Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Уравнение плоскости

Векторы на плоскости и в пространстве

02.03.2024
1382
0

Уравнение плоскости

План урока

  • Уравнение поверхности;
  • Уравнение плоскости;
  • Расстояние от точки до плоскости.

Цели урока

  • Знать, что называют уравнением поверхности;
  • Уметь записывать уравнение плоскости;
  • Уметь находить расстояние от точки до плоскости.

Разминка

  • Что такое нормальный вектор плоскости?
  • Что называют расстоянием от точки до плоскости?
  • Какое уравнение задает прямую на плоскости?

Уравнение поверхности

Рис. 1. Уравнения поверхности

Если в пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz и дана некоторая поверхность F то уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности. 

 

На рисунке 1 изображены две поверхности и их уравнения:

 

1) x2a2+y2b2=2z; 2) x2a2+y2b2-z2c2=0.

Уравнение плоскости

 

Вспомним, что нормальный вектор n a;b;c определяет плоскость. Нормальный вектор перпендикулярен плоскости, а значит и любой прямой, лежащей в этой плоскости.

 

Пусть плоскость α проходит через точку M0 (x0;y0;z0) и перпендикулярна вектору n a;b;c. Можем выбрать любую точку M (x;y;z), принадлежащую плоскости α. Тогда вектор n a;b;c и M0M x-x0;y-y0;z-z0 взаимно перпендикулярны, значит, их скалярное произведение равно нулю:

 

ax-x0+by-y0+cz-z0=0.

 

Если же точка M (x;y;z) не принадлежит плоскости, то векторы n и M0M не перпендикулярны и их скалярное произведение не равно нулю, т.е. 

 

ax-x0+by-y0+cz-z00.

 

Мы вывели уравнение плоскости. Если раскрыть скобки, то можно получить уравнение в общем виде.


Уравнение ax-x0+by-y0+cz-z0=0 является уравнением плоскости , проходящей через точку M0 (x0;y0;z0) и перпендикулярной вектору n a;b;c.

 

Уравнение можно записать в виде ax+by+cz+d=0, где a2+b2+c20.


Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.


Пример 1

 

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 напишите уравнение плоскости ACC1.


Решение

Рис. 2. Единичный куб

Введем систему координат с началом в точке A (рис. 2)

Вектор BD перпендикулярен плоскости ACC1.

Определим координаты точки A принадлежащей плоскости ACC1 и точек B, D:

 

A (0;0;0), B (0;1;0),D (1;0;0).

 

Тогда координаты вектора BD 1;-1;0.

Осталось подставить координаты вектора BD и точки A в уравнение плоскости 

 

ax-x0+by-y0+cz-z0=0,

1(x-0)-1(y-0)+0(z-0)=0,

x-y=0.

 

 

Ответ: x-y=0.


Упражнение 1

 

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 напишите уравнение плоскости BDD1. Использовать систему координат из рисунка 2.


Расстояние от точки до плоскости

 

Рассмотрим плоскость α, которая задана уравнением ax+by+cz+d=0, и точку M (xM;yM;zM), лежащую вне этой плоскости. 

 

Пусть точка Mα (xα;yα;zα) – проекция M на плоскость α. Тогда координаты этой точки удовлетворяют уравнению плоскости α, т.е.

 

axα+byα+czα+d=0.

 

Векторы n a;b;c и MMα xα-xM;yα-yM;zα-zM параллельны, так как перпендикулярны одной плоскости. Это значит, что MMα=kn, т.е.

 

xα-xM=ka, yα-yM=kb, zα-zM=kc.

 

Расстояние l от точки M до плоскости α равно длине вектора MMα, т.е.

 

l=xα-xM2+yα-yM2+zα-zM2=

=(ka)2+(kb)2+(kc)2=ka2+b2+c2.

 

 

Осталось выяснить чему равен коэффициент k. Воспользуемся следующими полученными соотношениями:

 

axα+byα+czα+d=0;

xα-xM=ka, yα-yM=kb, zα-zM=kc.

 

Получим

 

a(xM+ka)+b(yM+kb)+c(zM+kc)+d=0,

k=-axM+byM+czM+da2+b2+c2.

 

Тогда 

 

l=axM+byM+czM+da2+b2+c2·a2+b2+c2,

 

l=axM+byM+czM+da2+b2+c2.


Пример 2

 

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки пересечения M диагоналей грани DCC1D1 до плоскости ACC1.


Решение

Рис. 3. Единичный куб

Введем систему координат с началом в точке A (рис. 3).

 

Уравнение плоскости ACC1 мы получили в примере 1:                                  

 

x-y=0.

 

Найдем координаты точки M:

 

M (1;12;12).

 

Подставим все в формулу расстояния:

 

l=axM+byM+czM+da2+b2+c2,

 

l=1·1-1·12+0·12+012+(-1)2+02=24.

 

 

Ответ: 24.


Упражнение 2

 

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки пересечения M диагоналей грани DCC1D1 до плоскости BDD1.  


Контрольные вопросы

 

1. Что такое уравнение поверхности?

2. Что нужно знать, чтобы записать уравнение плоскости?

3. Как найти расстояние от точки до плоскости методом координат?


Ответы

Упражнение 1

 

x+y-1=0

 

Упражнение 2

 

 24.

Предыдущий урок
Координаты точки и координаты вектора
Векторы на плоскости и в пространстве
Следующий урок
Уравнение плоскости
Векторы на плоскости и в пространстве
Поделиться:
  • Демократические выборы

    Обществознание

  • Нации и межнациональные отношения

    Обществознание

  • Обобщение и систематизация изученного материала по теме «Алгоритмы и элементы программирования»
Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке