Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Простейшие задачи в координатах

Векторы на плоскости и в пространстве

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. Простейшие задачи в координатах

План урока

  • Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца
  • Простейшие задачи в координатах

Цели урока

  • Знать понятие радиус-вектора точки
  • Знать формулы для нахождения координат середины отрезка, длины вектора, расстояния между двумя точками
  • Уметь выводить формулу, связывающую координаты вектора с координатами его конца и начала, формулы координат середины отрезка, длины вектора и расстояния между двумя точками с известными координатами
  • Уметь находить координаты вектора по координатам его начала и конца, координаты середины отрезка по координатам его начала и конца, длину отрезка по его координатам, расстояние между двумя точками по их координатам
  • Уметь объяснять, в чём состоит метод координат при изучении свойств геометрических фигур, решать этим методом геометрические задачи

Разминка

  • Запишите разложение по координатным векторам i и j вектора  a 2; 1.
  • Запишите координаты вектора c, если его разложение по координатным векторам имеет вид  c =-i + 2 j.
  • Найдите координаты вектора b, равного разности векторов m  и t, если m 5; 0, t 0; 4.
  • Найдите координаты вектора 3t, если t 4; 2.
  • Дано: a3; 2, b2; 3. Найдите координаты вектора m = a  4b.

 

 Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

 

Рис. 1 . Координаты точки N Рис. 1 . Координаты точки N
Сегодня мы ответим на вопрос «Как связаны координаты вектора с координатами его начала и конца?». Но для начала вернёмся к координатам точки в прямоугольной системе координат. Найдем координаты точки N (рис. 1).

Рис. 2 Рис. 2

1. Опустим перпендикуляры из данной точки к осям координат.

2. Точки пересечения данных прямых с осями обозначим как N1 и N2.

3. Абсциссой точки является число x, которое является длиной отрезка ОN1. А ординатой — число y, которое является длиной отрезка ОN2N(x, y), 

x = ОN1, y = ОN2 (рис. 2).


Пример 1

 

Определить координаты точек A, B, C, D, Е и F (рис. 3).


Рис. 3. Пример 1 Рис. 3. Пример 1

Решение

 

A (6; 6),

B (9; -6),

C (-8; 0),

D (-1; -7),

E (0; 5),

F (-7; 6)


Проведём вектор из точки O к точке N (рис. 2).


Вектор ON называют  радиус-вектором точки N


Рис. 4. Радиус-векторы Рис. 4. Радиус-векторы

Рассмотрим рисунок 4. Для точки A радиус-вектором будет вектор OA, для точки B — вектор OB, для точки C — OC, для точки D — OD радиус-вектором точки E является вектор OE, а радиус-вектором точки F — вектор OF

 

Докажем следующее утверждение: 


Координаты точки N равны соответствующим координатам её радиус-вектора.


Рис. 5 Рис. 5

Доказательство

 

По правилу параллелограмма ON = ON+ ON.

Докажем, что вектор  ON = xi, а вектор  ON=yj. Тем самым мы докажем, что вектор ON {x; y}.

Рис. 6 Рис. 6

Если x > 0 (рис. 2), то ON= x. Так как  ONи  i сонаправлены, то ON=ONi=xi

Если x < 0 (рис. 5), то ON=-x,и векторы ON и i противоположно направлены, следовательно, ON=-ONi=xi

Если x = 0 (рис. 6), то  ON=0, ON=0, следовательно, ON= 0i = xi. 

Аналогично доказывается, что вектор ON = yj.

Таким образом, ON = ON + ON = xi + yj, следовательно,  ON {x; y},  то есть координаты вектора  ON {x; y} такие же, как и у точки N.

 

Рис. 7 Координаты векторов Рис. 7 Координаты векторов

Вернёмся к рисункам 3 и 4: можем сказать, что координаты точки A (6; 6) равны соответствующим координатам радиус-вектора OA. Значит, вектор OA 6; 6  Аналогично, вектор  OB 9; -6OC-8; 0OD-1; -7OE0; 5OF-7; 6.

 

Обратите внимание, что координаты точек помогают определить их расположение в пределах координатной плоскости, а вот координаты векторов указывают на перемещение относительно осей x и y. Если взять две несовпадающие точки, то они однозначно имеют различные координаты в отличие от двух несовпадающих векторов (рис. 7).


Два несовпадающих вектора могут иметь  одинаковые координаты  в том случае, если векторы равны


Итак, мы доказали, что координаты точки N равны соответствующим координатам её радиус-вектора. 


