Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
6 класс
Математика
Умножение рациональных чисел. Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел. Коэффициент

Математика 6 класс Математика 6 класс

Конспект урока: Умножение рациональных чисел. Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел. Коэффициент

Числа

14.12.2024

3593

Умножение рациональных чисел. Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел. Коэффициент

План урока

Умножение рациональных чисел
Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел
Коэффициент

Цели урока

Знать правила умножения рациональных чисел, свойства умножения рациональных чисел, понятие «коэффициент»
Уметь умножать рациональные числа, использовать свойства умножения для упрощения вычислений, находить коэффициент в буквенном выражении

Разминка

Как сложить два отрицательных числа?
Как найти сумму чисел с разными знаками?
Сформулируйте правило вычитания рациональных чисел

Умножение рациональных чисел

Умножение натуральных чисел можно представить в виде сложения:

$4 \cdot 3 = 4 + 4 + 4 = 12$

Представим произведение в виде суммы слагаемых:

$- 4 \cdot 3 = - 4 + (- 4) + (- 4) = - 12$

Для положительных чисел выполняется переместительное свойство умножения, оно же верно и для любых рациональных чисел:

$- 4 \cdot 3 = 3 \cdot (- 4) = - 12 .$

Так как $12$ и $- 12$ — противоположные числа, то произведение чисел $4 \cdot 3$ будет противоположным произведению $- 4 \cdot 3$ , оно же будет противоположным и для $3 \cdot (- 4)$ .

$- 4 \cdot 3 = - (4 \cdot 3) = - 12$

$3 \cdot (- 4) = - (3 \cdot 4)$

Значит в каждом случае мы получим отрицательное значение произведения.

Обратим внимание на запись $3 \cdot (- 4)$ . Так как нельзя подряд записать два знака действий, число $- 4$ заключают в скобки.

Правило умножения чисел с разными знаками

Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «–».

Видим, что произведения $4 \cdot 3$ , $- 4 \cdot 3$ и $4 \cdot (- 3)$ отличаются только знаками. Значит изменение знака у одного множителя меняет знак у всего произведения.

А что будет, если поменять знаки у обоих множителей? Тогда знак произведения изменяется дважды, т.е., по сути, остается тем же. Получается, что, умножая отрицательные числа, фактически мы перемножаем их модули, не обращая внимания на знаки:

$- 3 \cdot (- 4) = | - 3 | \cdot | - 4 | = 3 \cdot 4 = 12 .$

Правило умножения отрицательных чисел

Чтобы умножить два отрицательных числа, нужно умножить их модули.

$- 1, 3 \cdot (- 5) = | - 1, 3 | \cdot | - 5 | = 1, 3 \cdot 5 = 6, 5 .$

$- \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{5}) = | - \frac{2}{3} | \cdot | - \frac{4}{5} | = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15} .$

Вы знаете, что при умножении числа на $1$ оно не меняется. А если мы умножим на $- 1$ , то по правилу мы должны поменять знак, т.е. получить противоположное число.

$b \cdot 1 = 1 \cdot b = b$

$b \cdot (- 1) = (- 1) \cdot b = - b$

$b \cdot 0 = 0 \cdot b = 0$

Правила, которые мы сегодня разобрали имеют ряд выводов:

1. Если два числа имеют одинаковые знаки, то их произведение положительно. И наоборот, если произведение двух чисел положительно, то эти числа имеют одинаковые знаки.

2. Если два числа имеют разные знаки, то их произведение отрицательно. И наоборот, если произведение двух чисел отрицательно, значит они имеют разные знаки.

3. Если хотя бы одно из двух чисел равно нулю, то их произведение будет равно нулю. И наоборот, если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из них равно нулю.

Это правило распространяется на любое количество множителей.

Пример 1

Решите уравнение $(4 + x) (x - 3, 4) = 0$

Решение

Так как произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.

$4 + x = 0$ или $x - 3, 4 = 0$

$x = - 4$ или $x = 3, 4$

Ответ: $- 4$ ; $3, 4$ .

Пример 2

Докажите, что значение выражения $x^{2}$ неотрицательно.

