Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Простейшие задачи в координатах. Уравнение сферы

Векторы на плоскости и в пространстве

Простейшие задачи в координатах. Уравнение сферы

План урока

  • Координаты середины отрезка;
  • Вычисление длины вектора по его координатам;
  • Расстояние между двумя точками.

Цели урока

  • Уметь находить координаты середины отрезка;
  • Знать формулу длины вектора по его координатам;
  • Уметь находить длину вектора по его координатам;
  • Знать формулу расстояния между точками;
  • Уметь находить расстояние между двумя точками.

Разминка

  • Что такое вектор?
  • Как найти координаты вектора в пространстве?
  • Что означает запись a=5i-2j+k?

Координаты середины отрезка

 

В курсе планиметрии вы уже рассматривали подобные задачи. 

Рис. 1. Координаты середины отрезка Рис. 1. Координаты середины отрезка

Обратимся к рисунку 1. 

 

В прямоугольной системе координат Oxyz отмечены три точки AB и C, причём C - середина отрезка AB

 

Построим три радиус-вектора: OAOB и OC

 

Из курса планиметрии известно, что если C - середина отрезка AB, то 

 

OC=12 OA+OB.

Пусть A(xA;yA;zA) и B(xB;yB;zB). Координаты радиус-векторов OA и OB равны координатам этих точек соответственно, т.е. OA xA;yA;zA и OB xB;yB;zB. Тогда можем выразить координаты вектора OC x;y;z

 

OC=12xA·i+yA·j+zA·k+xB·i+yB·j+zB·k=

=12xA+xB·i+12yA+yB·j+12zA+zB·k

 

Получили, что OC 12xA+xB; 12yA+yB; 12zA+zB . Так как координаты радиус-вектора OC совпадают с координатами точки C то

 

C 12xA+xB; 12yA+yB; 12zA+zB .


Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.


Пример 1

 

Точка C - середина отрезка AB. Найти координаты точки B если A(2; -4;0) и C(1;2; -5).


Решение

 

Так как C - середина отрезка AB, то каждая её координата равна полусумме соответствующих координат его концов, т.е.

 

xC=12xA+xB, yC=12yA+yB, zC=12zA+zB.

 

Выразим координаты точки B:

 

xB=2xC-xA, yB=2yC-yA, zB=2zC-zA.

 

Подставим координаты точек A и C:

 

xB=2·1-2=0, yB=2·2-(-4)=8, zB=2·(-5)-0=-10.

 

Получили

 

B(0;8; -10).

 

Ответ: B(0;8; -10).


Упражнение 1

 

1.  Найти координаты точки C, если C - середина отрезка AB и координаты концов равны:

а) A(1; 5;-2)  и B(-1;3; 0);   

б) A(4; 2;1) и B(-1;-2; -4).

2. Точка C - середина отрезка AB. Найти координаты точки A если 

а) B(3; 0;1) и C(2;1; 7);     

б) B(6; 2;-5) и C(8;0; 3).


Вычисление длины вектора по его координатам

Рис. 2. Длина вектора по координатам Рис. 2. Длина вектора по координатам

В прямоугольной системе координат Oxyz (рис. 2) отмечена точка A. Построим радиус-вектор OA. Если точка A имеет координаты (x;y;z) то вектор OA можно представить в виде 

 

OA=xi+yj+zk=OA1+OA2+OA3,

 

где OA1=xiOA2=yj и OA3=zk

 

Таким образом, имеем, что вектор OA является диагональю прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах OA1OA2 и OA3, т.е.

 

OA=OA12+OA22+OA32.

 

Так как OA1=xi=xOA2=yj=y и OA3=zk=z, то 

 

OA=x2+y2+z2.


Длина вектора a x;y;z вычисляется по формуле:

 

a=x2+y2+z2.


Для получения этой формулы, мы воспользовались свойством диагонали прямоугольного параллелепипеда, т.е. рассмотрели случай, когда точка A не лежит на координатных плоскостях. Если бы точка A лежала в одной из координатных плоскостей, то одна из её координат равнялась бы нулю (если она лежит на координатной прямой – две координаты равны нулю). Значит, формула верна для любого вектора в пространстве.


Пример 2

 

Длина вектора a 2;y;-3 равна 7. Найти y если y>0.


Решение

 

Формула длины вектора a имеет вид:

 

a=x2+y2+z2.

 

Подставим данные из условия:

 

7=22+y2+(-3)2,

 

отсюда

 

49=13+y2,

y2=36.

 

Так как y>0, то y=6.

 

Ответ: 6.


Упражнение 2

 

1.  Найти длину вектора a если

а) a 3;5;6;   б) a -1;2;-5.

2. Длина вектора a 1;2;z равна 3. Найти z<0.

3. Длина вектора a x;3;-4 равна 15. Найти x>0.


Расстояние между двумя точками

 

Расстояние между двумя точками – это длина отрезка, соединяющего эти точки.

 

Зная координаты двух точек в пространстве, можно найти координаты вектора. Зная координаты вектора, можно найти его длину. А так как длина вектора равна длине отрезка между этими точками, то с помощью формулы длины вектора, можно найти расстояние между двумя точками.

 

Пусть точка M1 имеет координаты x1;y1;z1, а точка M2 – координаты x2;y2;z2. Тогда координаты вектора M1M2 имеют вид x2-x1;y2-y1;z2-z1. Можно вычислить длину этого вектора по формуле: M1M2=x2-x12+y2-y12+z2-z12.

 

Соответственно, если d расстояние между точками M1 и M2, то d=M1M2.


Расстояние d между двумя точками M1x1;y1;z1 и M2x2;y2;z2 вычисляется по формуле 

 

d=x2-x12+y2-y12+z2-z12.


Пример 3

 

Найдите периметр треугольника ABC если A(4;4; -1)B(7;8; -1) и C(-4;4; -1).


Решение

 

Периметр – это сумма длин всех сторон, т.е.

 

PABC=AB+BC+AC.

 

Длины сторон равны расстоянию между соответствующими точками. Найдем эти длины:

 

AB=7-42+8-42+-1-(-1)2=5,

BC=(-4-7)2+(4-8)2+(-1-(-1))2=137,

AC=(-4-4)2+(4-4)2+(-1-(-1))2=8.

 

Тогда

 

PABC=5+137+8=13+137.

 

Ответ: 13+137.


Упражнение 3

 

Найдите периметр треугольника ABC если A(5;2; 1)B(0;14; 1) и C(0;2; 6)


Уравнение сферы

Рис. 3. Сфера радиуса <i>R</i> с центром <i>A </i>(<i>x<sub>0</sub>; y<sub>0</sub>; z<sub>0</sub></i>) Рис. 3. Сфера радиуса R с центром A (x0; y0; z0)

Также, как и окружность на плоскости, сфера имеет свое уравнение в пространстве.


Пусть точка A — центр сферы с координатами (x0y0z0) в прямоугольной системе координат Oxyz, а R — радиус этой сферы (рис. 3).


Отметим точку Nx; y; z на сфере.


С одной стороны, AN является радиусом сферы, так как этот отрезок соединяет центр сферы с её точкой.


С другой стороны, длину отрезка AN можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками. Тогда получим:

R=ANx-x02+y-y02+z-z02

 

или

 

x-x02+y-y02+z-z02=R2.


В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром Ax0; y0; z0 имеет вид

 

x-x02+y-y02+z-z02=R2


Пример 4


Написать уравнение сферы с центром в точке A1; 2; 4 и радиусом R=5.


Решение


Подставим в уравнение сферы координаты центра и длину радиуса:

 

x--12+y--22+z-42=52,

 

x+12+y+22+z-42=25.
 

Ответ: x+12+y+22+z-42=25.


Упражнение 4


1. Напишите уравнение сферы с центром в точке A и радиусом R, если 

 

а) A0; 3; 1R=3;                  б) A5; 6; 0R=14.


2. Определите координаты центра и радиус, если уравнение сферы имеет вид:


а) x-22+y+32+z2=1;                  б) x+72+y2+z2=121.


Контрольные вопросы

 

1.  Как найти координаты середины отрезка, если известны координаты его концов?

2. Как найти длину вектора в пространстве, если известны его координаты?

3. Почему формулы длины вектора по координатам и расстояния между двумя точками имеет один вид?


Ответы

Упражнение 1

 

1.а) (0; 4; -1); б) (1,5; 0; -1,5); 

2. а) (1; 2; 13); б) (10; -2; 11).

 

Упражнение 2

 

1 a) 70; б) 30

2. -2. 

3. 102.

 

Упражнение 3

 

26+52

 

Упражнение 4

 

1. а) x2+y-32+z+12=9;

б) x-52+y-62+z2=196.

 

2. а) A2; 3; 0R=1

б) A7; 0; 0R=11.

Предыдущий урок
Скалярное произведение векторов
Векторы на плоскости и в пространстве
Следующий урок
Вычисление углов между прямыми и плоскостями
Векторы на плоскости и в пространстве
  • М.И. Цветаева. Жизнь и творчество. Основные темы лирики. Философская лирика. Любовная лирика

    Литература

  • Политическое сознание

    Обществознание

  • Закономерности существования биосферы. Круговорот веществ в биосфере

    Биология

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке