Угол между касательной и хордой. Теоремы об отрезках, связанных с окружностью. Углы с вершинами внутри и вне круга

Угол между касательной и хордой

План урока

Угол между касательной и хордой;
Примеры.

Цели урока

Знать, чему равен угол между касательной и хордой;
Уметь применять полученные знания при решении задач.

Разминка

Чем вписанный угол отличается от центрального угла?
Как связаны между собой величина вписанного угла и градусная мера дуги, на которую он опирается?
Какими свойствами обладает касательная к окружности?

Угол между касательной и хордой

Угол, вершина которого является центром окружности, а стороны – радиусами, называется центральным. При этом величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он описается.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами называется вписанным. Величина вписанного угла равна половине градусной мере дуги, на которую он опирается.

Таким образом, мы умеем находить градусную меру углов окружности, образованных радиусами или хордами, пересекающимися в точке, лежащей на окружности.

Сейчас мы выясним как найти величину угла, образованного касательной и хордой окружности, проведенной в точку касания.

Рис. 1. Угол между касательной и хордой

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ . Проведем касательную $A B$ , причём $A$ – точка касания (рис. 1). Построим хорду $A C$ . Угол между хордой $A C$ и касательной $A B$ – это $∠ B A C$ .

Проведем диаметр $A D$ . Получим, что $∠ D A B = 90 °$ , $\overset{⏝}{D C A} = 180 °$ .

Угол $D A C$ является вписанным, т.е.

$∠ D A C = \frac{1}{2} \overset{⏝}{D C} = \frac{1}{2} (\overset{⏝}{D C A} - \overset{⏝}{C A}) =$

$= \frac{1}{2} (180 ° - \overset{⏝}{C A}) = 90 ° - \frac{1}{2} \overset{⏝}{C A} .$

С другой стороны,

$∠ D A C = ∠ D A B - ∠ B A C = 90 ° - ∠ B A C$ .

Таким образом, приравнивая полученные выражения для угла $D A C$ , получим:

$90 ° - \frac{1}{2} \overset{⏝}{C A} = 90 ° - ∠ B A C$ ,

т.е.

$∠ B A C = \frac{1}{2} \overset{⏝}{C A}$ .

Получили выражение, с помощью которого можно найти угол между касательной и хордой.

Теорема

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной в нём.

Пример 1

Угол между хордой $A B$ и касательной $B C$ к окружности равен $32 °$ (рис. 2). Найдите величину центрального угла, опирающего на хорду $A B$ .

Решение

Рис. 2. Угол между хордой и касательной

Центральный угол, опирающийся на хорду $A B$ – это $∠ B O A$ . При этом центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается, т.е.

$∠ B O A = \overset{⏝}{A B}$ .

Дуга $A B$ – это дуга, заключенная в угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, т.е.

$∠ C B A = \frac{1}{2} \overset{⏝}{A B}$ , $\overset{⏝}{A B} = 2 ∠ C B A$ .

Тогда величина центрального угла будет равна

$∠ B O A = 2 ∠ C B A = 2 \cdot 32 ° = 64 °$ .

Ответ: $64 °$ .

Пример 2

Через конец хорды, делящей окружность в отношении $3 : 5$ , проведена касательная. Найдите острый угол между хордой и касательной.

Решение

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания равен половине дуги, заключенной в этот угол. Острому углу будет соответствовать меньшая дуга.

Рассмотрим рисунок 1. Из соотношения дуг $3 : 5$ , на которые хорда делит окружность, найдем величину меньшей дуги $\overset{⏝}{A C}$ :

$\overset{⏝}{A C} = \frac{3}{8} \cdot 360 ° = 135 °$ .

Тогда величина угла $B A C$ (между хордой и касательной) равна

$∠ B A C = \frac{1}{2} \overset{⏝}{A C} = \frac{1}{2} \cdot 135 ° = 67 ° 30^{'}$ .

Ответ: $67 ° 30^{'}$ .

Пример 3

В окружности проведены хорды $A C$ и $B D$ , пересекающиеся в точке $E$ , причём касательная к окружности, проходящая через точку $C$ , параллельна $B D$ (рис. 3).

Докажите подобие треугольников $B A E$ и $C D E$ , $C D E$ и $C A D$ .
Найдите площадь треугольника $C D E$ , если известно, что $A B : B E = 3 : 1$ и $S_{A D C} = 18$ .

Решение

Рис. 3.

1) Рассмотрим треугольники $B A E$ и $C D E$ , у них $∠ B E A = ∠ D E C$ как вертикальные, $∠ B A E = ∠ C D E$ как опирающиеся на одну дугу $B C$ . Тогда треугольники $B A E$ и $C D E$ подобны по двум углам.

Пусть $K$ принадлежит касательной к окружности, проведённой через точку $C$ . Угол между касательной $C K$ и хордой $C D$ равен половине дуги $C D$ , т. е. $∠ D C K = \frac{1}{2} ◡ C D$ .

Так как $C K | | B D$ , $C D -$ секущая, то $∠ B D C = \frac{1}{2} ◡ C D$ (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей).

Рассмотрим треугольники $C D E$ и $C A D$ , у них $∠ A C D -$ общий, $∠ C D E = \frac{1}{2} ◡ C D = ∠ C A D$ . Тогда треугольники $C D E$ и $C A D$ подобны по двум углам.

Что и требовалось доказать.

2) $Δ B A E ~ Δ C D E$ , тогда $\frac{A B}{C D} = \frac{B E}{E C}$ или $\frac{A B}{B E} = \frac{C D}{E C}$ , т.е. $\frac{C D}{E C} = \frac{3}{1} .$

$Δ C D E ~ Δ C A D$ , тогда $\frac{E C}{C D} = \frac{E D}{A D}$ , т.е. $\frac{E D}{A D} = k = \frac{1}{3}$ , где $k -$ коэффициент подобия треугольников.

$\frac{S_{C D E}}{S_{C A D}} = k^{2},$

$\frac{S_{C D E}}{18} = \frac{1}{9},$

$S_{C D E} = 2 .$

Ответ: 2) 2.

Упражнение 1

1. Центральный угол, опирающийся на хорду $A B$ , равен $124 °$ . Найдите величину угла между хордой $A B$ и касательной $B C$ к окружности (рис. 2).

2. Через конец хорды, делящей окружность в отношении $2 : 7$ , проведена касательная. Найдите тупой угол между хордой и касательной.

Контрольные вопросы

1. Как найти величину угла между касательной и хордой, проходящей через точку касания?

2. Как связана величина вписанного угла, опирающегося на дугу, заключенную между хордой и касательной, с этим углом?

Ответы

Упражнение 1

1. $62 °$ .

2. $140 °$ .

Конспект урока: Угол между касательной и хордой. Теоремы об отрезках, связанных с окружностью. Углы с вершинами внутри и вне круга

Окружность

Угол между касательной и хордой