1-klass, literatura

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. Простейшие задачи в координатах

План урока

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца
Простейшие задачи в координатах

Цели урока

Знать понятие радиус-вектора точки
Знать формулы для нахождения координат середины отрезка, длины вектора, расстояния между двумя точками
Уметь выводить формулу, связывающую координаты вектора с координатами его конца и начала, формулы координат середины отрезка, длины вектора и расстояния между двумя точками с известными координатами
Уметь находить координаты вектора по координатам его начала и конца, координаты середины отрезка по координатам его начала и конца, длину вектора по его координатам, расстояние между двумя точками по их координатам
Уметь объяснять, в чём состоит метод координат при изучении свойств геометрических фигур, решать этим методом геометрические задачи

Разминка

Запишите разложение по координатным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ вектора $\vec{a} \{2; - 1\} .$
Запишите координаты вектора $\vec{c}$ , если его разложение по координатным векторам имеет вид $\vec{c} = - \vec{i} + 2 \vec{j} .$
Найдите координаты вектора $\vec{b}$ , равного разности векторов $\vec{m}$ и $\vec{t}$ , если $\vec{m} \{- 5; 0\}, \vec{t} \{0; - 4\}$ .
Найдите координаты вектора $3 \vec{t}$ , если $\vec{t} \{4; - 2\}$ .
Дано: $\vec{a} \{3; - 2\}, \vec{b} \{2; - 3\}$ . Найдите координаты вектора $\vec{m} = \vec{a} - 4 \vec{b} .$

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

Рис. 1 . Координаты точки N

Сегодня мы ответим на вопрос «Как связаны координаты вектора с координатами его начала и конца?». Но для начала вернёмся к координатам точки в прямоугольной системе координат. Найдем координаты точки N (рис. 1).

Рис. 2

1. Опустим перпендикуляры из данной точки к осям координат.

2. Точки пересечения данных прямых с осями обозначим как N₁ и N₂.

3. Абсциссой точки N является число x, которое является длиной отрезка ОN₁. А ординатой — число y, которое является длиной отрезка ОN₂. N(x, y),

x = ОN₁, y = ОN₂ (рис. 2).

Пример 1

Определить координаты точек A, B, C, D, Е и F (рис. 3).

Рис. 3. Пример 1

Решение

$A (6; 6),$

$B (9; - 6),$

$C (- 8; 0),$

$D (- 1; - 7),$

$E (0; 5),$

$F (- 7; 6)$

Проведём вектор из точки O к точке N (рис. 2).

Вектор $\vec{O N}$ называют радиус-вектором точки $N$ .

Рис. 4. Радиус-векторы

Рассмотрим рисунок 4. Для точки A радиус-вектором будет вектор $\vec{O A}$ , для точки B — вектор $\vec{O B}$ , для точки C — $\vec{O C}$ , для точки D — $\vec{O D}$ , радиус-вектором точки E является вектор $\vec{O E}$ , а радиус-вектором точки F — вектор $\vec{O F}$ .

Докажем следующее утверждение:

Координаты точки N равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Рис. 5

Доказательство

По правилу параллелограмма $\vec{O N} = \vec{O N} ₁ + \vec{O N} ₂ .$

Докажем, что вектор $\vec{O N} ₁ = x \vec{i}$ , а вектор $\vec{O N} ₂ = y \vec{j}$ . Тем самым мы докажем, что вектор $\vec{O N} \{x; y\} .$

Рис. 6

Если $x > 0$ (рис. 2), то $O N ₁ = x$ . Так как $\vec{O N} ₁$ и $\vec{i}$ сонаправлены, то $\vec{O N} ₁ = O N ₁ \vec{i} = x \vec{i} .$

Если $x < 0$ (рис. 5), то $- O N ₁ = x,$ и векторы $\vec{O N} ₁$ и $\vec{i}$ противоположно направлены, следовательно, $\vec{O N} ₁ = - O N ₁ \vec{i} = x \vec{i} .$

Если $x = 0$ (рис. 6), то $O N ₁ = 0, \vec{O N} ₁ = \vec{0},$ следовательно, $\vec{O N} ₁ = 0 \vec{i} = x \vec{i} .$

Аналогично доказывается, что вектор $\vec{O N} ₂ = y \vec{j}$ .

