Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
6 класс
Математика
Наибольший общий делитель

Математика 6 класс Математика 6 класс

Конспект урока: Наибольший общий делитель

Числа

18.04.2024

1618

Наибольший общий делитель

План урока

Наибольший общий делитель чисел
Взаимно простые числа

Цели урока

Знать, что такое наибольший общий делитель чисел
Знать алгоритмы нахождения наибольшего общего делителя чисел
Знать понятие «взаимно простые числа»
Уметь находить наибольший общий делитель чисел

Разминка

Какое число называется простым?
Назовите наименьшее простое число
Назовите наименьшее составное число
Является ли единица простым числом?
Как разложить число на простые множители?

Наибольший общий делитель чисел

У Васи день рождения. Он решил угостить своих друзей и купил в магазине 36 конфет и 24 вафли. Какое наибольшее количество друзей сможет угостить Вася так, чтобы всем досталось поровну конфет и вафель?

Нам нужно найти наибольшее число, на которое разделится и 36, и 24.

Давайте найдем делители чисел 24 и 36, подчеркнем одинаковые.

Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Из этих чисел, по условию задачи, нам нужно выбрать самое большое — 12.

Вася сможет угостить 12 друзей, каждому из которых достанется по 3 конфеты и 2 вафли.

Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело каждое из данных натуральных чисел, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Наибольший общий делитель числе $a$ и $b$ обозначают НОД $(a; b) .$

Решая задачу, мы нашли НОД (36; 24) = 12.

Удобно находить наибольший общий делитель чисел, используя разложение их на простые множители.

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя чисел

1. Разложить числа на простые множители.

2. Из наборов множителей всех чисел выписать общие множители.

3. Найти произведение выписанных множителей.

Заметим, что можно находить наибольший общий делитель любого количества натуральных чисел.

Пример 1

Найти НОД (48; 36).

Решение

Рис. 1. Наибольший общий делитель
чисел 48 и 36

Разложим числа 48 и 36 на простые множители (рис. 1). Найдем общие множители: 2, 2, 3.

Найдем произведение общих множителей:

НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12.

Ответ: 12

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя чисел можно сформулировать иначе.

1. Разложить числа на простые множители. Если некоторый множитель встречается в разложении несколько раз, записать его в виде степени.

2. Определить степени, основания которых являются общими простыми делителями данных чисел.

3. Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями выбрать степени с меньшим показателем.

4. Перемножить выбранные степени.

Полученное произведение и будет наибольшим общим делителем чисел.

Пример 2

Найдите НОД (72; 80; 96).

Решение

Рис. 2. Наибольший общий делитель
чисел 72, 80 и 96

Разложим числа 72, 80, 96 на простые множители (рис. 2).

$72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ ; $80 = 2^{4} \cdot 5$ ; $96 = 2^{5} \cdot 3$ .

Общих простых делителей, кроме 2, у этих чисел нет. Для нахождения их наибольшего общего делителя возьмем наименьший показатель степени.

Тогда НОД (72; 80; 96) = 2³ = 8.

Ответ: 8.

Пример 3

Найдите наибольший общий делитель чисел $a$ и $b,$ если $a = 2^{2} \cdot 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 11$ и $b = 2 \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} \cdot 11^{2} .$

Решение

Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями возьмем степени с меньшим показателем и перемножим их, это и будет наибольшим общим делителем данных чисел:

НОД ( $a; b$ ) $= 2 \cdot 3^{3} \cdot 5^{2} \cdot 11 = 14850 .$

Ответ: 14850.

Взаимно простые числа

Взаимно простые числа — натуральные числа, наибольший общий делитель которых равен единице.

Любые два простых числа являются взаимно простыми.

Если число $a$ — делитель числа $b,$ то НОД ( $a; b$ ) = $a .$

Давайте найдем наибольший общий делитель чисел 35 и 24.

Для этого разложим числа 35 и 24 на простые множители:

$35 = 5 \cdot 7$ ;

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Общих простых множителей у этих чисел нет. Значит, наибольшим общим делителем будет единица, т. к. любое число кратно 1.

НОД (35; 24) = 1. Видим, что числа 35 и 24 – взаимно простые.

Пример 4

Между учениками математического кружка поделили поровну 156 ручек и 60 тетрадей. Сколько учеников в кружке, если известно, что их больше 10? Сколько ручек и тетрадей досталось каждому ученику?

Решение

Найдем НОД (156; 60).

$156 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 13, 60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 .$

Тогда НОД (156; 60) $= 2^{2} \cdot 3 = 12 .$

12 учеников занимается в математическом кружке, каждый из которых получил 13 ручек $(156 : 12 = 13)$ и 5 тетрадей $(60 : 12 = 5) .$

Ответ: 12 учеников; 13 ручек; 5 тетрадей.

Упражнения

1. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 18 и 30; 2) 15 и 45; 3) 72 и 108; 4) 660 и 495; 5) 28, 84 и 98.

2. Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 12, 15, 22, 27.

3. Между учащимися 6 класса поровну разделили 84 мандарина и 56 апельсинов. Сколько учащихся в классе, если известно, что их больше 25?

Контрольные вопросы

Как найти наибольший общий делитель чисел?
Как называются числа, наибольший общий делитель которых
равен 1?
Можно ли решать текстовые задачи с помощью нахождения наибольшего общего делителя? Приведите пример.

Ответы

1. 1) 6; 2) 15; 3) 36; 4) 165; 5) 14.

2. 22 и 27; 22 и 15.

3. 28 учащихся.

Предыдущий урок

Сравнение чисел

Числа

Следующий урок

Сложение рациональных чисел. Свойства сложения рациональных чисел

Числа

Урок подготовил(а)

Арина Павловна

Учитель математики

Опыт работы: 15 лет

Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Математика
Произведения о Великой Отечественной войне (К.М. Симонов, Д.С.Самойлов)

Литература
Реконкиста и образование централизованных государств на Пиренейском полуострове. Германия и Италия в XII-XV вв.

История

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:

Пока никто не оставил отзыв об этом уроке