Конспект урока: Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая

Положительные и отрицательные числа

Рис. 1. Термометр

Вы уже знакомы с нулем, натуральными числами и дробями и знаете, что числовой ряд на координатном луче бесконечен. Если вы посмотрите на уличный термометр (рис. 1), то увидите, что зимой температура опускается ниже нуля. На термометре она показана с отметкой «минус», мы говорим, что на улице «минус 15 градусов».  Такие числа называются отрицательными числами, а числа, располагающиеся выше отметки нуль — положительными.

 

В Китае, примерно во II веке до н.э. стали применять отрицательные числа и считали их «долгами», при этом положительные называли «имуществом». Той записи, которая существует сейчас, тогда не было, и отрицательные числа записывали черным цветом, а положительные красным.

 

В Европе отрицательные числа не признавали очень долго. Их считали «мнимыми» и «абсурдными». Никаких действий с ними не совершали, а просто отбрасывали, если ответ получался отрицательным. Считали, что, если из 0 вычесть любое число, то ответом будет 0, так как ничто не может быть меньше нуля — пустоты. В 1831 году Гаусс называл отрицательные числа абсолютно равнозначными с положительными.

 

В исторической науке отрицательные числа необходимы для исчисления времени. На уроках истории нам часто встречаются положительные и отрицательные числа, только их записывают не как «+» и «–», а в «нашей эре» и «до нашей эры». Современный счет лет возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа. Счёт лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах. В России этот счет принят царём Петром I триста лет назад. Время, исчисляемое от Рождества Христова, именуется «нашей эрой» (сокращённо н.э.). Продолжается наша эра уже более двух тысяч лет. Таким образом, «линию времени» можно представить в виде своеобразной координатной прямой. В соответствии с этим, даты событий нашей эры соответствуют положительным числам, а произошедшие до нашей эры — отрицательным числам. 

С примерами отрицательных чисел мы можем столкнуться, говоря о температуре воздуха в морозы, финансовых расходах, глубине морских впадин, номерах подземных этажей и т.п.

Отрицательные числа записывают с помощью знака «минус», например: −3 (минус три); −2,1 (минус две целых одна десятая); $-\frac{2}{3}$ (минус две третьих).

Числа, которые вы изучали ранее (натуральные и дробные) называются положительными. Но если к ним дописать знак минус, то они станут отрицательными. Положительные числа можно обозначить знаком «+», но чаще этот знак опускают. 

Числа «13» и «+13» — это одно и то же число, записанное со знаком «+» и без него.

Если мы возьмем числа «14» и «– 45», то про них можно сказать, что это числа с разными знаками, так как одно из них положительное, а другое — отрицательное. Про несколько отрицательных или несколько положительных чисел говорят, что это числа с одинаковыми знаками; 14 и 40; − 49 и − 2.

Нуль не является ни положительным числом, ни отрицательным.

Координатная прямая

Ранее вы уже научились строить координатный луч и отмечать на нем точки. Отрицательных чисел, как и положительных, бесконечное множество. Значит наш луч должен продлеваться в обе стороны, в таком случае мы будем говорить уже не о луче, а о координатной прямой. 

Проведём прямую (рис. 2). Отметим на ней точку 0 (ноль) и примем эту точку за начало отсчёта.

Рис. 2. Координатная прямая

Укажем стрелкой направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом направлении от точки 0 будем откладывать положительные числа.

Выберем какой-либо отрезок, длину которого примем за единицу и отложим его несколько раз вправо от точки 0. В конце первого отрезка записывается число 1, в конце второго — число 2 и т.д. Отложив единичный отрезок влево от начала отсчёта получим отрицательные числа: −1; −2; и т.д.

Направление от 0 к 1 называют положительным направлением (совпадает с направлением координатной прямой), а направление от 0 к −1 — отрицательным направлением. Если необходимо сдвинуть точку в положительном направлении, то ее сдвигают вправо, если нужно сдвинуть точку в отрицательном направлении — влево.

На рисунке 2 изображена координатная прямая с началом в точке O и единичным отрезком OA. Точка D изображает число –2, которое называется координатой точки D. Записывают как D (– 2).

Можно говорить “на координатной прямой отметим точку с координатой…” или “на координатной прямой отметим число…”. 

Неположительные числа — все отрицательные числа и нуль.

Неотрицательные числа — все положительные числа и нуль.

Отметьте на координатной прямой числа  $1\frac{3}{4}$ и $-0,5$.

Решение

1) Число $1\frac{3}{4}$ положительное, оно будет располагаться справа от нуля. Отсчитываем 1 единичный отрезок и 3 части из 4 от следующего отрезка, ставим точку.

2) $-0,5$ — отрицательное число, поэтому оно будет располагаться слева от нуля: между $0$ и $-1$. Т. к $0,5=\frac{1}{2},$ то точка будет находиться посередине этого отрезка.

Рис. 3. Числа на координатной прямой

1. Начертите координатную прямую, взяв единичный отрезок “удобной” длины. Отметьте на ней числа: $1\frac{1}{3}; \frac{2}{3}; -1\frac{1}{2}; -\frac{2}{3}; \frac{1}{2}; -\frac{1}{3}; -\frac{1}{2}; \frac{1}{3}.$

2. Начертите координатную прямую, отметьте на ней точку D (−5). Отметьте на этой прямой точку, удалённую от точки D:

1) в положительном направлении на 9 единиц, 3 единицы;

2) в отрицательном направлении на 2 единицы, 3 единицы.

Назовите отмеченные точки.

1. Что такое отрицательные числа? Приведите 3 примера.

2. Где в жизни мы можем встретиться с отрицательными числами?

3. Является ли нуль положительным числом?

4. Может ли дробь быть отрицательным числом?

5. Что такое координатная прямая?

Ответы

1.

Рис. 4. Упражнение 1. Ответ

2.

Рис. 5. Упражнение 2. Ответ