Таким образом, $\vec{O N} = \vec{O N} ₁ + \vec{O N} ₂ = x \vec{i} + y \vec{j},$ следовательно, $\vec{O N} \{x; y\},$ то есть координаты вектора $\vec{O N} \{x; y\}$ такие же, как и у точки N.

Рис. 7 Координаты векторов

Вернёмся к рисункам 3 и 4: можем сказать, что координаты точки $A (6; 6)$ равны соответствующим координатам радиус-вектора $\vec{O A}$ . Значит, вектор $\vec{O A} \{6; 6\}$ Аналогично, вектор $\vec{O B} \{9; - 6\}$ , $\vec{O C} \{- 8; 0\}$ , $\vec{O D} \{- 1; - 7\}$ , $\vec{O E} \{0; 5\}$ , $\vec{O F} \{- 7; 6\}$ .

Обратите внимание, что координаты точек помогают определить их расположение в пределах координатной плоскости, а вот координаты векторов указывают на перемещение относительно осей x и y. Если взять две несовпадающие точки, то они однозначно имеют различные координаты в отличие от двух несовпадающих векторов (рис. 7).

Два несовпадающих вектора могут иметь одинаковые координаты в том случае, если векторы равны.

Итак, мы доказали, что координаты точки N равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Радиус-вектором точки называют вектор, начало которого совпадает с точкой начала координат, а конец — с данной точкой.

Рис. 8

Пользуясь этим утверждением, выразим координаты вектора $\vec{A B}$ через координаты его начала и конца. Пусть точка A имеет координаты (x₁; y₁), а точка B имеет координаты (x₂; y₂). Вектор $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A}$ (рис. 8). А они в свою очередь являются радиус-векторами точек B и A соответственно. А это значит, что координаты вектора $\vec{O B} \{x_{2}; y_{2}\}$ , а координаты вектора $\vec{O A} \{x_{1}; y_{1}\}$ .

Можем найти координаты вектора разности: $\vec{O B} - \vec{O A} \{x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}\}$ , $\vec{A B} \{x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}\}$ . Понятно, что эти значения и будут координатами вектора $\vec{A B} .$ Так мы доказали, что

каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Пример 2

По координатам точек $A$ и $B$ найти координаты вектора $\vec{A B} :$

$a) A (3; - 1), B (8; 8);$

$б) A (0; 2), B (- 3; 7) .$

Решение

a) $\vec{A B} {8 - 3; 8 - (- 1)}, \vec{A B} {5; 9} .$

б) $\vec{A B} {- 3 - 0; 7 - 2}, \vec{A B} {- 3; 5} .$

Ответ: а) $\vec{A B} {5; 9},$ б) $\vec{A B} {- 3; 5} .$

Простейшие задачи в координатах

Рассмотрим три вспомогательные задачи, которые будем использовать при решении геометрических задач методом координат.

Первой решим задачу на определение координат середины отрезка.

Пример 3

Рис. 9 Пример 3

Точка A (x₁; y₁) и точка B (x₂; y₂) - некоторые точки координатной плоскости. Точка М — середина отрезка AB. Определите координаты точки М (рис. 9).

Решение

Воспользуемся ранее доказанным утверждением и на основании того, что M — середина AB, запишем, что вектор $\vec{O M}$ равен полусумме векторов $\vec{O A}$ и $\vec{O B}$ , т.е. $\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ .

Векторы $\vec{O A}$ и $\vec{O B}$ являются радиус-векторами точек A и B соответственно. Значит, координаты вектора $\vec{O A} \{x_{1}; y_{1}\},$ а координаты вектора $\vec{O B} \{x_{2}; y_{2}\}$ .

Вектор их суммы будет иметь координаты {x₁+x₂; y₁ + y₂}.

Тогда координаты вектора их полусуммы $\frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ равны ${\frac{x_{1} + x_{2}}{2}; \frac{y_{1} + y_{2}}{2}}$ .

Эти значения и будут координатами вектора $\vec{O M}$ , который, в свою очередь, является радиус-вектором точки M. А это значит, что координаты точки M равны соответствующим координатам её радиус-вектора $\vec{O M}$ .

Ответ: $M (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}; \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$ .

Таким образом, мы получили, что

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Рис. 10. Пример 4

Пример 4

Даны точки M (12; 8) и N (-3; 6). Найти координаты точек K и L, если K — середина MN, а N — середина KL

(рис. 10).

Решение

K $(\frac{12 + (- 3)}{2}; \frac{8 + 6}{2})$ ; K (4,5; 7)

N: $\{\begin{cases} - 3 = \frac{4, 5 + x_{L}}{2}, \\ 6 = \frac{7 + y_{L}}{2}; \end{cases}$

L (-10,5; 5).

Ответ: K (4,5; 7), L (-10,5; 5).

Решим вторую вспомогательную задачу.

Пример 5

Вычислите длину вектора по его координатам.

Рис. 11 Пример 5

Решение

Пусть дан вектор $\vec{a}$ . От начала координат отложим вектор $\vec{O A}$ равный вектору $\vec{a}$

(рис. 11).

Проведём перпендикуляры АА₁ и АА₂ к осям координат.

Если точка A имеет координаты (x; y), то и её радиус-вектор $\vec{O A}$ имеет такие же координаты. При этом координаты вектора $\vec{a}$ также равны (x; y), так как $\vec{O A} = \vec{a} .$

Итак, можно сказать, что длина отрезка OА₁ = |x|, а длина отрезка А₁А = OА₂ = |y|.

Длину отрезка ОА можем выразить из прямоугольного треугольника ОА₁А:

ОA² = OА₁² + А₁А²;

$О А = \sqrt{O {А_{1}}^{2} + A_{1} A^{2}}$ ;

$О А = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

Из того, что $\vec{O A} = \vec{a}$ следует, что $\vec{|O A|} = \vec{|a|}$ . Таким образом, $O A = \vec{|a|}$

Получаем, что $|\vec{a}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ , причём от какой бы точки вектор не был бы отложен.

Ответ: $|\vec{a}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$

Длина вектора $\vec{a} {x; y}$ вычисляется по формуле

$|\vec{a}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

Пример 6

Вычислите длины векторов по их координатам, если $\vec{a} {1; 2 \sqrt{2}}$ и $\vec{b} {- 1; 0} .$

Решение

$| \vec{a} | = \sqrt{1^{2} + {(2 \sqrt 2)}^{2}};$

$| \vec{a} | = \sqrt{1 + 8};$

$| \vec{a} | = \sqrt{9};$

$| \vec{a} | = 3 .$

$|\vec{b}| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 0^{2}};$

$|\vec{b}| = \sqrt{1};$

$|\vec{b}| = 1 .$

Ответ: $|\vec{a}| = 3$ , $|\vec{b}| = 1 .$

Рассмотрим третью вспомогательную задачу.

Пример 7

Определите расстояние между двумя точками по их координатам.

Рис. 12 Пример 7

Решение

Пусть точка N₁(x_1;y₁), а точка N₂(x_2;y₂).

Выразим расстояние d между этими точками через их координаты (рис. 12).

Рассмотрим вектор $\vec{N ₁ N ₂} {x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}}$ . Длина этого вектора может быть найдена по формуле:

$| \vec{N ₁ N ₂} | = \sqrt{{(x ₂ - x ₁)}^{2} + {(y ₂ - y ₁)}^{2}} .$

Так как $| \vec{N ₁ N ₂} | = d,$ то расстояние между точками N₁(x_1;y₁) и N₂(x_2;y₂) можно найти по формуле $d = \sqrt{{(x ₂ - x ₁)}^{2} + {(y ₂ - y ₁)}^{2}} .$

Ответ: $d = \sqrt{{(x ₂ - x ₁)}^{2} + {(y ₂ - y ₁)}^{2}} .$

Отсюда получаем, что

Расстояние между двумя точками находят как корень квадратный из суммы квадратов разностей соответствующих координат данных точек, по формуле $d = \sqrt{{(x ₂ - x ₁)}^{2} + {(y ₂ - y ₁)}^{2}}$ .

Можно сказать также, что данная формула служит для нахождения длины отрезка по координатам его концов.

Пример 8

Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Рис. 13 Пример 8

Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC,

где ∠ C = 90° (рис. 13).

Обозначим буквой M середину гипотенузы AB.

Введем систему координат с началом в точке C (рис. 13):

A (0; b), B (a; 0), C (0; 0).

По формулам координат середины отрезка найдём координаты точки $M :$ $M (\frac{а}{2}; \frac{b}{2}) .$

По формуле расстояния между двумя точками найдем длины отрезков MC и MA:

$M C = \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{b}{2})}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}};$

$M A = \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{b}{2} - b)}^{2}} =$

$= \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}};$

Таким образом, MC = MA = MB.

Пример 9

Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Рис. 14. Пример 9

Доказательство

Построим параллелограмм ABCD в прямоугольной системе координат с началом в вершине A (0; 0) (рис. 14).

AD = BC = a, вершина B (b; c), точка D (a; 0), а C (a + b; c)

По формуле расстояния между двумя точками:

AB² = b² + c², AD² = a², AC² = (a + b)²+c², BD² = (a - b)² + c².

Получаем:

AB² + BC² + СD² + DA² = 2(AB² + AD²) = 2(a² + b²+c²).

AC² + BD²= (a + b)²+c² + (a - b)² + c² = 2(a² + b²+c²).

Таким образом, AB² + BC² + СD² + DA² = AC² + BD², что и требовалось доказать.

Упражнение 1

1. По координатам точек A и B найти координаты вектора $\vec{A B}$ :
а) A ( $\frac{1}{2}$ ; 0), B (0; 0); б) A (10; 4), B (5; -1); в) A (0; 0), B (-7; 1); г) A (-3; -3), B (10; 10).

2. Найдите координаты точки M, являющейся серединой отрезка AB.

A(x_1;y₁)	(3; 3)	(-4; 0)	( $\frac{1}{2}$ ; 4)	(-7; 2)
B(x_2;y₂)	(1; 1)	(2; 15)	(2,5; 8)	(5; -2)
M (x; y)	( ; )	( ; )	( ; )	( ; )

Рис. 15. Упражнение 4

3. Вычислите длины векторов по их координатам, если $\vec{a} {0; 0}$ и $\vec{b} {15; 20}$

4. На оси Ox и на оси Oy найти точки, равноудалённые от точек A(1; 2) и B(-3;4) (рис. 15).

Контрольные вопросы

1. Что такое радиус-вектор точки?

2. Как вычислить координаты вектора по координатам его начала и конца?

3. Как вычислить координаты середины отрезка по координатам его начала и конца?

4. Как найти длину вектора по его координатам?

5. Как вычислить расстояние между двумя точками по их координатам?

Ответы

а) $\vec{A B} \{- \frac{1}{2}; 0\}$ , б) $\vec{A B} \{- 5; - 5\}$ , в) $\vec{A B} \{- 7; 1\}$ , г) $\vec{A B} \{13; 13\}$ .

A(x_1;y₁)	(3; 3)	(-4; 0)	( $\frac{1}{2}$ ; 4)	(-7; 2)
B(x_2;y₂)	(1; 1)	(2; 15)	(2,5; 8)	(5; -2)
M (x; y)	(2; 2)	(-1 ; 7,5)	(1,5; 6)	(-1; 0)

3. $|\vec{a}| = 0, | \vec{b} | = 25 .$

4. N (-2,5; 0), M (0; 5).

Конспект урока: Простейшие задачи в координатах

Векторы на плоскости и в пространстве

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

Простейшие задачи в координатах