Конспект урока: Уравнение плоскости

Уравнение поверхности

Рис. 1. Уравнения поверхности

Если в пространстве задана прямоугольная система координат $Oxyz$ и дана некоторая поверхность $F$ то уравнение с тремя переменными $x, y, z$ называется уравнением поверхности $F$, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности $F$ и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности. 

 

На рисунке 1 изображены две поверхности и их уравнения:

 

1) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z$; 2) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$.

Уравнение плоскости

Вспомним, что нормальный вектор $\overrightarrow{n} \left\{a;b;c\right\}$ определяет плоскость. Нормальный вектор перпендикулярен плоскости, а значит и любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Пусть плоскость $\alpha$ проходит через точку $M_0 (x_0;y_0;z_0)$ и перпендикулярна вектору $\overrightarrow{n} \left\{a;b;c\right\}$. Можем выбрать любую точку $M (x;y;z)$, принадлежащую плоскости $\alpha$. Тогда вектор $\overrightarrow{n} \left\{a;b;c\right\}$ и $\overrightarrow{M_{0}M} \left\{x-x_0;y-y_0;z-z_0\right\}$ взаимно перпендикулярны, значит, их скалярное произведение равно нулю:

$a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0$.

Если же точка $M (x;y;z)$ не принадлежит плоскости, то векторы $\overrightarrow{n}$ и $\overrightarrow{M_{0}M}$ не перпендикулярны и их скалярное произведение не равно нулю, т.е. 

$a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)\ne 0$.

Мы вывели уравнение плоскости. Если раскрыть скобки, то можно получить уравнение в общем виде.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

Решение

Рис. 2. Единичный куб

Введем систему координат с началом в точке $A$ (рис. 2)

Вектор $\overrightarrow{BD}$ перпендикулярен плоскости $\left(AC{C}_1\right)$.

Определим координаты точки $A$ принадлежащей плоскости $\left(AC{C}_1\right)$ и точек $B, D$:

 

$A (0;0;0), B (0;1;0),D (1;0;0)$.

 

Тогда координаты вектора $\overrightarrow{BD} \left\{1;-1;0\right\}$.

Осталось подставить координаты вектора $\overrightarrow{BD}$ и точки $A$ в уравнение плоскости 

 

$a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0$,

$1(x-0)-1(y-0)+0(z-0)=0$,

$x-y=0$.

 

 

Ответ: $x-y=0$.

Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим плоскость $\alpha$, которая задана уравнением $ax+by+cz+d=0$, и точку $M (x_M;y_M;z_M)$, лежащую вне этой плоскости. 

Пусть точка $M_{\alpha } (x_{\alpha };y_{\alpha };z_{\alpha })$ – проекция $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда координаты этой точки удовлетворяют уравнению плоскости $\alpha$, т.е.

$a{x}_{\alpha }+b{y}_{\alpha }+c{z}_{\alpha }+d=0$.

Векторы $\overrightarrow{n} \left\{a;b;c\right\}$ и $\overrightarrow{M{M}_{\alpha }} \left\{x_{\alpha }-x_M;y_{\alpha }-y_M;z_{\alpha }-z_M\right\}$ параллельны, так как перпендикулярны одной плоскости. Это значит, что $\overrightarrow{M{M}_{\alpha }}=k\overrightarrow{n}$, т.е.

$x_{\alpha }-x_M=ka, y_{\alpha }-y_M=kb, z_{\alpha }-z_M=kc$.

Расстояние $l$ от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно длине вектора $\overrightarrow{M{M}_{\alpha }}$, т.е.

$l=\sqrt{{\left(x_{\alpha }-x_M\right)}^2+{\left(y_{\alpha }-y_M\right)}^2+{\left(z_{\alpha }-z_M\right)}^2}=$

$=\sqrt{(ka{)}^2+(kb{)}^2+(kc{)}^2}=\left|k\right|\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Осталось выяснить чему равен коэффициент $k$. Воспользуемся следующими полученными соотношениями:

$a{x}_{\alpha }+b{y}_{\alpha }+c{z}_{\alpha }+d=0$;

$x_{\alpha }-x_M=ka, y_{\alpha }-y_M=kb, z_{\alpha }-z_M=kc$.

Получим

$a(x_M+ka)+b(y_M+kb)+c(z_M+kc)+d=0$,

$k=-\frac{a{x}_M+b{y}_M+c{z}_M+d}{a^2+b^2+c^2}$.

Тогда 

$l=\left|\frac{a{x}_M+b{y}_M+c{z}_M+d}{a^2+b^2+c^2}\right|·\sqrt{a^2+b^2+c^2}$,

$l=\frac{\left|a{x}_M+b{y}_M+c{z}_M+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

Решение

Рис. 3. Единичный куб

Введем систему координат с началом в точке $A$ (рис. 3).

 

Уравнение плоскости $\left(AC{C}_1\right)$ мы получили в примере 1:                                  

 

$x-y=0$.

 

Найдем координаты точки $M$:

 

$M (1;\frac{1}{2};\frac{1}{2})$.

 

Подставим все в формулу расстояния:

 

$l=\frac{\left|a{x}_M+b{y}_M+c{z}_M+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$,

 

$l=\frac{\left|1·1-1·{\displaystyle \frac{1}{2}}+0·{\displaystyle \frac{1}{2}}+0\right|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+0^2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.

 

 

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.