Перпендикулярные прямые. Осевая и центральная симметрии. Параллельные прямые

Перпендикулярные прямые. Осевая и центральная симметрия. Параллельные прямые

План урока

Перпендикулярные прямые
Параллельные прямые
Осевая симметрия
Центральная симметрия

Цели урока

Знать понятие перпендикулярных и параллельных прямых, свойство параллельных прямых, правила построения осевой и центральной симметрии
Уметь строить параллельные и перпендикулярные прямые; фигуры, симметричные данным относительно точки и относительно прямой

Разминка

Что такое прямая?
Какие типы углов вы знаете?
Сколько градусов составляет прямой угол?

Перпендикулярные прямые

Рис. 1. Перпендикулярные прямые

Вы уже много знаете о прямой. Например, вам известно, что прямая бесконечна, что через две точки можно провести только одну прямую.

Теперь рассмотрим взаимное расположение двух прямых.

На плоскости возможно только два варианта расположения прямых: прямые пересекаются или прямые не пересекаются.

Построим развернутый угол $A O C$ и проведем его биссектрису $O B$ . Достроим луч $O B$ до прямой $B D$ (рис. 1). Так как $∠ A O C = 180 °$ и $O B$ — биссектриса, то $∠ A O B = ∠ C O B = 90 °$ . $∠ B O D = 180 °$ , значит, $∠ A O D = ∠ B O D - ∠ A O B = 90 °$ . Аналогично можно показать, что $∠ C O D = 90 °$ . Видим, что при пересечении прямых $A C$ и $B D$ образовалось четыре угла, каждый из которых равен $90 °$ . Это особый случай взаимного расположения прямых, в этом случае прямые называют перпендикулярными .

Рис. 2. Построение перпендикулярных прямых с помощью угольника, транспортира

Рис. 3. Построение перпендикулярных прямых на клетчатой бумаге

Для обозначения перпендикулярности используют знак $⊥$ . Если прямые назвать $a$ и $b$ , то запись $a ⊥ b$ читают как «прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$ » или «прямые $a$ и $b$ перпендикулярны».

На рисунке 4 изображены отрезки $N M$ и $S O$ , лежащие на перпендикулярные прямых $a$ и $b$ . Такие отрезки называют перпендикулярными. Также перпендикулярными могут быть: два луча, луч и прямая, луч и отрезок, отрезок и прямая.

Рис. 4. Перпендикулярные лучи и отрезки

Перпендикулярные прямые можно построить с помощью угольника, транспортира (рис. 2) и на клетчатой бумаге с помощью линейки (рис. 3).

С помощью угольника и линейки можно через точку, не лежащую на прямой, провести прямую, перпендикулярную данной (рис. 5).

Рис. 5. Построение прямой, перпендикулярной данной

Рис. 6. Прямоугольный треугольник

Вы уже сталкивались с геометрическими фигурами, элементы которых перпендикулярны. Например, в прямоугольном треугольнике на рисунке 6 перпендикулярны стороны АС и ВС.

Рис. 7. Прямоугольник

А на рисунке 7 у прямоугольника ABCD перпендикулярны соседние стороны AD и AB, АВ и ВС, CD и СВ, AD и DC.

Параллельные прямые

Вторым случаем расположения прямых на плоскости является случай, когда прямые не пересекаются. Такие прямые называют параллельными.

Если прямые, лежащие в одной плоскости, не пересекаются, то их называют параллельными .

С параллельными прямыми мы часто встречаемся в окружающей нас жизни, хотя, как правило, редко на этом акцентируем свое внимание. На уроках музыки, открывая нотную тетрадь, сразу же невооруженным взглядом мы видим линии нотного стана. Параллельные линии вы можете увидеть не только в нотных тетрадях и сборниках песен, но и, если внимательно присмотритесь к музыкальным инструментам. Ведь струны гитары, арфы или органа также расположены параллельно.

Подняв на улице глаза вверх, вы видите параллельно проходящие электрические провода. Оказавшись в метро или на железной дороге, также не сложно заметить, что рельсы расположены параллельно друг к другу.

Рис. 8. Построение параллельных прямых

Построить параллельные прямые можно с помощью угольника и линейки. Пусть нам дана некоторая прямая $d$ и требуется построить прямую $t$ , ей параллельную. Для этого:

1) расположим вдоль прямой $d$ одну сторону угольника (рис. 8);

2) зафиксируем линейку вдоль другой стороны угольника;

3) передвинем угольник вдоль линейки и проведем прямую $t$ (рис. 8).

Параллельность прямых обозначается знаком «||». Запись $t ∥ d$ читают: «прямая $t$ параллельна прямой $d$ » или «прямые $t$ и $d$ параллельны».