Радиус-вектором точки называют вектор, начало которого совпадает с точкой начала координат, а конец — с данной точкой.


Рис. 8 Рис. 8

Пользуясь этим утверждением, выразим координаты вектора AB через координаты его начала и конца. Пусть точка A имеет координаты (x1; y1), а точка B имеет координаты (x2; y2). Вектор AB = OB - OA (рис. 8). А они в свою очередь являются радиус-векторами точек B и A соответственно. А это значит, что координаты вектора OBx2;y2, а координаты вектора OAx1; y1.

Можем найти координаты вектора разности: OB-OAx2-x1; y2-y1ABx2-x1; y2-y1. Понятно, что эти значения и будут координатами вектора AB. Так мы доказали, что


каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.


Пример 2

 

По координатам точек A и B найти координаты вектора AB

 

a) A (3; -1), B (8; 8);

б) A (0; 2), B (-3; 7)


Решение

 

a) AB{8  3; 8(1)}, AB{5; 9}.

б) AB{ 3  0; 7  2}, AB{-3; 5}.

 

Ответ: а) AB {5; 9}, б) AB {-3; 5}.


Простейшие задачи в координатах

 

Рассмотрим три вспомогательные задачи, которые будем использовать при решении геометрических задач методом координат.

Первой решим задачу на определение координат середины отрезка.


Пример 3

Рис. 9 Пример 3 Рис. 9 Пример 3
Точка A (x1; y1) и точка B (x2; y2)  - некоторые точки координатной плоскости. Точка М — середина отрезка AB. Определите координаты точки М (рис. 9).


Решение

 

Воспользуемся ранее доказанным утверждением и на основании того, что M — середина AB, запишем, что вектор OM  равен полусумме векторов OA и OB, т.е. OM =12(OA + OB)

Векторы OA и OB являются радиус-векторами точек A и B соответственно. Значит, координаты вектора OA {x1; y1},, а координаты вектора  OB {x2; y2},.

Вектор их суммы будет иметь координаты {x+ x2; y1 + y2}

Тогда координаты вектора их полусуммы 12(OA + OB) равны {x1+x22; y1+y22}.

Эти значения и будут координатами вектора OM, который в свою очередь является радиус-вектором точки M. А это значит, что координаты точки M равны соответствующим координатам её радиус-вектора OM {x+x2; y+y2}

 

Ответ: OM {x1+x22; y1+y22}

 

Таким образом, мы получили, что 


Каждая  координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.


Рис. 10. Пример 4 Рис. 10. Пример 4

Пример 4

 

Даны точки M (12; 8) и N (-3; 6). Найти координаты точек K и L, если K — середина MN, а N — середина KL 

(рис. 10).


Решение

 

(12+(-3)2; 8+62) = K (4,5; 7)

N: -3=4,5+xL2 6=7+yL2 

L (-10,5; 5). 

 

Ответ: K (4,5; 7), L (-10,5; 5).

Решим вторую вспомогательную задачу.


Пример 5

 

Вычислите длину вектора по его координатам


Рис. 11 Пример 5 Рис. 11 Пример 5

Решение

 

Пусть дан вектор a. От начала координат отложим вектор OA равный вектору a 

(рис. 11). 

Проведём перпендикуляры АА1 и АА2 к осям координат.

Если точка A имеет координаты (x; y), то и её радиус-вектор OAимеет такие же координаты. При этом координаты вектора a также равны (x; y), так как OA = a

Итак, можно сказать, что длина отрезка 1 = |x|, а длина отрезка А1А = OА2 = |y|.

Длину отрезка ОА можем выразить из прямоугольного треугольника ОА1А:

ОA2 = OА12 + А1А2;

ОА=OА12+ A1A2

ОА=x2+y2

Из того, что OA = a следует, что OA = a. Таким образом, OA = a 

Получаем, что длина вектора a=x2+y2, причём от какой бы точки он не был отложен.

 

Ответ: a=x2+y2


Длина вектора  a{x; y} вычисляется по формуле 

 

a=x2+y2 .


Пример 6

 

Вычислите длины векторов по их координатам, если a{1; 22} и b{-1; 0}


Решение

 

|a|=12+(22)2

|a|=1+8;

|a|=9;

|a|=3

 

b=(-1)2+02

b=1

b=1

 

Ответ: a=3b=1

 

Рассмотрим  третью вспомогательную задачу.

 


Пример 7

 

Определите расстояние между двумя точками по их координатам


Рис. 12 Пример 7 Рис. 12 Пример 7

Решение

 

Пусть точка N(x1; y1), а точка N(x2; y2).

