- Простые и составные числа
- Разложение числа на простые множители
- Знать понятия простого и составного чисел
- Уметь раскладывать числа на простые множители
- Сформулируйте признаки делимости на 5, 10.
- Какие числа называются чётными?
- В каком случае число кратно числу ?
Простые и составные числа
Свойства простых чисел впервые начали изучать математики Древней Греции. Математики пифагорейской школы (500–300 гг. до н. э.) в первую очередь интересовались мистическими и нумерологическими свойствами простых чисел.
Ко времени появления работы Евклида «Начала» в 300 году до н. э. уже было доказано несколько важных фактов касательно простых чисел. В книге IX «Начал» Эвклид доказал, что простых чисел бесконечное количество. Это, кстати, один из первых примеров использования доказательства от противного. Также он доказывает основную теорему арифметики: каждое целое число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел.
В 200 году до н. э. грек Эратосфен придумал алгоритм для поиска простых чисел под названием «Решето Эратосфена».
Все натуральные числа можно разделить на три группы: простые, составные и единица (так как она не относится ни к одной из вышеперечисленных групп).
Простые числа
Простые числа — это натуральные числа, которые в качестве делителей имеют только два числа: единицу и себя.
Чтобы найти все простые числа от 1 до 50 можно воспользоваться алгоритмом «Решето Эратосфена». Для этого выпишем все числа от 1 до 50 в таблицу. Начнём «просеивать» числа: составные числа и единицу будем вычёркивать, а оставшиеся числа будут простыми. Единицу мы вычеркнули, так как она не является простым числом. Берём число 2, оно делится только на 1 и на само себя. Значит, оно простое. Далее вычёркиваем все числа, кратные двум: 4, 6, 8 и т. д. Заметим, что 2 — наименьшее простое число. Берём следующее число — 3. Повторяем алгоритм. И так далее до тех пор, пока не дойдём до числа 47. Давайте посмотрим, какие числа у нас остались «в решете»: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 — это простые числа в промежутке от 1 до 50.
Рис. 1. Решето Эратосфена
Составные числа
Составные числа — натуральные числа, имеющие больше двух натуральных делителей.
Давайте выпишем делители числа 6. Делители 6: 1, 2, 3, 6. Число 6 имеет 4 делителя, значит, оно составное.
Число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам, т. к. у него только один делитель.
Разложение числа на простые множители
Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, т. е. разложить на простые множители.
Пример 1
Разложите на простые множители число 840.
Решение
Рис. 2. Разложение на простые множители числа 840
Для удобства записи используют столбик (рис. 2). Число, которое надо разложить на множители, пишут слева от вертикальной черты (840). Справа от черты записывают простой множитель, на который это число делится. Обычно начинают с первого простого числа. Если нацело на него число не делится, берут следующее простое число. В нашем случае подошло число 2. Частное от деления записываем слева от черты (420). Снова пробуем разделить на 2. Получаем 210, записываем число слева от черты. 210 можно разделить на 2, получаем 105. Число 105 на 2 уже не делится. Берём следующее простое число — 3. Проверяем, делится ли 105 на 3 нацело. Используем признак делимости на 3: 1 + 0 + 5 = 6, 6 делится на 3, значит, и 105 делится на 3. Получаем 35, записываем число слева от черты. 35 на 3 не делится, следующее простое число — 5. 35 : 5 = 7. Записываем 7 слева от черты. 7 — простое число, значит, делится само на себя. Получаем единицу, записываем её слева от черты.
Повторяющиеся множители можно записать в виде степени.
Получаем:
Ответ:
Упражнения
1. Запишите все делители числа 28, подчеркните те из них, которые являются простыми числами.
2. Запишите все простые числа, которые больше 14 и меньше 24.
3. Запишите все составные числа, которые больше 30 и меньше 42.
4. Разложите на простые множители число:
1) 18; 2) 32; 3) 126; 4) 2520; 5) 4752.
Контрольные вопросы
1. Что такое простое число?
2. Является ли единица простым числом?
3. Как разложить число на простые множители? Опишите алгоритм.
1. 1, 2, 4, 7, 14, 28.
2. 17, 19, 23.
3. 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40.
4. 1) 18 = 2 ∙ 32;
2) 32 = 25;
3) 126 = 2 ∙ 32 ∙ 7;
4) 2520 = 23 ∙ 32 ∙ 5 ∙ 7;
5) 4752 = 24 ∙ 33 ∙11.
