Скалярное произведение векторов

План урока

Угол между векторами;
Скалярное произведение векторов;
Свойства скалярного произведения векторов.

Цели урока

Знать, что такое скалярное произведение векторов;
Уметь находить угол между векторами;
Знать свойства скалярного произведения.

Разминка

Как найти координаты середины отрезка?
Чему равна длина вектора $\vec{a} \{- 2; 3; - \sqrt{3}\}$ ?
Как найти расстояние между двумя точками?

Угол между векторами

Рис. 1. Угол между векторами

Эта тема вам знакома из курса планиметрии.

Известно, что два любых вектора (неважно где, на плоскости или в пространстве) можно отложить от произвольной точки. Если векторы являются сонаправленными (лежат на параллельных прямых и имеют одинаковое направление), то они будут лежать на одной прямой. Если векторы не являются сонаправленными то они образуют угол (рис. 1). При этом если векторы сонаправлены, то $α = 0 °$ , а если противоположно направлены, то $α = 180 °$ . Таким образом, $0 ° \leq α \leq 180 °$ .

Если угол между векторами равен $90 °$ , то векторы называются перпендикулярными .

Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается так: $\hat{\vec{a} \vec{b}}$ . Также будем считать, что угол между произвольным вектором и нулевым вектором равен нулю.

Угол между двумя нулевыми векторами также равен нулю.

Пример 1

Определите градусные меры углов между векторами на рисунке 2.

Решение

Рис. 2.

Векторы $\vec{A B}$ и $\vec{C H}$ являются противоположно направленными, поэтому

$\hat{\vec{A B} \vec{C H}} = 180 °$ .

Векторы $\vec{A B}$ и $\vec{C B}$ , $\vec{C H}$ и $\vec{C B}$ лежат на перпендикулярных прямых, поэтому

$\hat{\vec{A B} \vec{C B}} = 90 °$ , $\hat{\vec{C B} \vec{C H}} = 90 °$ .

Градусные меры углов между оставшимися векторами:

$\hat{\vec{A B} \vec{C D}} = 135 °, \hat{\vec{C B} \vec{C D}} = 135 °, \hat{\vec{C H} \vec{C D}} = 45 °$

Рис. 3.

Упражнение 1

Определите углы между векторами на рисунке 3.

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение для векторов в пространстве задается точно также, как и на плоскости.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Обозначается скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ так: $\vec{a} \vec{b}$ .

Формула скалярного произведения векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеет вид: $\vec{a} \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\hat{\vec{a} \vec{b}})$ .

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, то угол между ними равен $90 °$ т.е. $\cos (\hat{\vec{a} \vec{b}}) = 0$ . Значит, скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины , т.к. $\hat{\vec{a} \vec{a}} = 0 °$ , а значит $\cos (\hat{\vec{a} \vec{a}}) = 1$ .

Зная координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , можно вычислить их скалярное произведение.

Скалярное произведение векторов $\vec{a} \{x_{1}; y_{1}; z_{1}\}$ и $\vec{b} \{x_{2}; y_{2}; z_{2}\}$ выражается формулой

$\vec{a} \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$ .

Скалярное произведение векторов $\vec{a} \{x_{1}; y_{1}; z_{1}\}$ и $\vec{b} \{x_{2}; y_{2}; z_{2}\}$ можно вычислить с помощью двух формул: $\vec{a} \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\hat{\vec{a} \vec{b}})$ и $\vec{a} \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$ . Выразим из первой формулы $\cos (\hat{\vec{a} \vec{b}})$ . Тогда получим

$\cos (\hat{\vec{a} \vec{b}}) = \frac{\vec{a} \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ .

Длину каждого из векторов можно вычислить по формулам: $|\vec{a}| = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}}$ и $|\vec{b}| = \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}}$ .

Тогда формула для нахождения угла между векторами $\vec{a} \{x_{1}; y_{1}; z_{1}\}$ и $\vec{b} \{x_{2}; y_{2}; z_{2}\}$ имеет вид:

$\cos (\hat{\vec{a} \vec{b}}) = \frac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}}}$ .

Пример 2

Найдите угол между векторами $\vec{A B}$ и $\vec{C D}$ , если $A (3; - 1; 3)$ , $B (3; - 2; 2)$ , $C (2; 2; 3)$ и $D (1; 2; 2)$ .

Решение

Найдем координаты векторов $\vec{A B}$ и $\vec{C D}$ :

$\vec{A B} \{3 - 3; - 2 - (- 1); 2 - 3\}, \vec{A B} \{0; - 1; - 1\}$ ,

$\vec{C D} \{1 - 2; 2 - 2; 2 - 3\}, \vec{C D} \{- 1; 0; - 1\}$ .

Воспользуемся формулой:

$\cos (\hat{\vec{A B} \vec{C D}}) = \frac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}}}$ ,

$\cos (\hat{\vec{A B} \vec{C D}}) = \frac{0 \cdot (- 1) + (- 1) \cdot 0 + (- 1) \cdot (- 1)}{\sqrt{0^{2} + (- 1)^{2} + (- 1)^{2}} \cdot \sqrt{(- 1)^{2} + 0^{2} + (- 1)^{2}}} = \frac{1}{2}$ .

Осталось найти угол:

$\hat{\vec{A B} \vec{C D}} = a r c \cos (\frac{1}{2}) = 60 °$ .

Ответ: $60 °$ .

Упражнение 2

Найдите угол между векторами $\vec{A B}$ и $\vec{C D}$ , если $A (1; 1; 2)$ , $B (0; 1; 1)$ , $C (2; - 2; 2)$ и $D (2; - 3; 1)$ .

Свойства скалярного произведения векторов

Вспомним свойства скалярного произведения векторов из планиметрии. Все они справедливы также и для векторов в пространстве.

Свойства (для любых векторов $\vec{a}$ , $\vec{b}$ и $\vec{c}$ и любого числа $k$ ):

1. ${\vec{a}}^{2} \geq 0$ причем ${\vec{a}}^{2} > 0$ при $\vec{a} \neq \vec{0}$ .

2. $\vec{a} \vec{b} = \vec{b} \vec{a}$ (переместительный закон).

3. $(\vec{a} + \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} \vec{c} + \vec{b} \vec{c}$ (распределительный закон).

4. $k (\vec{a} \vec{b}) = (k \vec{a}) \vec{b}$ (сочетательный закон).

Все они были доказаны в курсе планиметрии.

Контрольные вопросы

1. Что такое скалярное произведение двух векторов?

2. Как найти угол между векторами?

3. Какими свойствами обладает скалярное произведение векторов?

Ответы

Упражнение 1

$\hat{\vec{A C} \vec{A B}} = 40 °, \hat{\vec{C M} \vec{A B}} = 90 °, \hat{\vec{A C} \vec{C M}} = 50 °$ .

Упражнение 2

$60 °$ .

Конспект урока: Скалярное произведение векторов

Векторы на плоскости и в пространстве

Угол между векторами

Скалярное произведение векторов

Свойства скалярного произведения векторов