В описанном способе мы фактически строим перпендикулярные прямые к прямой, проходящей вдоль линейки. Из этого можно сделать следующий вывод:

Свойство параллельных прямых

Если две прямые, лежащие в одной плоскости, перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Рис. 9. Аксиома параллельных прямых

Заметим, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной (рис. 9). Это утверждение называют аксиомой параллельных прямых.

На рисунке 9 только прямая TB, проведенная через точку М параллельна прямой $a$ .

Рис. 10. Прямоугольный параллелепипед

В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ (рис. 10) прямые $A D$ и $C_{1} D_{1}$ не пересекаются, но они не лежат в одной плоскости. В таком случае прямые называются скрещивающимися .

Отрезки (лучи), лежащие на параллельных прямых, также называются параллельными.

На рисунке 10 параллельными являются, например, стороны $A B$ и $C D$ , $A A_{1}$ и $C C_{1}$ .

Осевая симметрия

Рис. 11. Точки, симметричные относительно прямой

Из курса математики 5 класса вы уже узнали, как выглядят и строятся фигуры, имеющие ось симметрии.

Слово «симметрия» происходит от греческого symmetria, что означает соразмерность. В нашем случае, симметрия — это свойство геометрических фигур к отображению.

Рассмотрим две симметрии на плоскости относительно точки и прямой.

Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).

Две точки А и В симметричны относительно прямой а (оси симметрии), если эта прямая проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему (рис. 11).

Рис. 12. Симметричные фигуры

Рис. 13. Построение симметричной фигуры относительно оси

Пусть дана точка А и прямая $a$ . Для того, чтобы построить точку В, симметричную точке А, проведем через А прямую $b$ , перпендикулярную $a$ . Пусть эти прямые пересекаются в точке О. Отложить на прямой $b$ отрезок ОВ, равный АО. Точки А и В будут симметричны (рис. 14).

Рис. 14. Построение точки, симметричной данной, относительно оси

Фигура симметрична относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре.

Прямая называется осью симметрии фигуры, а фигура обладает осевой симметрией.

Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

Иногда у фигур несколько осей симметрии (рис. 12).

Центральная симметрия

Фигура симметрична относительно центра симметрии, если для каждой точки этой фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Такая фигура имеет центр симметрии (фигура с центральной симметрией). Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

Рис. 15. Центральная симметрия

Точки M и M₁ симметричны относительно некоторой точки O, если точка O является серединой отрезка MM₁ (рис. 15).

Построим треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ симметричный треугольнику $A B C$ относительно центра (точки) $O$ (рис. 16):

1. соединим точки $A$ , $B$ , $C$ с центром $O$ и продолжим эти отрезки;

Рис. 16. Симметричные треугольники относительно точки О

2. измерим отрезки $A O$ , $B O$ , $C O$ и отложим с другой стороны от точки $O$ равные им отрезки: $A O = O A_{1}$ ; $B O = O B_{1}$ ; $C O = O C_{1}$ .

3. соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ , симметричный данному треугольнику $A B C$ .

Упражнения

Рис. 17

1. Выпишите буквы латинского алфавита, которые имеют осевую симметрию.

2. На рисунке 17 назовите точки, симметричные точкам N, A, K, относительно прямой $k$ .

3. Перенесите в тетрадь рисунок 18 и постройте треугольник, симметричный данному относительно прямой $a$ .

4. Перенесите в тетрадь рисунок 19 и постройте треугольник, симметричный данному, относительно точки N.

Рис. 18 Рис. 19

5. На рисунке 20 изображены прямые a, b, c, d, e. Выпишите прямые, которые:

а) параллельны;

б) перпендикулярны.

Рис. 20

Контрольные вопросы

1. Какие прямые называются параллельными?

2. Какую градусную меру имеет угол, заключенный между перпендикулярными прямыми?

3. Сколько прямых, параллельных данной прямой можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?

4. Что такое ось симметрии?

5. Как построить точку, симметричную данной, относительно прямой?

6. Как построить симметричные фигуры относительно точки?

Ответы

1. A, B, C, D, E, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y.

2. B, M, D.

Рис. 21. Упражнение. Ответ

Рис. 22. Упражнение. Ответ

5. а) $c | | e; b | | d$ .

б) $b ⊥ c; b ⊥ e; d ⊥ c; d ⊥ e$ .

Конспект урока: Перпендикулярные прямые. Осевая и центральная симметрии. Параллельные прямые

Общие геометрические сведения

Перпендикулярные прямые

Параллельные прямые

Осевая симметрия

Центральная симметрия