Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Координаты точки и координаты вектора

План урока

Прямоугольная система координат в пространстве;
Координаты вектора;
Связь между координатами векторов и координатами точек.

Цели урока

Знать, что представляет собой прямоугольная система координат в пространстве;
Знать, что называют координатами вектора;
Уметь выполнять сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число в координатной форме;
Уметь вычислять координаты вектора по координатам начала и конца вектора.

Разминка

Какие прямые называются перпендикулярными в пространстве?
Что представляет собой прямоугольная система координат на плоскости?
Что такое вектор?

Прямоугольная система координат в пространстве

Проведём три взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке O. Выберем единичный отрезок и направление для каждой из проведённых прямых. В результате получим прямоугольную систему координат.

Определение 1

Три взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке, с выбранными направлениями и единичным отрезком представляют собой прямоугольную систему координат в пространстве.

Рис. 1.

Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается буквой $О$ . Координатные оси обозначаются $О х$ , $О у$ и $О z$ и соответственно называются осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат. Выбранное положительное направление на каждой оси указывается стрелкой (рис. 1).

Плоскости, проходящие через координатные оси $О х$ и $О у$ , $О у$ и $О z$ , $О х$ и $О z$ , называются координатными плоскостями и обозначаются соответственно $O x y$ , $O y z$ и $O x z$ .

Каждая из осей координат точкой $О$ делится на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, другой – отрицательной полуосью.

Рис. 2.

Если задана прямоугольная система координат, то каждой точке пространства соответствует некоторая тройка чисел ( $x$ ; $y$ ; $z$ ), которые называются координатами данной точки. Чтобы определить координаты точки $M$ (рис. 2), проведём через неё три плоскости, перпендикулярные к осям координат, и обозначим $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями $О х$ , $О у$ , $О z$ .

Рис. 3.

Координатой $x$ точки $M$ называют число, равное по абсолютной величине длине отрезка $O M_{1}$ : положительное, если $M_{1}$ лежит на положительной полуоси $О х$ , и отрицательное, если эта точка лежит на отрицательной полуоси. Аналогично определяются координаты $y$ и $z$ точки $M$ . Координаты точки $M$ при этом записываются следующим образом $M$ ( $x$ ; $y$ ; $z$ ).

Сначала записывает абсцисса, потом – ордината, и в последнюю очередь – аппликата.

Пользуясь этим правилом, запишем координаты точек, изображённых на рисунке 3:

$A (2; - 3; 5), B (0; - 3; 5), C (0; 0; 5), D (2; 0; 5)$ ,

$A_{1} (2; - 3; 0), B_{1} (0; - 3; 0), O (0; 0; 0), D_{1} (2; 0; 0)$ .

Рис. 4.

Упражнение 1

Запишите координаты вершин куба, изображённого на рисунке 4.

Координаты вектора

Рис. 5.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат $O x y z$ . На каждой из осей от начала координат в положительном направлении отложим вектор, длина которого равна единице (единичный вектор).

Введём следующие обозначения:

$\vec{i}$ – единичный вектор оси абсцисс;

$\vec{j}$ – единичный вектор оси ординат;

$\vec{k}$ – единичный вектор оси аппликат.

Эти векторы называют координатными векторами (рис. 5).

Так как координатные векторы не компланарны, то любой вектор $\vec{a}$ можно разложить по этим векторам, т.е. представить в виде

$\vec{a} = x \cdot \vec{i} + y \cdot \vec{j} + z \cdot \vec{k}$ ,

где $x$ , $y$ и $z$ – некоторые числа (коэффициенты разложения), определяемые единственным образом. Эти коэффициенты называются координатами вектора в данной системе координат и записывают $\vec{a} \{x; y; z\}$ .

Рис. 6.

Пример 1

На рисунке 6 в прямоугольном параллелепипеде $O A = 2$ , $O B = 3$ , $O O_{1} = 2$ . Найдите координаты векторов $\vec{O A_{1}}$ , $\vec{O B_{1}}$ , $\vec{O O_{1}}$ , $\vec{O C}$ , $\vec{O C_{1}}$ , $\vec{B C_{1}}$ , $\vec{A C_{1}}$ , $\vec{O_{1} C}$ .

Решение

$\vec{O A_{1}} = 2 \cdot \vec{i} + 2 \cdot \vec{k} \Rightarrow \vec{O A_{1}} \{2; 0; 2\}$ ;

$\vec{O B_{1}} = 3 \cdot \vec{j} + 2 \cdot \vec{k} \Rightarrow \vec{O B_{1}} \{0; 3; 2\}$ ;

$\vec{O O_{1}} = 2 \cdot \vec{k} \Rightarrow \vec{O O_{1}} \{0; 0; 2\}$ ;

$\vec{O C} = 2 \cdot \vec{i} + 3 \cdot \vec{j} \Rightarrow \vec{O C} \{2; 3; 0\}$ ;

$\vec{O C_{1}} = 2 \cdot \vec{i} + 3 \cdot \vec{j} + 2 \cdot \vec{k} \Rightarrow \vec{O C_{1}} \{2; 3; 2\}$ ;

$\vec{B C_{1}} = \vec{O A_{1}} = 2 \cdot \vec{i} + 2 \cdot \vec{k} \Rightarrow \vec{B C_{1}} \{2; 0; 2\}$ ;

$\vec{A C_{1}} = \vec{O B_{1}} = 3 \cdot \vec{j} + 2 \cdot \vec{k} \Rightarrow \vec{A C_{1}} \{0; 3; 2\}$ ;

$\vec{O_{1} C} = 2 \cdot \vec{i} + 3 \cdot \vec{j} - 2 \cdot \vec{k} \Rightarrow \vec{O_{1} C} \{2; 3; - 2\}$ .

Рассмотрим правила, с помощью которых по координатам данных векторов можно найти координаты суммы и разности данных векторов, а также произведения данного вектора на данное число.

Если $\vec{a} \{x_{1}; y_{1}; z_{1}\}$ , $\vec{b} \{x_{2}; y_{2}; z_{2}\}$ – данные векторы, то вектор $\vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты $\{x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2}; z_{1} + z_{2}\}$ или каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Если $\vec{a} \{x_{1}; y_{1}; z_{1}\}$ , $\vec{b} \{x_{2}; y_{2}; z_{2}\}$ – данные векторы, то вектор $\vec{a} - \vec{b}$ имеет координаты $\{x_{1} - x_{2}; y_{1} - y_{2}; z_{1} - z_{2}\}$ или каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
Если $\vec{a} \{x; y; z\}$ – данный вектор, $λ$ – данное число, то вектор $λ \cdot \vec{a}$ имеет координаты $\{λ \cdot x; λ \cdot y; λ \cdot z\}$ или каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Упражнение 2

Рис. 7.

На рисунке 7 изображён куб с ребром, равным 1. Запишите координаты векторов $\vec{A D_{1}}, \vec{A_{1} D}, \vec{A C}, \vec{D_{1} C}, \vec{B C_{1}}, \vec{A C_{1}}$ .
Запишите координаты векторов: $\vec{a} = 2 \cdot \vec{i} + 7 \cdot \vec{j} - 3 \cdot \vec{k}$ , $\vec{b} = - 5 \cdot \vec{i} + 9 \cdot \vec{j} - \vec{k}$ , $\vec{с} = \vec{i} - 8 \cdot \vec{j} + 19 \cdot \vec{k}$ , $\vec{d} = \vec{i} - \vec{j}$ , $\vec{e} = \vec{j} + \vec{k}$ .
Даны векторы $\vec{a} \{5; - 1; 1\}$ и $\vec{b} \{- 2; 1; 0\}$ . Найдите координаты векторов:

а) $\vec{a} + \vec{b}$ ; б) $\vec{a} - \vec{b}$ ; в) $2 \cdot \vec{a}$ ; г) $- 3 \cdot \vec{b}$ ; д) $- 5 \vec{a} + 12 \vec{b}$ .

Координаты точки и координаты вектора

Определение 2

Радиус-вектором данной точки называется вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с данной точкой.

Из определения следует, что координаты точки $M (x_{M}; y_{M}; z_{M})$ являются координатами и радиус-вектора этой точки, т.е.

$\vec{O M} = x_{M} \cdot \vec{i} + y_{M} \cdot \vec{j} + z_{M} \cdot \vec{k} = \{x_{M}; y_{M}; z_{M}\}$

Рис. 8.

Рассмотрим теперь две произвольные точки $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ и $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ (рис. 8).

Вектор $\vec{A B}$ равен разности векторов $\vec{O B}$ и $\vec{O A}$ .

Выполним вычитание векторов в координатной форме

$\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = \{x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1}\}$

Таким образом, установили связь межу координатами вектора и координатами начала и конца этого вектора.

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

$\vec{A B} \{x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1}\}$

Упражнение 3

Вычислите координаты векторов $\vec{A B}$ , $\vec{B C}$ и $\vec{C A}$ , если $A (1; 6; 2)$ , $B (2; 3; - 1)$ , $C (- 3; 4; 5)$ .
Даны точки $A (3; - 1; 5)$ , $B (2; 3; - 4)$ , $C (7; 0; - 1)$ , $D (8; - 4; 8)$ . Докажите, что векторы $\vec{A B}$ и $\vec{D C}$ равны.

Контрольные вопросы

Как определяются координаты точки в пространстве?
Как определяются координаты вектора в пространстве?
Как связаны координаты вектора с координатами его начала и конца?

Ответы

Ответы

Упражнение 1

$A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 1; 0), D (0; 1; 0)$ ;

$A_{1} (0; 0; 1), B_{1} (1; 0; 1), C_{1} (1; 1; 1), D_{1} (0; 1; 1)$ .

Упражнение 2

1. $\vec{A D_{1}} \{0; 1; 1\}, \vec{A_{1} D} \{0; 1; - 1\}, \vec{A C} \{1; 1; 0\}$ ;

$\vec{D_{1} C} \{1; 0; - 1\}, \vec{B C_{1}} \{0; 1; 1\}, \vec{A C_{1}} \{1; 1; 1\}$ .

2. $\vec{a} \{2; 7; - 3\}, \vec{b} \{- 5; 9; - 1\}, \vec{c} \{1; - 8; 19\}, \vec{d} \{1; - 1; 0\}, \vec{e} \{0; 1; 1\}$ ;

3. а) $\vec{a} + \vec{b} = \{3; 0; 1\}$ ; б) $\vec{a} - \vec{b} = \{7; - 2; 1\}$ ; в) $2 \vec{a} = \{10; - 2; 2\}$ ;

г) $- 3 \vec{b} = \{6; - 3; 0\}$ д) $- 5 \vec{a} + 12 \vec{b} = \{- 49; 17; - 5\}$ .

Упражнение 3

$\vec{A B} = \{1; - 3; - 3\}; \vec{B C} = \{- 5; 1; 6\}; \vec{C A} = \{4; 2; - 3\}$ .

Конспект урока: Координаты точки и координаты вектора

Векторы на плоскости и в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве

Координаты вектора

Координаты точки и координаты вектора