Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Координаты точки и координаты вектора

Векторы на плоскости и в пространстве

11.12.2024
3298
0

Координаты точки и координаты вектора

План урока

  • Прямоугольная система координат в пространстве;
  • Координаты вектора;
  • Связь между координатами векторов и координатами точек.

Цели урока

  • Знать, что представляет собой прямоугольная система координат в пространстве;
  • Знать, что называют координатами вектора;
  • Уметь выполнять сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число в координатной форме;
  • Уметь вычислять координаты вектора по координатам начала и конца вектора.

Разминка

  • Какие прямые называются перпендикулярными в пространстве?
  • Что представляет собой прямоугольная система координат на плоскости?
  • Что такое вектор?

Прямоугольная система координат в пространстве

 

Проведём три взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке O. Выберем единичный отрезок и направление для каждой из проведённых прямых. В результате получим прямоугольную систему координат.


Определение 1

 

Три взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке, с выбранными направлениями и единичным отрезком представляют собой прямоугольную систему координат в пространстве.


Рис. 1.

Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается буквой О. Координатные оси обозначаются ОхОу и Оz и соответственно называются осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат. Выбранное положительное направление на каждой оси указывается стрелкой (рис. 1).

 

Плоскости, проходящие через координатные оси Ох и ОуОу и ОzОх и Оz, называются координатными плоскостями и обозначаются соответственно OxyOyz и Oxz.

 

Каждая из осей координат точкой О делится на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, другой – отрицательной полуосью.

Рис. 2.

Если задана прямоугольная система координат, то каждой точке пространства соответствует некоторая тройка чисел (xyz), которые называются координатами данной точки. Чтобы определить координаты точки M (рис. 2), проведём через неё три плоскости, перпендикулярные к осям координат, и обозначим M1M2M3 точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями ОхОуОz.

Рис. 3.

Координатой x точки M называют число, равное по абсолютной величине длине отрезка OM1: положительное, если M1 лежит на положительной полуоси Ох, и отрицательное, если эта точка лежит на отрицательной полуоси. Аналогично определяются координаты y и z точки M. Координаты точки M при этом записываются следующим образом M (xyz).

 

Сначала записывает абсцисса, потом – ордината, и в последнюю очередь – аппликата.

 

Пользуясь этим правилом, запишем координаты точек, изображённых на рисунке 3:

 

A (2; -3; 5), B (0; -3; 5), C (0; 0; 5), D (2; 0; 5),

A1 (2; -3; 0), B1 (0; -3; 0), O (0; 0; 0), D1 (2; 0; 0).


Рис. 4.

Упражнение 1

 

Запишите координаты вершин куба, изображённого на рисунке 4.


Координаты вектора

Рис. 5.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. На каждой из осей от начала координат в положительном направлении отложим вектор, длина которого равна единице (единичный вектор).

Введём следующие обозначения:

i – единичный вектор оси абсцисс;

j – единичный вектор оси ординат;

k – единичный вектор оси аппликат.

Эти векторы называют координатными векторами (рис. 5).

Так как координатные векторы не компланарны, то любой вектор a можно разложить по этим векторам, т.е. представить  в виде

a=x·i+y·j+z·k,

 

где xy и z – некоторые числа (коэффициенты разложения), определяемые единственным образом. Эти коэффициенты называются координатами вектора в данной системе координат и записывают ax; y; z.


Рис. 6.

Пример 1

 

На рисунке 6 в прямоугольном параллелепипеде OA=2OB=3OO1=2. Найдите координаты векторов OA1OB1OO1OCOC1BC1AC1O1C.


Решение

 

OA1=2·i+2·kOA1 2;0;2;

OB1=3·j+2·kOB1 0;3;2;

OO1=2·kOO1 0;0;2;

OC=2·i+3·jOC 2;3;0;

OC1=2·i+3·j+2·kOC1 2;3;2;

BC1=OA1=2·i+2·kBC1 2;0;2;

AC1=OB1=3·j+2·kAC1 0;3;2;

O1C=2·i+3·j-2·kO1C 2;3;-2.

 

Рассмотрим правила, с помощью которых по координатам данных векторов можно найти координаты суммы и разности данных векторов, а также произведения данного вектора на данное число.

 

  1. Если a x1;y1;z1b x2;y2;z2 – данные векторы, то вектор a+b  имеет координаты x1+x2; y1+y2; z1+z2 или каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
  2. Если a x1;y1;z1b x2;y2;z2 – данные векторы, то вектор a-b имеет координаты x1-x2; y1-y2; z1-z2 или каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
  3. Если a x;y;z – данный вектор, λ – данное число, то вектор λ·a имеет координаты λ·x; λ·y; λ·z или каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.


Упражнение 2

Рис. 7.

  1. На рисунке 7 изображён куб с ребром, равным 1. Запишите координаты векторов AD1, A1D, AC, D1C, BC1, AC1.
  2. Запишите координаты векторов: a=2·i+7·j-3·kb=-5·i+9·j-kс=i-8·j+19·kd=i-je=j+k.
  3. Даны векторы a 5;-1;1 и b -2;1;0. Найдите координаты векторов:

а) a+b; б) a-b; в) 2·a; г) -3·b; д) -5a+12b.

 


Координаты точки и координаты вектора


Определение 2

 

Радиус-вектором данной точки называется вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с данной точкой.


Из определения следует, что координаты точки MxM;yM;zM являются координатами и радиус-вектора этой точки, т.е.

 

OM=xM·i+yM·j+zM·k=xM;yM;zM

Рис. 8.

Рассмотрим теперь две произвольные точки Ax1,y1,z1 и Bx2,y2,z2 (рис. 8).

Вектор AB равен разности векторов OB и OA.

Выполним вычитание векторов в координатной форме

 

AB=OB-OA=x2-x1;y2-y1;z2-z1

 

Таким образом, установили связь межу координатами вектора и координатами начала и конца этого вектора.


Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

 

AB x2-x1;y2-y1;z2-z1


Упражнение 3

  1. Вычислите координаты векторов ABBC и CA, если A(1;6;2)B(2;3;-1)C(-3;4;5).
  2. Даны точки A(3;-1;5)B(2;3;-4)C(7;0;-1)D(8;-4;8). Докажите, что векторы AB и DC равны.


Контрольные вопросы

 

  1. Как определяются координаты точки в пространстве?
  2. Как определяются координаты вектора в пространстве?
  3. Как связаны координаты вектора с координатами его начала и конца?


Ответы

Ответы

 

Упражнение 1

 

A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0);

A1(0;0;1), B1(1;0;1), C1(1;1;1), D1(0;1;1).

 

Упражнение 2

1. AD1 0;1;1, A1D 0;1;-1, AC 1;1;0;

D1C 1;0;-1, BC1 0;1;1, AC1 1;1;1.

 

2. a 2;7;-3, b -5;9;-1, c 1;-8;19, d 1;-1;0, e 0;1;1;

 

3. а) a+b=3;0;1;  б) a-b=7;-2;1;  в) 2a=10;-2;2;

г) -3b=6;-3;0  д) -5a+12b=-49;17;-5.

 

Упражнение 3

 

AB=1;-3;-3; BC=-5;1;6; CA=4;2;-3.

Предыдущий урок
Простейшие задачи в координатах. Уравнение сферы
Векторы на плоскости и в пространстве
Следующий урок
Вычисление углов между прямыми и плоскостями
Векторы на плоскости и в пространстве
Поделиться:
  • Применение производной к построению графиков функций

    Алгебра

  • Периодическая система химических элементов и учение о строении атома. Становление и развитие периодического закона и теории химического строения

    Химия

  • Производные некоторых элементарных функций

    Алгебра

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке