Наименьшее общее кратное

План урока

Наименьшее общее кратное чисел
Алгоритмы нахождения наименьшего общего кратного чисел

Цели урока

Знать, что такое наименьшее общее кратное чисел
Знать алгоритмы нахождения наименьшего общего кратного чисел
Уметь находить наименьшее общее кратное чисел

Разминка

Что обозначает аббревиатура НОД?
Как найти наибольший общий делитель двух чисел?

Наименьшее общее кратное

Конфеты "Мишка на Севере" продаются по 12 штук в коробке, а конфеты "Белочка" — по 15 штук в коробке. Какое наименьшее число коробок конфет того и другого сорта необходимо купить, чтобы конфет обоих сортов было поровну?

Чтобы решить задачу, давайте распишем, сколько конфет каждого вида будет, если купить 1, 2, 3, …, 7 коробок конфет, т. е. найдем первые семь чисел, кратных 12 и 15.

Кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84.

Кратные 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105.

Среди кратных есть общее — 60, оно является наименьшим.

Значит, необходимо купить 5 коробок конфет «Мишка на Севере» (т. к. это пятое кратное) и 4 коробки конфет «Белочка».

Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится нацело на каждое из данных натуральных чисел.

Наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$ обозначается так: НОК ( $a; b$ ).

Решая задачу, мы нашли НОК (12; 15) = 60.

Алгоритмы нахождения наименьшего общего кратного чисел

1. Разложить числа на простые множители.

2. Выписать множители, входящие в разложение одного их чисел.

3. Выписать к ним недостающие множители из разложений остальных чисел.

4. Найти произведение получившихся множителей.

Пример 1

Найти НОК (75; 60).

Решение

Рис. 1. Разложение на простые множители чисел 75 и 60

Разложим числа 75 и 60 на простые множители (рис. 1). Выпишем множители из числа 75: 3, 5, 5. Допишем недостающие множители из числа 60: 2, 2.

НОК (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300

Ответ: 300.

Приведем еще один алгоритм нахождения наименьшего общего кратного чисел. Его удобно применять в случаях, когда разложение представлено в виде степеней или когда нужно найти наименьшее общее кратное более двух чисел.

1. Разложить числа на простые множители. Если некоторый множитель встречается в разложении несколько раз, записать его в виде степени.

2. Выбрать степени, основания которых встречаются только в одном из разложений.

3. Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями выбрать степени с большим показателем.

4. Перемножить выбранные степени.

Полученное произведение является искомым наименьшим общим кратным.

Задачи на нахождение наименьшего общего кратного можно разбить на три группы:

1. Если $b$ — делитель числа $a,$ то $a$ будет наименьшим общим кратным чисел $a$ и $b .$

НОК ( $a; b$ ) = $a,$ если $a$ ⋮ $b .$

НОК (12; 24) = 24, т. к. 24 ⋮ 12.

2. Когда числа взаимно простые, наименьшее общее кратное — произведение этих чисел.

НОК (12; 7) = 12 · 7 = 84.

3. Когда числа имеют общие множители (но одно число не является делителем другого), используется общий алгоритм нахождения наименьшего общего кратного чисел.

Пример 2

Найдите:

1. НОК (72; 120; 180);

2. НОК (72; 80; 96).

Решение

Рис. 2. Разложение на простые множители
чисел 72, 120, 180

1) Разложим числа 72, 120 и 180 на простые множители (рис. 2).

$72 = 2^{3} \cdot 3^{2};$ $120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5;$

$180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 .$

Наибольший показатель степени делителя 2 — это 3, делителя 3 — 2, делителя 5 — 1. Найдем их произведение:

НОК (72; 120; 180) = 2³ · 3² · 5 = 360.

Рис. 3. Разложение на простые множители
чисел 72, 80, 96

2) Разложим на простые множители числа 72, 80, 96 (рис. 3).

$72 = 2^{3} \cdot 3^{2};$ $80 = 2^{4} \cdot 5;$

$96 = 2^{5} \cdot 3 .$

Тогда НОК (72; 80; 96) = 2⁵· 3²· 5 = 1440.

Ответ: 1) 360; 2) 1440.

Упражнения

1. Найдите:

1) НОК (12; 18); 2) НОК (36; 48); 3) НОК (8; 16);

4) НОК (210; 350); 5) НОК (9; 14); 6) НОК (12; 15; 18).

2. Длина шага отца равна 70 см, длина шага сына — 50 см. Какое наименьшее одинаковое расстояние должен пройти каждый из них, чтобы они оба сделали по целому числу шагов?

Контрольные вопросы

Что такое наименьшее общее кратное чисел?
Сформулируйте алгоритм нахождения наименьшего общего кратного чисел.
Как найти наименьшее общее кратное взаимно простых чисел?
Чему равно наименьшее общее кратное чисел, если одно из них делится нацело на другое?

Ответы

1. 1) 36; 2) 144; 3) 16; 4) 1050; 5) 126; 6) 180.

2. 350 см.

Конспект урока: Наименьшее общее кратное

Числа

Наименьшее общее кратное

Алгоритмы нахождения наименьшего общего кратного чисел