Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Вписанный четырёхугольник

Окружность

28.03.2024
1035
0

Вписанный четырехугольник

План урока

  • Свойство вписанного четырехугольника;
  • Примеры.

Цели урока

  • Уметь определять вписанные четырехугольники;
  • Уметь применять свойство вписанного четырехугольника для решения задач.

Разминка

  • Какие фигуры можно вписать в окружность?
  • Каким свойством обладает прямоугольный треугольник, вписанный в окружность?
  • Чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника?

Свойство вписанного четырехугольника

 

Не всякую фигуру можно вписать в окружность. Вообще, многоугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на окружности.

Рис. 1. Вписанный четырехугольник

Известно, что в окружность можно вписать любой треугольник и любой правильный многоугольник. А вот произвольный четырехугольник не всегда удается вписать в окружность.

 

Рассмотрим четырехугольник ABCD, который вписан в некоторую окружность (рис. 1). Все углы этого четырехугольника являются вписанными, значит, каждый из них равен половине дуги, на которую он описается.

 

Рассмотрим противолежащие углы BAD и BCD. Так как они являются вписанными, имеем

 

BAD=12BCDBCD=12BAD.

 

Найдем сумму этих углов

 

BAD+BCD=12BCD+12BAD=12BCD+BAD=12·360°=180°.

 

Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна  360° значит, сумма других противоположных углов также равна 180°

 

ABC+ADC=360°-(BAD+BCD)=360°-180°=180°.

 

Получили свойство вписанного четырехугольника.


Свойство выпуклого четырехугольника

 

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.


Обратное утверждение является признаком вписанного четырехугольника. 


Признак выпуклого четырехугольника

 

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.


Пример 1

 

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 63° и 76°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.


Решение

Рис. 2. Вписанный четырехугольник ABCD

Для начала определим углы, равные 63° и 76°.                                                                    

 

63°+76°=139°180°,

 

значит, эти углы принадлежат одной стороне четырехугольника.

Пусть A=63°B=76° для четырехугольника ABCD на рисунке 2.

Тогда по свойству вписанного четырехугольника:

 

C=180°-A=180°-63°=117°,

D=180°-B=180°-76°=104°.

 

Величина меньшего из оставшихся углов равна 104°.

 

Ответ: 104°.


Пример 2

 

Определить вид вписанной трапеции.


Решение

Рис. 3. Вписанная трапеция

По свойству вписанного четырехугольника

 

A+C=180°.

 

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180° т.е.

 

B+C=180°.

 

Получили, что

 

A+C=B+C,

 

значит,

 

A=B.

 

Углы A и B – это углы при основании трапеции. Значит, трапеция равнобедренная.

 

Ответ: равнобедренная.


Множество точек плоскости, состоящее из двух данных точек A и B и всех таких точек M, для которых угол AMB — прямой, представляет собой окружность с диаметром AB.


Упражнение 1

 

1. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 78° и 113°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

2. Один из углов вписанной в окружность трапеции равен 56°. Найти оставшиеся углы.

3. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол A=84°, а диагональ AC — диаметр окружности. Найдите оставшиеся углы этого четырехугольника.


Контрольные вопросы

 

1. Как определить можно ли вписать четырехугольник в окружность?

2. Какие четырехугольники всегда можно вписать в окружность? Почему?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 102°;

2. 56°, 124°, 124°;

3. B=D=90°C=96°.

Предыдущий урок
Описанный четырёхугольник
Окружность
Следующий урок
Объём шара
Объем
Поделиться:
  • Описанный четырёхугольник

    Геометрия

  • Косвенная речь

    Русский язык

  • М. Горький. Пьеса М.Горького «На дне» как социально-философская драма. Система образов произведения

    Литература

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке