Конспект урока: Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая

[header]Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая[/header]

[flex column='true'][row title='План урока']

• Положительные и отрицательные числа
• Координатная прямая

[/row][row title='Цели урока']

• Знать понятия положительных и отрицательных чисел
• Уметь располагать положительные и отрицательные числа на координатной прямой

[/row][row title='Разминка' final]

• Как называются числа, используемые при счете предметов?
• Что такое координатный луч?
• Является ли нуль натуральным числом?

[/row][/flex]

Положительные и отрицательные числа

[img url='/upload/gCA9Me4WQLGu_%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25B0-106.png' name='Рис. 1. Термометр' width='20' float='right']

Вы уже знакомы с нулем, натуральными числами и дробями и знаете, что числовой ряд на координатном луче бесконечен. Если вы посмотрите на уличный термометр (рис. 1), то увидите, что зимой температура опускается ниже нуля. На термометре она показана с отметкой «минус», мы говорим, что на улице «минус 15 градусов».  Такие числа называются отрицательными числами, а числа, располагающиеся выше отметки нуль — положительными.

В Китае, примерно во II веке до н.э. стали применять отрицательные числа и считали их «долгами», при этом положительные называли «имуществом». Той записи, которая существует сейчас, тогда не было, и отрицательные числа записывали черным цветом, а положительные красным.

В Европе отрицательные числа не признавали очень долго. Их считали «мнимыми» и «абсурдными». Никаких действий с ними не совершали, а просто отбрасывали, если ответ получался отрицательным. Считали, что, если из 0 вычесть любое число, то ответом будет 0, так как ничто не может быть меньше нуля — пустоты. В 1831 году Гаусс называл отрицательные числа абсолютно равнозначными с положительными.

В исторической науке отрицательные числа необходимы для исчисления времени. На уроках истории нам часто встречаются положительные и отрицательные числа, только их записывают не как «+» и «–», а в «нашей эре» и «до нашей эры». Современный счет лет возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа. Счёт лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах. В России этот счет принят царём Петром I триста лет назад. Время, исчисляемое от Рождества Христова, именуется «нашей эрой» (сокращённо н.э.). Продолжается наша эра уже более двух тысяч лет. Таким образом, «линию времени» можно представить в виде своеобразной координатной прямой. В соответствии с этим, даты событий нашей эры соответствуют положительным числам, а произошедшие до нашей эры — отрицательным числам. 

[/img]

С примерами отрицательных чисел мы можем столкнуться, говоря о температуре воздуха в морозы, финансовых расходах, глубине морских впадин, номерах подземных этажей и т.п.

Отрицательные числа записывают с помощью знака «минус», например: −3 (минус три); −2,1 (минус две целых одна десятая); $-\frac{2}{3}$ (минус две третьих).

Числа, которые вы изучали ранее (натуральные и дробные) называются положительными. Но если к ним дописать знак минус, то они станут отрицательными. Положительные числа можно обозначить знаком «+», но чаще этот знак опускают. 

Числа «13» и «+13» — это одно и то же число, записанное со знаком «+» и без него.

Если мы возьмем числа «14» и «– 45», то про них можно сказать, что это числа с разными знаками, так как одно из них положительное, а другое — отрицательное. Про несколько отрицательных или несколько положительных чисел говорят, что это числа с одинаковыми знаками; 14 и 40; − 49 и − 2.

Нуль не является ни положительным числом, ни отрицательным.

Координатная прямая

Ранее вы уже научились строить координатный луч и отмечать на нем точки. Отрицательных чисел, как и положительных, бесконечное множество. Значит наш луч должен продлеваться в обе стороны, в таком случае мы будем говорить уже не о луче, а о координатной прямой. 

Проведём прямую (рис. 2). Отметим на ней точку 0 (ноль) и примем эту точку за начало отсчёта.

[img url='/upload/659KdxT63sfj_%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25B0-48.png' name='Рис. 2. Координатная прямая' width='80'][/img]

Укажем стрелкой направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом направлении от точки 0 будем откладывать положительные числа.

Выберем какой-либо отрезок, длину которого примем за единицу и отложим его несколько раз вправо от точки 0. В конце первого отрезка записывается число 1, в конце второго — число 2 и т.д. Отложив единичный отрезок влево от начала отсчёта получим отрицательные числа: −1; −2; и т.д.

Направление от 0 к 1 называют положительным направлением (совпадает с направлением координатной прямой), а направление от 0 к −1 — отрицательным направлением. Если необходимо сдвинуть точку в положительном направлении, то ее сдвигают вправо, если нужно сдвинуть точку в отрицательном направлении — влево.

[line][/line]

[section icon='note']

Прямая, на которой отмечено:

• начало отсчёта (точка 0)
• единичный отрезок;
• стрелкой указано положительное направление;

называется координатной прямой или числовой осью.

[/section]

[line][/line]

[section icon='note']

Положительное число — это число, имеющее знак плюс, а отрицательное — имеющее знак минус.

Есть также определение, основанное на положении данного числа относительно нуля: числа, расположенные справа от нуля на координатной прямой — положительные, а слева от нуля — отрицательные.

[/section]

[line][/line]

На рисунке 2 изображена координатная прямая с началом в точке O и единичным отрезком OA. Точка D изображает число –2, которое называется координатой точки D. Записывают как D (– 2).

Можно говорить “на координатной прямой отметим точку с координатой…” или “на координатной прямой отметим число…”. 

Неположительные числа — все отрицательные числа и нуль.

Неотрицательные числа — все положительные числа и нуль.

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 1 

[/section]

Отметьте на координатной прямой числа  $1\frac{3}{4}$ и $-0,5$.

[line][/line]

Решение

1) Число $1\frac{3}{4}$ положительное, оно будет располагаться справа от нуля. Отсчитываем 1 единичный отрезок и 3 части из 4 от следующего отрезка, ставим точку.

2) $-0,5$ — отрицательное число, поэтому оно будет располагаться слева от нуля: между $0$ и $-1$. Т. к $0,5=\frac{1}{2},$ то точка будет находиться посередине этого отрезка.

[img url='/upload/bB9z7e7ALja8_%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25B0-105.png' name='Рис. 3. Числа на координатной прямой' width='80'][/img]

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнения

[/section]

1. Начертите координатную прямую, взяв единичный отрезок “удобной” длины. Отметьте на ней числа: $1\frac{1}{3}; \frac{2}{3}; -1\frac{1}{2}; -\frac{2}{3}; \frac{1}{2}; -\frac{1}{3}; -\frac{1}{2}; \frac{1}{3}.$

2. Начертите координатную прямую, отметьте на ней точку D (−5). Отметьте на этой прямой точку, удалённую от точки D:

1) в положительном направлении на 9 единиц, 3 единицы;

2) в отрицательном направлении на 2 единицы, 3 единицы.

Назовите отмеченные точки.

[line][/line]

[section icon='question']

Контрольные вопросы

[/section]

1. Что такое отрицательные числа? Приведите 3 примера.

2. Где в жизни мы можем встретиться с отрицательными числами?

3. Является ли нуль положительным числом?

4. Может ли дробь быть отрицательным числом?

5. Что такое координатная прямая?

[line][/line]

[flex column='true'][row title='Ответы' final]

1.

[img url='/upload/xpeaaLt0nPf8_%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25B0-104.png' name='Рис. 4. Упражнение 1. Ответ' width='80'][/img]

2.

[img url='/upload/brlhzrJ2epzR_%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25B0-103.png' name='Рис. 5. Упражнение 2. Ответ' width='80'][/img]

[/row][/flex]

[line][/line]