Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Наибольший общий делитель

Числа

03.03.2024
1516
0

Наибольший общий делитель

План урока

  • Наибольший общий делитель чисел
  • Взаимно простые числа

Цели урока

  • Знать, что такое наибольший общий делитель чисел
  • Знать алгоритмы нахождения наибольшего общего делителя чисел
  • Знать понятие «взаимно простые числа»
  • Уметь находить наибольший общий делитель чисел

Разминка

  • Какое число называется простым?
  • Назовите наименьшее простое число
  • Назовите наименьшее составное число
  • Является ли единица простым числом?
  • Как разложить число на простые множители?

Наибольший общий делитель чисел

У Васи день рождения. Он решил угостить своих друзей и купил в магазине 36 конфет и 24 вафли. Какое наибольшее количество друзей сможет угостить Вася так, чтобы всем досталось поровну конфет и вафель?

 

Нам нужно найти наибольшее число, на которое разделится и 36, и 24. 

Давайте найдем делители чисел 24 и 36, подчеркнем одинаковые.

Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Из этих чисел, по условию задачи, нам нужно выбрать самое большое — 12.

Вася сможет угостить 12 друзей, каждому из которых достанется по 3 конфеты и 2 вафли.


Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело каждое из данных натуральных чисел, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

 

Наибольший общий делитель числе a и b обозначают НОД (a; b).


Решая задачу, мы нашли НОД (36; 24) = 12.

 

Удобно находить наибольший общий делитель чисел, используя разложение их на простые множители.

 

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя чисел


1. Разложить числа на простые множители.

2. Из наборов множителей всех чисел выписать общие множители.

3. Найти произведение выписанных множителей.


Заметим, что можно находить наибольший общий делитель любого количества натуральных чисел.


Пример 1 

 

Найти НОД (48; 36).


Решение

Рис. 1. Наибольший общий делитель 
чисел 48 и 36

Разложим числа 48 и 36 на простые множители (рис. 1). Найдем общие множители: 2, 2, 3.

 

Найдем произведение общих множителей:

 

НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12.

 

Ответ: 12


Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя чисел можно сформулировать иначе.


1. Разложить числа на простые множители. Если некоторый множитель встречается в разложении несколько раз, записать его в виде степени.

2. Определить степени, основания которых являются общими простыми делителями данных чисел. 

3. Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями выбрать степени с меньшим показателем.

4. Перемножить выбранные степени.

 

Полученное произведение и будет наибольшим общим делителем чисел.


Пример 2

 

Найдите НОД (72; 80; 96).


Решение

Рис. 2. Наибольший общий делитель
чисел 72, 80 и 96

Разложим числа 72, 80, 96 на простые множители (рис. 2). 

 

72=23·3280=24·596=25·3.

 

Общих простых делителей, кроме 2, у этих чисел нет. Для нахождения их наибольшего общего делителя возьмем наименьший показатель степени.

 

Тогда НОД (72; 80; 96) = 23 = 8.

 

Ответ: 8.


Пример 3

 

Найдите наибольший общий делитель чисел a и b, если a = 22 · 35 · 52 · 11 и b = 2 · 33 · 53 · 112.


Решение

 

Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями возьмем степени с меньшим показателем и перемножим их, это и будет наибольшим общим делителем данных чисел:

 

НОД (a; b= 2 · 33 · 52 · 11 = 14850.

 

Ответ: 14850.


Взаимно простые числа


Взаимно простые числа — натуральные числа, наибольший общий делитель которых равен единице.

 

Любые два простых числа являются взаимно простыми.

Если число a — делитель числа b, то НОД (a; b) = a.


Давайте найдем наибольший общий делитель чисел 35 и 24. 

 

Для этого разложим числа 35 и 24 на простые множители:

35=5·7;

24=2·2·2·3.

 

Общих простых множителей у этих чисел нет. Значит, наибольшим общим делителем будет единица, т. к. любое число кратно 1.

 

НОД (35; 24) = 1. Видим, что числа 35 и 24 – взаимно простые.


Пример 4

 

Между учениками математического кружка поделили поровну 156 ручек и 60 тетрадей. Сколько учеников в кружке, если известно, что их больше 10? Сколько ручек и тетрадей досталось каждому ученику?


Решение

 

Найдем НОД (156; 60). 

 

156 = 22 · 3 · 13, 60 = 22 · 3 · 5.

 

Тогда НОД (156; 60) = 22 · 3 = 12.

 

12 учеников занимается в математическом кружке, каждый из которых получил 13 ручек (156 : 12 = 13) и 5 тетрадей (60 : 12 = 5).

 

Ответ: 12 учеников; 13 ручек; 5 тетрадей.


Упражнения

 

1. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 18 и 30; 2) 15 и 45; 3) 72 и 108; 4) 660 и 495; 5) 28, 84 и 98.

2. Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 12, 15, 22, 27.

3. Между учащимися 6 класса поровну разделили 84 мандарина и 56 апельсинов. Сколько учащихся в классе, если известно, что их больше 25?


Контрольные вопросы

 

  1. Как найти наибольший общий делитель чисел?
  2. Как называются числа, наибольший общий делитель которых 
    равен 1?
  3. Можно ли решать текстовые задачи с помощью нахождения наибольшего общего делителя? Приведите пример.


Ответы

1. 1) 6; 2) 15; 3) 36; 4) 165; 5) 14.

 

2. 22 и 27; 22 и 15.

 

3. 28 учащихся.


Предыдущий урок
Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая
Числа
Следующий урок
Вычитание рациональных чисел
Числа
Урок подготовил(а)
teacher
Арина Павловна
Учитель математики
Опыт работы: 15 лет
Поделиться:
  • Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

    Математика

  • Употребление числительных в речи. Произношение числительных. Морфологический разбор имени числительного

    Русский язык

  • Правописание приставок НЕ- и НИ- в наречиях

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке