Простейшие задачи в координатах. Уравнение сферы

План урока

Координаты середины отрезка;
Вычисление длины вектора по его координатам;
Расстояние между двумя точками.

Цели урока

Уметь находить координаты середины отрезка;
Знать формулу длины вектора по его координатам;
Уметь находить длину вектора по его координатам;
Знать формулу расстояния между точками;
Уметь находить расстояние между двумя точками.

Разминка

Что такое вектор?
Как найти координаты вектора в пространстве?
Что означает запись $\vec{a} = 5 \vec{i} - 2 \vec{j} + \vec{k}$ ?

Координаты середины отрезка

В курсе планиметрии вы уже рассматривали подобные задачи.

Рис. 1. Координаты середины отрезка

Обратимся к рисунку 1.

В прямоугольной системе координат $O x y z$ отмечены три точки $A$ , $B$ и $C$ , причём $C$ - середина отрезка $A B$ .

Построим три радиус-вектора: $\vec{O A}$ , $\vec{O B}$ и $\vec{O C}$ .

Из курса планиметрии известно, что если $C$ - середина отрезка $A B$ , то

$O C = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ .

Пусть $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ и $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ . Координаты радиус-векторов $\vec{O A}$ и $\vec{O B}$ равны координатам этих точек соответственно, т.е. $\vec{O A} \{x_{A}; y_{A}; z_{A}\}$ и $\vec{O B} \{x_{B}; y_{B}; z_{B}\}$ . Тогда можем выразить координаты вектора $\vec{O C} \{x; y; z\}$

$\vec{O C} = \frac{1}{2} ((x_{A} \cdot \vec{i} + y_{A} \cdot \vec{j} + z_{A} \cdot \vec{k}) + (x_{B} \cdot \vec{i} + y_{B} \cdot \vec{j} + z_{B} \cdot \vec{k})) =$

$= \frac{1}{2} (x_{A} + x_{B}) \cdot \vec{i} + \frac{1}{2} (y_{A} + y_{B}) \cdot \vec{j} + \frac{1}{2} (z_{A} + z_{B}) \cdot \vec{k}$

Получили, что $\vec{O C} \{\frac{1}{2} (x_{A} + x_{B}); \frac{1}{2} (y_{A} + y_{B}); \frac{1}{2} (z_{A} + z_{B})\}$ . Так как координаты радиус-вектора $\vec{O C}$ совпадают с координатами точки $C$ то

$C (\frac{1}{2} (x_{A} + x_{B}); \frac{1}{2} (y_{A} + y_{B}); \frac{1}{2} (z_{A} + z_{B}))$ .

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Пример 1

Точка $C$ - середина отрезка $A B$ . Найти координаты точки $B$ если $A (2; - 4; 0)$ и $C (1; 2; - 5)$ .

Решение

Так как $C$ - середина отрезка $A B$ , то каждая её координата равна полусумме соответствующих координат его концов, т.е.

$x_{C} = \frac{1}{2} (x_{A} + x_{B}), y_{C} = \frac{1}{2} (y_{A} + y_{B}), z_{C} = \frac{1}{2} (z_{A} + z_{B})$ .

Выразим координаты точки $B$ :

$x_{B} = 2 x_{C} - x_{A}, y_{B} = 2 y_{C} - y_{A}, z_{B} = 2 z_{C} - z_{A}$ .

Подставим координаты точек $A$ и $C$ :

$x_{B} = 2 \cdot 1 - 2 = 0, y_{B} = 2 \cdot 2 - (- 4) = 8, z_{B} = 2 \cdot (- 5) - 0 = - 10$ .

Получили

$B (0; 8; - 10)$ .

Ответ: $B (0; 8; - 10)$ .

Упражнение 1

1. Найти координаты точки $C$ , если $C$ - середина отрезка $A B$ и координаты концов равны:

а) $A (1; 5; - 2)$ и $B (- 1; 3; 0)$ ;

б) $A (4; 2; 1)$ и $B (- 1; - 2; - 4)$ .

2. Точка $C$ - середина отрезка $A B$ . Найти координаты точки $A$ если

а) $B (3; 0; 1)$ и $C (2; 1; 7)$ ;

б) $B (6; 2; - 5)$ и $C (8; 0; 3)$ .

Вычисление длины вектора по его координатам

Рис. 2. Длина вектора по координатам

В прямоугольной системе координат $O x y z$ (рис. 2) отмечена точка $A$ . Построим радиус-вектор $\vec{O A}$ . Если точка $A$ имеет координаты $(x; y; z)$ то вектор $\vec{O A}$ можно представить в виде

$\vec{O A} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k} = \vec{O A_{1}} + \vec{O A_{2}} + \vec{O A_{3}}$ ,

где $\vec{O A_{1}} = x \vec{i}$ , $\vec{O A_{2}} = y \vec{j}$ и $\vec{O A_{3}} = z \vec{k}$ .

Таким образом, имеем, что вектор $\vec{O A}$ является диагональю прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{O A_{1}}$ , $\vec{O A_{2}}$ и $\vec{O A_{3}}$ , т.е.

$|\vec{O A}| = \sqrt{{|\vec{O A_{1}}|}^{2} + {|\vec{O A_{2}}|}^{2} + {|\vec{O A_{3}}|}^{2}}$ .

Так как $|\vec{O A_{1}}| = |x \vec{i}| = |x|$ , $|\vec{O A_{2}}| = |y \vec{j}| = |y|$ и $|\vec{O A_{3}}| = |z \vec{k}| = |z|$ , то

$|\vec{O A}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ .

Длина вектора $\vec{a} \{x; y; z\}$ вычисляется по формуле:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ .

Для получения этой формулы, мы воспользовались свойством диагонали прямоугольного параллелепипеда, т.е. рассмотрели случай, когда точка $A$ не лежит на координатных плоскостях. Если бы точка $A$ лежала в одной из координатных плоскостей, то одна из её координат равнялась бы нулю (если она лежит на координатной прямой – две координаты равны нулю). Значит, формула верна для любого вектора в пространстве.

Пример 2

Длина вектора $\vec{a} \{2; y; - 3\}$ равна 7. Найти $y$ если $y > 0$ .

Решение

Формула длины вектора $\vec{a}$ имеет вид:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ .

Подставим данные из условия:

$7 = \sqrt{2^{2} + y^{2} + {(- 3)}^{2}}$ ,

отсюда

$49 = 13 + y^{2}$ ,

$y^{2} = 36$ .

Так как $y > 0$ , то $y = 6$ .

Ответ: 6.

Упражнение 2

1. Найти длину вектора $\vec{a}$ если

а) $\vec{a} \{3; 5; 6\}$ ; б) $\vec{a} \{- 1; 2; - 5\}$ .

2. Длина вектора $\vec{a} \{1; 2; z\}$ равна 3. Найти $z < 0$ .

3. Длина вектора $\vec{a} \{x; 3; - 4\}$ равна 15. Найти $x > 0$ .

Расстояние между двумя точками

Расстояние между двумя точками – это длина отрезка, соединяющего эти точки.

Зная координаты двух точек в пространстве, можно найти координаты вектора. Зная координаты вектора, можно найти его длину. А так как длина вектора равна длине отрезка между этими точками, то с помощью формулы длины вектора, можно найти расстояние между двумя точками.

Пусть точка $M_{1}$ имеет координаты $(x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , а точка $M_{2}$ – координаты $(x_{2}; y_{2}; z_{2})$ . Тогда координаты вектора $\vec{M_{1} M_{2}}$ имеют вид $\{x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1}\}$ . Можно вычислить длину этого вектора по формуле: $|\vec{M_{1} M_{2}}| = {\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + (z_{2} - z_{1})}}^{2}$ .

Соответственно, если $d$ расстояние между точками $M_{1}$ и $M_{2}$ , то $d = |\vec{M_{1} M_{2}}|$ .

Расстояние $d$ между двумя точками $M_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ и $M_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ вычисляется по формуле

$d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$ .

Пример 3

Найдите периметр треугольника $A B C$ если $A (4; 4; - 1)$ , $B (7; 8; - 1)$ и $C (- 4; 4; - 1)$ .

Решение

Периметр – это сумма длин всех сторон, т.е.

$P_{A B C} = A B + B C + A C$ .

Длины сторон равны расстоянию между соответствующими точками. Найдем эти длины:

$A B = \sqrt{{(7 - 4)}^{2} + {(8 - 4)}^{2} + {(- 1 - (- 1))}^{2}} = 5$ ,

$B C = \sqrt{(- 4 - 7)^{2} + {(4 - 8)}^{2} + (- 1 - (- 1))^{2}} = \sqrt{137}$ ,

$A C = \sqrt{(- 4 - 4)^{2} + {(4 - 4)}^{2} + (- 1 - (- 1))^{2}} = 8$ .

Тогда

$P_{A B C} = 5 + \sqrt{137} + 8 = 13 + \sqrt{137}$ .

Ответ: $13 + \sqrt{137}$ .

Упражнение 3

Найдите периметр треугольника $A B C$ если $A (5; 2; 1)$ , $B (0; 14; 1)$ и $C (0; 2; 6)$ .

Уравнение сферы

Рис. 3. Сфера радиуса R с центром A (x₀; y₀; z₀)

Также, как и окружность на плоскости, сфера имеет свое уравнение в пространстве.

Пусть точка $A$ — центр сферы с координатами ( $x_{0}$ ; $y_{0}$ ; $z_{0}$ ) в прямоугольной системе координат $O_{x y z}$ , а $R$ — радиус этой сферы (рис. 3).

Отметим точку $N (x; y; z)$ на сфере.

С одной стороны, $A N$ является радиусом сферы, так как этот отрезок соединяет центр сферы с её точкой.

С другой стороны, длину отрезка $A N$ можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками. Тогда получим:

$R = A N \sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2}}$

или

${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = R^{2}$ .

В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса $R$ с центром $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ имеет вид

${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = R^{2}$ .

Пример 4

Написать уравнение сферы с центром в точке $A (- 1; - 2; 4)$ и радиусом $R = 5$ .

Решение

Подставим в уравнение сферы координаты центра и длину радиуса:

${(x - (- 1))}^{2} + {(y - (- 2))}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 5^{2}$ ,

${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 25$ .

Ответ: ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 25$ .

Упражнение 4

1. Напишите уравнение сферы с центром в точке $A$ и радиусом $R$ , если

а) $A (0; 3; - 1)$ , $R = 3$ ; б) $A (5; 6; 0)$ , $R = 14$ .

2. Определите координаты центра и радиус, если уравнение сферы имеет вид:

а) ${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + z^{2} = 1$ ; б) ${(x + 7)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 121$ .

Контрольные вопросы

1. Как найти координаты середины отрезка, если известны координаты его концов?

2. Как найти длину вектора в пространстве, если известны его координаты?

3. Почему формулы длины вектора по координатам и расстояния между двумя точками имеет один вид?

Ответы

Упражнение 1

1.а) (0; 4; -1); б) (1,5; 0; -1,5);

2. а) (1; 2; 13); б) (10; -2; 11).

Упражнение 2

1 a) $\sqrt{70}$ ; б) $\sqrt{30}$ .

2. -2.

3. $10 \sqrt{2}$ .

Упражнение 3

$26 + 5 \sqrt{2}$

Упражнение 4

1. а) $x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$ ;

б) ${(x - 5)}^{2} + {(y - 6)}^{2} + z^{2} = 196$ .

2. а) $A (2; - 3; 0)$ , $R = 1$ ;

б) $A (- 7; 0; 0)$ , $R = 11$ .

Конспект урока: Простейшие задачи в координатах. Уравнение сферы

Векторы на плоскости и в пространстве

Координаты середины отрезка

Вычисление длины вектора по его координатам

Расстояние между двумя точками

Уравнение сферы