Выразим расстояние d между этими точками через их координаты (рис. 12).

Рассмотрим вектор NN {x2-x1; y2-y1}. Длина этого вектора может быть найдена по формуле:

|NN|=(x-x)2+(y-y)2

 

Так как |NN|=d, то расстояние между точками N(x1; y1) и N(x2; y2) можно найти по формуле  d=(x-x)2+(y-y)2

 

Ответ: d=(x-x)2+(y-y)2


Отсюда получаем, что 


Расстояние между двумя точками находят как корень квадратный из суммы квадратов разностей соответствующих координат данных точек, по формуле d=(x-x)2+(y-y)2 .

 


Можно сказать также, что данная формула служит для нахождения длины отрезка по координатам его концов.


Пример 8

 

Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин


Рис. 13 Пример 8 Рис. 13 Пример 8

Доказательство

 

Рассмотрим треугольник ABC, 

где ∠ C = 90° (рис. 13).

Обозначим буквой середину гипотенузы AB.

Введем систему координат с началом в точке (рис. 13): 

A (0; b), B (a; 0), C (0; 0).

По формулам координат середины отрезка найдём координаты M (а2; b2)..

По формуле расстояния между двумя точками найдем длины отрезков MC и MA:

MC=(a2)2+(b2)2=12a2+b2;

MA=(a2)2+(b2-b)2=

=12a2+b2;

Таким образом, MCMA = MB.


Пример 9

 

Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.


Рис. 14. Пример 9 Рис. 14. Пример 9

Доказательство

 

Построим параллелограмм ABCD в прямоугольной системе координат с началом в вершине A (0; 0) (рис. 14).

AD = BC = a, вершина B (b; c), точка D (a; 0), а C (a + b; c) 

По формуле расстояния между двумя точками:

AB2 = b2 + c2, AD2 = a2, AC2 = (a + b)2+c2, BD2 = (a - b)2 + c2.

Получаем: 

AB2 + BC2 + СD2 + DA2 = 2(AB2 + AD2) = 

= 2(a2 + b2+c2).

AC2 + BD= (a + b)2+c2 + (a - b)2 + c2 = 2(a2 + b2+c2).

Таким образом, AB2 + BC2 + СD2 + DA2AC2 + BD2, что и требовалось доказать.


Упражнение 1

 

1. По координатам точек  A и B найти координаты вектора AB
а) A (12; 0), B (0; 0); б) A (10; 4), B (5; -1); в) A (0; 0), B (-7; 1); г) A (-3; -3), B (10; 10).

 

2. Найдите координаты точки M, являющейся серединой отрезка AB.

 

A (x1; y1)

(3; 3)

(-4; 0)

(124)

(-7; 2)

B (x2; y2)

(1; 1)

(2; 15)

2,5; 8)

(5; -2)

M (x; y)

(  ;  )

(  ;  )

(  ;  )

(  ;  )

 

Рис. 15. Упражнение 4 Рис. 15. Упражнение 4

3. Вычислите длины векторов по их координатам, если a{0; 0} и b{15; 20}

 

4. На оси Ox и на оси Oy найти точки равноудалённые от точек A(1; 2) и B(-3;4) (рис. 15).


Контрольные вопросы

 

1. Что такое радиус-вектор точки?

2. Как вычислить координаты вектора по координатам его начала и конца?

3. Как вычислить координаты середины отрезка по координатам его начала и конца?

4. Как найти длину отрезка по его координатам?

5. Как вычислить расстояние между двумя точками по их координатам?


Ответы

 

  1. а) AB-12; 0, б) AB-5; -5, в) AB-7; 1, г) AB13; 13.

       2.

A (x1; y1)

(3; 3)

(-4; 0)

(124)

(-7; 2)

B (x2; y2)

(1; 1)

(2; 15)

2,5; 8)

(5; -2)

M (x; y)

(2; 2)

(-1 ; 7,5)

(1,5; 6)

(-1; 0)

 

3. a  = 0, |b| = 25.

4. N (-2,5; 0), M (0; 5).

Предыдущий урок
Начальные сведения из стереометрии. Многогранники
Общие сведения из стереометрии
Следующий урок
Скалярное произведение векторов
Векторы на плоскости и в пространстве
  • Сложное предложение с различными видами связи

    Русский язык

  • Сложение и вычитание векторов

    Геометрия

  • Общество и власть после Первой российской революции

    История

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке