Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Скалярное произведение векторов

Векторы на плоскости и в пространстве

Скалярное произведение векторов

План урока

  • Угол между векторами;
  • Скалярное произведение векторов;
  • Свойства скалярного произведения векторов.

Цели урока

  • Знать, что такое скалярное произведение векторов;
  • Уметь находить угол между векторами;
  • Знать свойства скалярного произведения.

Разминка

  • Как найти координаты середины отрезка?
  • Чему равна длина вектора a -2;3;-3?
  • Как найти расстояние между двумя точками?

Угол между векторами

Рис. 1. Угол между векторами Рис. 1. Угол между векторами

Эта тема вам знакома из курса планиметрии. 

 

Известно, что два любых вектора (неважно где, на плоскости или в пространстве) можно отложить от произвольной точки. Если векторы являются сонаправленными (лежат на параллельных прямых и имеют одинаковое направление), то они будут лежать на одной прямой. Если векторы не являются сонаправленными то они образуют угол  (рис. 1). При этом если векторы сонаправлены, то α=0°, а если противоположно направлены, то α=180°. Таким образом, 0°α180°.


Если угол между векторами равен , то векторы называются перпендикулярными .


Угол между векторами a и b обозначается так: ab^. Также будем считать, что угол между произвольным вектором и нулевым вектором равен нулю.


Пример 1

 

Определите углы между векторами на рисунке 2.


Решение

Рис. 2. Рис. 2.

Векторы AB и CH являются противоположно направленными, поэтому

 

AB CH^=180°.

 

Векторы AB и CBCH и CB лежат на перпендикулярных прямых, поэтому

 

AB CB^=90°CB CH^=90°.

 

Углы между оставшимися векторами:

 

AB CD^=135°, CB CD^ =135°, CH CD^=45°


Рис. 3. Рис. 3.

Упражнение 1

 

Определите углы между векторами на рисунке 3.                                          


Скалярное произведение векторов

 

Скалярное произведение для векторов в пространстве задается точно также, как и на плоскости.


Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

 

Обозначается скалярное произведение векторов a и b так: ab.

 

Формула скалярного произведения векторов a и b имеет вид: ab=a·b·cos ab^.   


Если векторы a и b перпендикулярны, то угол между ними равен 90° т.е. cos ab^=0. Значит, скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.   

 

Скалярный квадрат вектора  (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины , т.к. aa^=0°, а значит cos aa^=1.

 

Зная координаты векторов a и b, можно вычислить их скалярное произведение.


Скалярное произведение векторов a x1;y1;z1 и b x2;y2;z2 выражается формулой

 

ab=x1x2+y1y2+z1z2.


Скалярное произведение векторов a x1;y1;z1 и b x2;y2;z2 можно вычислить с помощью двух формул: ab=a·b·cos ab^ и ab=x1x2+y1y2+z1z2. Выразим из первой формулы cos ab^. Тогда получим

 

cos ab^=aba·b.

 

Длину каждого из векторов можно вычислить по формулам: a=x12+y12+z12 и b=x22+y22+z22

 

Тогда формула для нахождения угла между векторами a x1;y1;z1 и b x2;y2;z2 имеет вид:

 

cos ab^=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12·x22+y22+z22.


Пример 2

 

Найдите угол между векторами AB и CD, если A(3; -1;3)B(3; -2;2)C(2;2;3) и D(1;2;2).


Решение

 

Найдем координаты векторов AB и CD:

 

AB 3-3;-2-(-1);2-3, AB 0;-1;-1,

CD 1-2;2-2;2-3, CD-1;0;-1.

 

 

Воспользуемся формулой:

 

cos ABCD^=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12·x22+y22+z22,

 

cos ABCD^=0·(-1)+(-1)·0+(-1)·(-1)02+(-1)2+(-1)2·(-1)2+02+(-1)2=12.

 

Осталось найти угол:

 

AB CD^=arccos 12=60°.

 

Ответ: 60°.


Упражнение 2

 

Найдите угол между векторами AB и CD, если A(1; 1;2)B(0; 1;1)C(2;-2;2) и D(2;-3;1).


Свойства скалярного произведения векторов

 

Вспомним свойства скалярного произведения векторов из планиметрии. Все они справедливы также и для векторов в пространстве.


Свойства (для любых векторов ab и c любого числа k):

 

1.  a20 причем a>0 при a0.

2.  ab=ba (переместительный закон).

3.  a+bc=ac+bc (распределительный закон).

4.  kab=kab (сочетательный закон).


Все они были доказаны в курсе планиметрии.


Контрольные вопросы

 

1. Что такое скалярное произведение двух векторов?

2. Как найти угол между векторами?

3. Какими свойствами обладает скалярное произведение?


Ответы

Упражнение 1

 

AC AB^=40°, CM AB^ =90°, AC CM^=50°.

 

Упражнение 2

 

60°.

Вписанный четырёхугольник

Окружность
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Экономическое развитие в XIX – начале ХХ века. Меняющееся общество

    История