Конспект урока: Простейшие задачи в координатах. Уравнение сферы

[header]Простейшие задачи в координатах. Уравнение сферы[/header]

[flex column='true'][row title='План урока']

• Координаты середины отрезка;
• Вычисление длины вектора по его координатам;
• Расстояние между двумя точками.

[/row][row title='Цели урока']

• Уметь находить координаты середины отрезка;
• Знать формулу длины вектора по его координатам;
• Уметь находить длину вектора по его координатам;
• Знать формулу расстояния между точками;
• Уметь находить расстояние между двумя точками.

[/row][row title='Разминка' final='true']

• Что такое вектор?
• Как найти координаты вектора в пространстве?
• Что означает запись $\overrightarrow{a}=5\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$?

[/row][/flex]

Координаты середины отрезка

В курсе планиметрии вы уже рассматривали подобные задачи. 

[img url='/upload/Kz7vTFiTzbUf_712%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%252016.%2520%25D0%259F%25D1%2580%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25B9%25D1%2588%25D0%25B8%25D0%25B5%2520%25D0%25B7%25D0%25B0%25D0%25B4%25D0%25B0%25D1%2587%25D0%25B8%2520%25D0%25B2%2520%25D0%25BA%25D0%25BE%25D0%25BE%25D1%2580%25D0%25B4%25D0%25B8%25D0%25BD%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B0%25D1%2585.%2520%25D0%259A%25D0%25BE%25D0%25BE%25D1%2580%25D0%25B4%25D0%25B8%25D0%25BD%25D0%25B0%25D1%2582%25D1%258B%2520%25D1%2581%25D0%25B5%25D1%2580%25D0%25B5%25D0%25B4%25D0%25B8%25D0%25BD%25D1%258B%2520%25D0%25BE%25D1%2582%25D1%2580%25D0%25B5%25D0%25B7%25D0%25BA%25D0%25B0%281%29.png' name='Рис. 1. Координаты середины отрезка' float='right' width='35']

Обратимся к рисунку 1. 

В прямоугольной системе координат $Oxyz$ отмечены три точки $A$, $B$ и $C$, причём $C$ - середина отрезка $AB$. 

Построим три радиус-вектора: $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OC}$. 

Из курса планиметрии известно, что если $C$ - середина отрезка $AB$, то 

$OC=\frac{1}{2} \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$.

[/img]

Пусть $A(x_A;y_A;z_A)$ и $B(x_B;y_B;z_B)$. Координаты радиус-векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ равны координатам этих точек соответственно, т.е. $\overrightarrow{OA} \left\{x_A;y_A;z_A\right\}$ и $\overrightarrow{OB} \left\{x_B;y_B;z_B\right\}$. Тогда можем выразить координаты вектора $\overrightarrow{OC} \left\{x;y;z\right\}$

$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\left(\left(x_A·\overrightarrow{i}+y_A·\overrightarrow{j}+z_A·\overrightarrow{k}\right)+\left(x_B·\overrightarrow{i}+y_B·\overrightarrow{j}+z_B·\overrightarrow{k}\right)\right)=$

$=\frac{1}{2}\left(x_A+x_B\right)·\overrightarrow{i}+\frac{1}{2}\left(y_A+y_B\right)·\overrightarrow{j}+\frac{1}{2}\left(z_A+z_B\right)·\overrightarrow{k}$

Получили, что $\overrightarrow{OC} \left\{\frac{1}{2}\left(x_A+x_B\right); \frac{1}{2}\left(y_A+y_B\right); \frac{1}{2}\left(z_A+z_B\right) \right\}$. Так как координаты радиус-вектора $\overrightarrow{OC}$ совпадают с координатами точки $C$ то

$C \left(\frac{1}{2}\left(x_A+x_B\right); \frac{1}{2}\left(y_A+y_B\right); \frac{1}{2}\left(z_A+z_B\right) \right)$.

[line][/line]

[section icon='note']

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

[/section]

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 1

Точка $C$ - середина отрезка $AB$. Найти координаты точки $B$ если $A(2; -4;0)$ и $C(1;2; -5)$.

[/section]

[line][/line]

Решение

Так как $C$ - середина отрезка $AB$, то каждая её координата равна полусумме соответствующих координат его концов, т.е.

$x_C=\frac{1}{2}\left(x_A+x_B\right), y_C=\frac{1}{2}\left(y_A+y_B\right), z_C=\frac{1}{2}\left(z_A+z_B\right)$.

Выразим координаты точки $B$:

$x_B=2x_C-x_A, y_B=2y_C-y_A, z_B=2z_C-z_A$.

Подставим координаты точек $A$ и $C$:

$x_B=2·1-2=0, y_B=2·2-(-4)=8, z_B=2·(-5)-0=-10$.

Получили

$B(0;8; -10)$.

Ответ: $B(0;8; -10)$.

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнение 1

1.  Найти координаты точки $C$, если $C$ - середина отрезка $AB$ и координаты концов равны:

а) $A(1; 5;-2)$ и $B(-1;3; 0)$;   

б) $A(4; 2;1)$ и $B(-1;-2; -4)$.

2. Точка $C$ - середина отрезка $AB$. Найти координаты точки $A$ если 

а) $B(3; 0;1)$ и $C(2;1; 7)$;     

б) $B(6; 2;-5)$ и $C(8;0; 3)$.

[/section]

[line][/line]

Вычисление длины вектора по его координатам

[img url='/upload/hRRyej90FGGs_711%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%252016.%2520%25D0%259F%25D1%2580%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25B9%25D1%2588%25D0%25B8%25D0%25B5%2520%25D0%25B7%25D0%25B0%25D0%25B4%25D0%25B0%25D1%2587%25D0%25B8%2520%25D0%25B2%2520%25D0%25BA%25D0%25BE%25D0%25BE%25D1%2580%25D0%25B4%25D0%25B8%25D0%25BD%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B0%25D1%2585.%2520%25D0%2594%25D0%25BB%25D0%25B8%25D0%25BD%25D0%25B0%2520%25D0%25B2%25D0%25B5%25D0%25BA%25D1%2582%25D0%25BE%25D1%2580%25D0%25B0%2520%25D0%25BF%25D0%25BE%2520%25D0%25BA%25D0%25BE%25D0%25BE%25D1%2580%25D0%25B4%25D0%25B8%25D0%25BD%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B0%25D0%25BC%281%29.png' name='Рис. 2. Длина вектора по координатам' float='right' width='40']

В прямоугольной системе координат $Oxyz$ (рис. 2) отмечена точка $A$. Построим радиус-вектор $\overrightarrow{OA}$. Если точка $A$ имеет координаты $(x;y;z)$ то вектор $\overrightarrow{OA}$ можно представить в виде 

$\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}=\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{A}_2}+\overrightarrow{O{A}_3}$,

где $\overrightarrow{O{A}_1}=x\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{O{A}_2}=y\overrightarrow{j}$ и $\overrightarrow{O{A}_3}=z\overrightarrow{k}$. 

Таким образом, имеем, что вектор $\overrightarrow{OA}$ является диагональю прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах $\overrightarrow{O{A}_1}$, $\overrightarrow{O{A}_2}$ и $\overrightarrow{O{A}_3}$, т.е.

$\left|\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{{\left|\overrightarrow{O{A}_1}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{O{A}_2}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{O{A}_3}\right|}^2}$.

Так как $\left|\overrightarrow{O{A}_1}\right|=\left|x\overrightarrow{i}\right|=\left|x\right|$, $\left|\overrightarrow{O{A}_2}\right|=\left|y\overrightarrow{j}\right|=\left|y\right|$ и $\left|\overrightarrow{O{A}_3}\right|=\left|z\overrightarrow{k}\right|=\left|z\right|$, то 

$\left|\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

[/img]

[line][/line]

[section icon='note']

Длина вектора $\overrightarrow{a} \left\{x;y;z\right\}$ вычисляется по формуле:

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

[/section]

[line][/line]

Для получения этой формулы, мы воспользовались свойством диагонали прямоугольного параллелепипеда, т.е. рассмотрели случай, когда точка $A$ не лежит на координатных плоскостях. Если бы точка $A$ лежала в одной из координатных плоскостей, то одна из её координат равнялась бы нулю (если она лежит на координатной прямой – две координаты равны нулю). Значит, формула верна для любого вектора в пространстве.

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 2

Длина вектора $\overrightarrow{a} \left\{2;y;-3\right\}$ равна 7. Найти $y$ если $y>0$.

[/section]

[line][/line]

Решение

Формула длины вектора $\overrightarrow{a}$ имеет вид:

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Подставим данные из условия:

$7=\sqrt{2^2+y^2+{(-3)}^2}$,

отсюда

$49=13+y^2$,

$y^2=36$.

Так как $y>0$, то $y=6$.

Ответ: 6.

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнение 2

1.  Найти длину вектора $\overrightarrow{a}$ если

а) $\overrightarrow{a} \left\{3;5;6\right\}$;   б) $\overrightarrow{a} \left\{-1;2;-5\right\}$.

2. Длина вектора $\overrightarrow{a} \left\{1;2;z\right\}$ равна 3. Найти $z<0$.

3. Длина вектора $\overrightarrow{a} \left\{x;3;-4\right\}$ равна 15. Найти $x>0$.

[/section]

[line][/line]

Расстояние между двумя точками

Расстояние между двумя точками – это длина отрезка, соединяющего эти точки.

Зная координаты двух точек в пространстве, можно найти координаты вектора. Зная координаты вектора, можно найти его длину. А так как длина вектора равна длине отрезка между этими точками, то с помощью формулы длины вектора, можно найти расстояние между двумя точками.

Пусть точка $M_1$ имеет координаты $\left(x_1;y_1;z_1\right)$, а точка $M_2$ – координаты $\left(x_2;y_2;z_2\right)$. Тогда координаты вектора $\overrightarrow{M_1{M}_2}$ имеют вид $\left\{x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1\right\}$. Можно вычислить длину этого вектора по формуле: $\left|\overrightarrow{M_1{M}_2}\right|={\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+\left(z_2-z_1\right)}}^2$.

Соответственно, если $d$ расстояние между точками $M_1$ и $M_2$, то $d=\left|\overrightarrow{M_1{M}_2}\right|$.

[line][/line]

[section icon='note']

Расстояние $d$ между двумя точками $M_1\left(x_1;y_1;z_1\right)$ и $M_2\left(x_2;y_2;z_2\right)$ вычисляется по формуле 

$d=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}$.

[/section]

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 3

Найдите периметр треугольника $ABC$ если $A(4;4; -1)$, $B(7;8; -1)$ и $C(-4;4; -1)$.

[/section]

[line][/line]

Решение

Периметр – это сумма длин всех сторон, т.е.

$P_{ABC}=AB+BC+AC$.

Длины сторон равны расстоянию между соответствующими точками. Найдем эти длины:

$AB=\sqrt{{\left(7-4\right)}^2+{\left(8-4\right)}^2+{\left(-1-(-1)\right)}^2}=5$,

$BC=\sqrt{(-4-7{)}^2+{(4-8)}^2+(-1-(-1){)}^2}=\sqrt{137}$,

$AC=\sqrt{(-4-4{)}^2+{(4-4)}^2+(-1-(-1){)}^2}=8$.

Тогда

$P_{ABC}=5+\sqrt{137}+8=13+\sqrt{137}$.

Ответ: $13+\sqrt{137}$.

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнение 3

Найдите периметр треугольника $ABC$ если $A(5;2; 1)$, $B(0;14; 1)$ и $C(0;2; 6)$. 

[/section]

[line][/line]

Уравнение сферы

[img url='/upload/gV5iKjh3ZY9c_713png%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%252016.%2520%25D0%259F%25D1%2580%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25B9%25D1%2588%25D0%25B8%25D0%25B5%2520%25D0%25B7%25D0%25B0%25D0%25B4%25D0%25B0%25D1%2587%25D0%25B8%2520%25D0%25B2%2520%25D0%25BA%25D0%25BE%25D0%25BE%25D1%2580%25D0%25B4%25D0%25B8%25D0%25BD%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B0%25D1%2585.%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25B2%25D0%25BD%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B8%25D0%25B5%2520%25D1%2581%25D1%2584%25D0%25B5%25D1%2580%25D1%258B%281%29.png' name='Рис. 3. Сфера радиуса R с центром A (x₀; y₀; z₀)' width='45' float='right']

Также, как и окружность на плоскости, сфера имеет свое уравнение в пространстве.

Пусть точка $A$ — центр сферы с координатами ($x_0$; $y_0$; $z_0$) в прямоугольной системе координат $O_{xyz}$, а $R$ — радиус этой сферы (рис. 3).

Отметим точку $N\left(x; y; z\right)$ на сфере.

С одной стороны, $AN$ является радиусом сферы, так как этот отрезок соединяет центр сферы с её точкой.

С другой стороны, длину отрезка $AN$ можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками. Тогда получим:

[/img]

$R=AN\sqrt{{\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2}$

или

${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2=R^2$.

[line][/line]

[section icon='note']

В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса $R$ с центром $A\left(x_0; y_0; z_0\right)$ имеет вид

${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2=R^2$. 

[/section]

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 4

Написать уравнение сферы с центром в точке $A\left(-1; -2; 4\right)$ и радиусом $R=5$.

[/section]

[line][/line]

Решение

Подставим в уравнение сферы координаты центра и длину радиуса:

${\left(x-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(y-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(z-4\right)}^2=5^2$,

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-4\right)}^2=25$.
 

Ответ: ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-4\right)}^2=25$.

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнение 4

1. Напишите уравнение сферы с центром в точке $A$ и радиусом $R$, если 

а) $A\left(0; 3; -1\right)$, $R=3$;                  б) $A\left(5; 6; 0\right)$, $R=14$.

2. Определите координаты центра и радиус, если уравнение сферы имеет вид:

а) ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2+z^2=1$;                  б) ${\left(x+7\right)}^2+y^2+z^2=121$.

[/section]

[line][/line]

[section icon='question']

Контрольные вопросы

1.  Как найти координаты середины отрезка, если известны координаты его концов?

2. Как найти длину вектора в пространстве, если известны его координаты?

3. Почему формулы длины вектора по координатам и расстояния между двумя точками имеет один вид?

[/section]

[line][/line]

[flex column='true'][row title='Ответы' final='true']

Упражнение 1

1.а) (0; 4; -1); б) (1,5; 0; -1,5); 

2. а) (1; 2; 13); б) (10; -2; 11).

Упражнение 2

1 a) $\sqrt{70}$; б) $\sqrt{30}$. 

2. -2. 

3. $10\sqrt{2}$.

Упражнение 3

$26+5\sqrt{2}$

Упражнение 4

1. а) $x^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$;

б) ${\left(x-5\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2+z^2=196$.

2. а) $A\left(2; -3; 0\right)$, $R=1$; 

б) $A\left(-7; 0; 0\right)$, $R=11$.

[/row][/flex]