Решение

1. Если $x$ — положительное число, то $x^{2} = x \cdot x$ — положительное число (как произведение чисел с одинаковыми знаками).

2. Если $x$ — отрицательное число, то $x^{2} = x \cdot x$ — положительное число (как произведение чисел с одинаковыми знаками).

3. Если $x = 0$ , то произведение по свойству равно нулю.

Видим, что отрицательных значений произведение не принимает. Таким образом, значение выражения $x^{2}$ всегда неотрицательно.

При любых значениях $x$ выражение $x^{2}$ принимает только неотрицательные значения.

$x^{2} \geq 0$

Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел

Мы уже говорили выше, что для рациональных чисел справедливо переместительное свойство умножения.

Это касается также и сочетательного свойства.

Для любых рациональных чисел $a$ и $b$ выполняются равенства:

$a b = b a$ переместительное свойство умножения;

$(a b) c = a (b c)$ сочетательное свойство умножения.

Используя эти свойства, в произведении нескольких рациональных чисел мы можем переставлять множители местами, расставлять скобки, тем самым определяя наиболее удобный порядок выполнений действий.

$(- 25 \cdot 7) \cdot (- 4) = (- 25 \cdot (- 4)) \cdot 7 = 700$

Коэффициент

Рассмотрим выражение $0, 2 x \cdot 7, 1 y \cdot (- 5) .$ Упростим выражение, используя свойства умножения:

$0, 2 x \cdot 7, 1 y \cdot (- 5) = 0, 2 \cdot x \cdot 7, 1 \cdot y \cdot (- 5) = (0, 2 \cdot 7, 1 \cdot (- 5)) \cdot x \cdot y = - 7, 1 x y$ .

В полученном выражении $- 7, 1$ — числовой множитель, который по-другому еще называют коэффициентом.

Заметим, что в выражении $0, 2 x \cdot 7, 1 y \cdot (- 5)$ ни один из числовых множителей $0, 2$ ; $7, 1$ или $- 5$ не является коэффициентом.

Чтобы найти коэффициент в буквенном выражении, нужно найти произведение всех его числовых множителей.

Коэффициент $1$ и $- 1$ обычно не записывают перед числом.

У выражения $a$ коэффициент равен $1$ , а у выражения $- a$ коэффициент равен $- 1$ .

Упражнения

1. 1) $36 \cdot (- 4);$ 2) $- 7, 8 \cdot (- 7);$ 3) $- 4 \frac{4}{9} \cdot (- 1 \frac{1}{8});$ 4) $- 5 \frac{5}{6} \cdot 1 \frac{5}{7} .$

2. Выполните действия:

1) $- 13, 4 \cdot 0, 6 + (- 2, 3) \cdot 3, 8;$ 2) $(2, 8 - 5) \cdot (- 9, 38 + 9, 36) .$

3. Решить уравнение: $(x + 9) (x - 8) = 0 .$

4. Упростите выражение и назовите его коэффициент:

1) $- 3, 2 \cdot 6 x;$ 2) $- 0, 8 y \cdot (- 0, 7);$ 3) $5 a \cdot (- 1, 4 b) \cdot 0, 6 c$

Контрольные вопросы

1. Как умножить числа с разными знаками?

2. Как умножить два отрицательных числа?

3. Какие знаки должны иметь множители, чтобы произведение двух чисел было отрицательным? Положительным?

4. Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства умножения.

5. Что такое коэффициент?

Ответы

1. 1) – 144; 2) 54,6; 3) 5; 4) – 10.

2. 1) – 16,78; 2) 0,044.

3. – 9; 8.

4. 1) – 19,2x; 2) 0,56y; 3) – 4,2abc.

Предыдущий урок

Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая

Числа

Следующий урок

Делители и кратные. Признаки делимости

Числа

Урок подготовил(а)

Арина Павловна

Учитель математики

Опыт работы: 15 лет

Учение — деятельность школьника

Обществознание
Повествование в рассказе

Русский язык
Разряды местоимений. Часть 3: отрицательные и неопределенные местоимения

Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:

Пока никто не оставил отзыв об этом уроке