- Сложение рациональных чисел по координатной прямой
- Правила сложения рациональных чисел
- Свойства сложения рациональных чисел
- Знать правила сложения рациональных чисел, свойства сложения рациональных чисел.
- Уметь складывать рациональные числа, использовать свойства сложения для упрощения вычислений
- Как сравнить два отрицательных числа с помощью координатной прямой?
- Как сравнить два положительных числа с помощью координатной прямой?
- Как сравнивать отрицательные числа через их модули?
- Верно ли, что любое отрицательное число больше нуля?
Сложение рациональных чисел по координатной прямой
Вы знаете, что при прибавлении к числу положительного числа, его значение увеличивается, т.е. на координатной прямой мы отсчитываем единичные отрезки в положительном направлении (слева направо) на величину модуля прибавленного числа. А если прибавить отрицательное число, то исходное число уменьшится, т.е. мы отсчитываем единичные отрезки в отрицательном направлении (справа налево) на величину модуля прибавленного числа.
На рисунке 1 приведены два случая сложения. В первом случае к числу –3 прибавляем число 7. 7 — положительное число, поэтому от числа –3 мы отсчитываем 7 единичных отрезков вправо, попадаем в значение 4. Значит
–3 + 7 = 4. Во втором случае мы к числу 1 прибавляем – 6. Так как – 6 — отрицательное число, нам необходимо отсчитать 6 единичных отрезков от числа 1 влево. Получаем значение – 5. 1 + (– 6) = – 5.
Рис. 1. Сложение чисел на координатной прямой
Если к числу a прибавить положительное число b, то точка с координатой a переместится по координатной прямой на b единичных отрезков вправо.
Если к числу a прибавить отрицательное число b, то точка с координатой a переместится по координатной прямой на
–b единичных отрезков влево.
Правила сложения рациональных чисел
Рассмотренным выше способом можно находить сумму двух чисел. Но далеко не всегда этот способ удобен. Рассмотрим те же примеры:
1 + (– 6) = – 5;
– 3 + 7 = 4.
В обоих примерах слагаемые имеют разные знаки.
Обратим внимание, что |– 5| равен разности |1| и |– 6| . Но знак суммы «–». Это связано с тем, что |1| < |– 6| . И в сумму взят знак большего модуля.
Во втором примере снова модуль суммы является разностью модулей слагаемых. Но знака «–» уже нет, так как модуль положительного слагаемого больше.
|7| – |– 3| = |4| .
Из этого можно сделать вывод:
Правило сложения чисел с разными знаками
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля слагаемых вычесть меньший и перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем.
При сложении отрицательных чисел мы используем правило прибавления отрицательного числа на координатной прямой. Передвигая исходную точку еще левее, результат суммы всегда будет отрицательным числом.
Правило сложения отрицательных чисел
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить модули слагаемых и перед полученным числом поставить знак «–».
Попробуем сложить противоположные числа 8 и – 8.
По правилу сложения чисел с разными знаками, нужно найти разность модулей. Знак большего модуля не ставим, т.к. модули равны и 0 не является положительным или отрицательным числом.
|8| – |– 8| = 0
Сумма противоположных чисел равна нулю.
b + (– b) = 0
Свойства сложения рациональных чисел
Свойства сложения натуральных чисел распространяется и на рациональные числа:
Переместительное свойство сложения:
a + b = b + a
Сочетательное свойство сложения:
(a + b) + c = a + (b + c)
Например:
– 5 + 3 = – 2 и 3 + (– 5) = –2
(– 6 + 1,5) + 8,5 = – 4,5 + 8,5 = 4 и – 6 + (1,5 + 8,5) = – 6 + 10 = 4
Используя эти свойства в сумме трех и более слагаемых, мы можем менять слагаемые местами, расставлять скобки, определяя удобный порядок действий.
– 2,73 + (– 4) + 3 + 2,73 + 7 + (– 12)
Сгруппируем слагаемые в пары: отдельно противоположные числа и по паре положительных и отрицательных слагаемых:
(– 2,73 + 2,73) + (– 4 + (– 12)) + (3 + 7) = 0 + (– 16) + 10= – 6
Упражнения
1. Найдите сумму:
1) – 2 + (– 4); 2) – 0,37 + (– 0,94); 3) – 4,72 + (– 0,8).
2. Выполните сложение:
1) – 14 + 8; 2) – 2,7+ 6,4; 3) 16,8 + (– 9,5); 4) 7,23 + (– 18,4);
5) – 9,4 + 9,4; 6) – 1 + 0,837.
3. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:
1) – 8,34 + (– 6,88) + 8,34 + 9,88; 2) – 9,59 + 3,26 + 6,59 + (– 1,26).
Контрольные вопросы
1. Как сложить два отрицательных числа?
2. Как определить, с каким знаком записать сумму при сложении чисел с разными знаками?
3. Какие свойства сложения можно использовать, чтобы находить сумму чисел удобным способом?
1. 1) – 6; 2) – 1,31; 3) – 5,52.
2. 1) – 6; 2) 3,7; 3) 7,3; 4) – 11,17; 5) 0; 6) – 0,163.
3. 1) 3; 2) – 1.
