросы

1. Какое уравнение называется уравнением данной линии?

2. Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе координат.

3. Что такое угловой коэффициент прямой?

4. Напишите уравнения прямых, проходящих через данную точку и параллельных осям координат.

5. Напишите уравнения осей координат.

Ответы

Упражнение 1

1. б) $y = 5 x - 3$ и г) $y = 5 x + 4$ .

2. $A C$ : $y = x$ ; $B D$ : $y = 1$ .

Конспект урока: Уравнение прямой

Векторы на плоскости и в пространстве

Уравнение линии на плоскости

Уравнение прямой