[header]Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая[/header]
[flex column='true'][row title='План урока']
- Положительные и отрицательные числа
- Координатная прямая
[/row][row title='Цели урока']
- Знать понятия положительных и отрицательных чисел
- Уметь располагать положительные и отрицательные числа на координатной прямой
[/row][row title='Разминка' final]
- Как называются числа, используемые при счете предметов?
- Что такое координатный луч?
- Является ли нуль натуральным числом?
[/row][/flex]
Положительные и отрицательные числа
[img url='/upload/gCA9Me4WQLGu_%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25B0-106.png' name='Рис. 1. Термометр' width='20' float='right']
Вы уже знакомы с нулем, натуральными числами и дробями и знаете, что числовой ряд на координатном луче бесконечен. Если вы посмотрите на уличный термометр (рис. 1), то увидите, что зимой температура опускается ниже нуля. На термометре она показана с отметкой «минус», мы говорим, что на улице «минус 15 градусов». Такие числа называются отрицательными числами, а числа, располагающиеся выше отметки нуль — положительными.
В Китае, примерно во II веке до н.э. стали применять отрицательные числа и считали их «долгами», при этом положительные называли «имуществом». Той записи, которая существует сейчас, тогда не было, и отрицательные числа записывали черным цветом, а положительные красным.
В Европе отрицательные числа не признавали очень долго. Их считали «мнимыми» и «абсурдными». Никаких действий с ними не совершали, а просто отбрасывали, если ответ получался отрицательным. Считали, что, если из 0 вычесть любое число, то ответом будет 0, так как ничто не может быть меньше нуля — пустоты. В 1831 году Гаусс называл отрицательные числа абсолютно равнозначными с положительными.
В исторической науке отрицательные числа необходимы для исчисления времени. На уроках истории нам часто встречаются положительные и отрицательные числа, только их записывают не как «+» и «–», а в «нашей эре» и «до нашей эры». Современный счет лет возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа. Счёт лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах. В России этот счет принят царём Петром I триста лет назад. Время, исчисляемое от Рождества Христова, именуется «нашей эрой» (сокращённо н.э.). Продолжается наша эра уже более двух тысяч лет. Таким образом, «линию времени» можно представить в виде своеобразной координатной прямой. В соответствии с этим, даты событий нашей эры соответствуют положительным числам, а произошедшие до нашей эры — отрицательным числам.
[/img]
С примерами отрицательных чисел мы можем столкнуться, говоря о температуре воздуха в морозы, финансовых расходах, глубине морских впадин, номерах подземных этажей и т.п.
Отрицательные числа записывают с помощью знака «минус», например: −3 (минус три); −2,1 (минус две целых одна десятая); (минус две третьих).
Числа, которые вы изучали ранее (натуральные и дробные) называются положительными. Но если к ним дописать знак минус, то они станут отрицательными. Положительные числа можно обозначить знаком «+», но чаще этот знак опускают.
Числа «13» и «+13» — это одно и то же число, записанное со знаком «+» и без него.
Если мы возьмем числа «14» и «– 45», то про них можно сказать, что это числа с разными знаками, так как одно из них положительное, а другое — отрицательное. Про несколько отрицательных или несколько положительных чисел говорят, что это числа с одинаковыми знаками; 14 и 40; − 49 и − 2.
Нуль не является ни положительным числом, ни отрицательным.
Координатная прямая
Ранее вы уже научились строить координатный луч и отмечать на нем точки. Отрицательных чисел, как и положительных, бесконечное множество. Значит наш луч должен продлеваться в обе стороны, в таком случае мы будем говорить уже не о луче, а о координатной прямой.
Проведём прямую (рис. 2). Отметим на ней точку 0 (ноль) и примем эту точку за начало отсчёта.
[img url='/upload/659KdxT63sfj_%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25B0-48.png' name='Рис. 2. Координатная прямая' width='80'][/img]
Укажем стрелкой направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом направлении от точки 0 будем откладывать положительные числа.
Выберем какой-либо отрезок, длину которого примем за единицу и отложим его несколько раз вправо от точки 0. В конце первого отрезка записывается число 1, в конце второго — число 2 и т.д. Отложив единичный отрезок влево от начала отсчёта получим отрицательные числа: −1; −2; и т.д.
Направление от 0 к 1 называют положительным направлением (совпадает с направлением координатной прямой), а направление от 0 к −1 — отрицательным направлением. Если необходимо сдвинуть точку в положительном направлении, то ее сдвигают вправо, если нужно сдвинуть точку в отрицательном направлении — влево.
[line][/line]
[section icon='note']
Прямая, на которой отмечено:
- начало отсчёта (точка 0)
- единичный отрезок;
- стрелкой указано положительное направление;
называется координатной прямой или числовой осью.
[/section]
[line][/line]
[section icon='note']
Положительное число — это число, имеющее знак плюс, а отрицательное — имеющее знак минус.
Есть также определение, основанное на положении данного числа относительно нуля: числа, расположенные справа от нуля на координатной прямой — положительные, а слева от нуля — отрицательные.
[/section]
[line][/line]
На рисунке 2 изображена координатная прямая с началом в точке O и единичным отрезком OA. Точка D изображает число –2, которое называется координатой точки D. Записывают как D (– 2).
Можно говорить “на координатной прямой отметим точку с координатой…” или “на координатной прямой отметим число…”.
Неположительные числа — все отрицательные числа и нуль.
Неотрицательные числа — все положительные числа и нуль.
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 1
[/section]
Отметьте на координатной прямой числа и .
[line][/line]
Решение
1) Число положительное, оно будет располагаться справа от нуля. Отсчитываем 1 единичный отрезок и 3 части из 4 от следующего отрезка, ставим точку.
2) — отрицательное число, поэтому оно будет располагаться слева от нуля: между и . Т. к то точка будет находиться посередине этого отрезка.
[img url='/upload/bB9z7e7ALja8_%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25B0-105.png' name='Рис. 3. Числа на координатной прямой' width='80'][/img]
[line][/line]
[section icon='exercise']
Упражнения
[/section]
1. Начертите координатную прямую, взяв единичный отрезок “удобной” длины. Отметьте на ней числа:
2. Начертите координатную прямую, отметьте на ней точку D (−5). Отметьте на этой прямой точку, удалённую от точки D:
1) в положительном направлении на 9 единиц, 3 единицы;
2) в отрицательном направлении на 2 единицы, 3 единицы.
Назовите отмеченные точки.
[line][/line]
[section icon='question']
Контрольные вопросы
[/section]
1. Что такое отрицательные числа? Приведите 3 примера.
2. Где в жизни мы можем встретиться с отрицательными числами?
3. Является ли нуль положительным числом?
4. Может ли дробь быть отрицательным числом?
5. Что такое координатная прямая?
[line][/line]
[flex column='true'][row title='Ответы' final]
1.
[img url='/upload/xpeaaLt0nPf8_%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25B0-104.png' name='Рис. 4. Упражнение 1. Ответ' width='80'][/img]
2.
[img url='/upload/brlhzrJ2epzR_%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25B0-103.png' name='Рис. 5. Упражнение 2. Ответ' width='80'][/img]
[/row][/flex]
[line][/line]