Конспект урока: Вписанный четырёхугольник

Рис. 1. Вписанный четырехугольник

Известно, что в окружность можно вписать любой треугольник и любой правильный многоугольник. А вот произвольный четырехугольник не всегда удается вписать в окружность.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, который вписан в некоторую окружность (рис. 1). Все углы этого четырехугольника являются вписанными, значит, каждый из них равен половине дуги, на которую он описается.

Рассмотрим противолежащие углы $\angle BAD$ и $\angle BCD.$ Так как они являются вписанными, имеем

$\angle BAD=\frac{1}{2}\stackrel{⏝}{BCD}$, $\angle BCD=\frac{1}{2}\stackrel{⏝}{BAD}$.

Найдем сумму этих углов

$\angle BAD+\angle BCD=\frac{1}{2}\stackrel{⏝}{BCD}+\frac{1}{2}\stackrel{⏝}{BAD}=\frac{1}{2}\left(\stackrel{⏝}{BCD}+\stackrel{⏝}{BAD}\right)=\frac{1}{2}·360°=180°$.

Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360°$ значит, сумма других противоположных углов также равна $180°$

$\angle ABC+\angle ADC=360°-(\angle BAD+\angle BCD)=360°-180°=180°$.

Получили свойство вписанного четырехугольника.

Рис. 2. Вписанный четырехугольник ABCD

Для начала определим углы, равные $63°$ и $76°$.                                                                    

$63°+76°=139°\ne 180°$,

значит, эти углы принадлежат одной стороне четырехугольника.

Пусть $\angle A=63°$, $\angle B=76°$ для четырехугольника $ABCD$ на рисунке 2.

Тогда по свойству вписанного четырехугольника:

$\angle C=180°-\angle A=180°-63°=117°$,

$\angle D=180°-\angle B=180°-76°=104°$.

Величина меньшего из оставшихся углов равна $104°$.

Ответ: $104°$.

Рис. 3. Вписанная трапеция

По свойству вписанного четырехугольника

$\angle A+\angle C=180°$.

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна $180°$ т.е.

$\angle B+\angle C=180°$.

Получили, что

$\angle A+\angle C=\angle B+\angle C$,

значит,

$\angle A=\angle B$.

Углы $A$ и $B$ – это углы при основании трапеции. Значит, трапеция равнобедренная.

Ответ: равнобедренная.