Конспект урока: Сложение движений. Преобразования Галилея

Относительность движения. Сложение движений. Преобразования Галилея

Скорость одного и того же тела относительно разных тел отсчета может быть различной. Например, человек, находящийся в движущейся лодке, будет иметь разную скорость относительно лодки и относительно берега.
 

По-разному будет изменяться и координата тела в разных системах отсчета: в приведенном примере координата человека, сидящего на палубе, относительно лодки остается постоянной с течением времени, но будет изменяться относительно берега.

Поясним сказанное на конкретном примере.

Рис. 1. Движение лодки в подвижной воде

Пусть человек на лодке переплывает реку, в которой есть течение, скорость которого равна $v_2$. Скорость лодки относительно воды равна $v_1$ (рис. 1).

Рассмотрим движение человека в двух системах отсчета: относительно берега и относительно подвижной воды. Система отсчета, которая находится в покое относительно Земли называется лабораторной.

Система отсчета, связанная с водой, называется движущейся, так как она имеет некоторую скорость относительно лабораторной системы отсчета.
 

За начало отсчета обеих систем выберем точку А, из которой человек на лодке начинает движение. Координатные оси направим так, как показано на рисунке 1.

Рис. 2. Перемещение человека относительно берега Δr есть сумма векторов Δr₁ и Δr₂

Пусть человек оказывается на другом берегу через некоторое время Δt. Переправляясь через реку, человек в лодке совершит перемещение ${∆\overrightarrow{r}}_1$ относительно движущейся системы отсчета - воды. С другой стороны за время Δt точка А воды совершает перемещение ${∆\overrightarrow{r}}_2$ относительно лабораторной системы отсчета – неподвижного берега. Перемещение человека относительно берега $∆\overrightarrow{r}$ представляет собой результат сложения двух движений: движения лодки относительно воды ${∆\overrightarrow{r}}_1$ и движения самой воды ${∆\overrightarrow{r}}_2$ (рис. 2):

$∆\overrightarrow{r}={∆\overrightarrow{r}}_1+{∆\overrightarrow{r}}_2$.

Разделим обе части уравнения на достаточно малый промежуток времени Δt:
 

$\frac{∆\overrightarrow{r}}{∆t}=\frac{{∆\overrightarrow{r}}_1}{∆t}+\frac{{∆\overrightarrow{r}}_2}{∆t}$.
 

Отношение вектора перемещения к достаточно малому промежутку времени Δt представляет собой мгновенную скорость:
 

$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2$,
 

где $\overrightarrow{v}$ – скорость лодки относительно берега;
${\overrightarrow{v}}_1$ – скорость лодки относительно воды;
${\overrightarrow{v}}_2$ – скорость воды относительно берега.
 

Выражения выше называются преобразованиями Галилея.

Если системы координат лабораторной и движущейся системы отсчета параллельны друг другу, то преобразования Галилея можно записать в виде проекций перемещений и скоростей:

$∆x=∆x_1+∆x_2$, $∆y=∆y_1+∆y_2$;

$v_x=v_{1x}+v_{2x}$, $v_y=v_{1y}+v_{2y}$.

Законы движения тела в разных системах отсчета

Пусть по прямолинейной железной дороге равномерно движется поезд со скоростью $v_2$ (рис. 3). По вагону движется человек в направлении движения поезда, скорость человека равна $v_1$.

Рис. 3. Сложение движений человека относительно поезда и поезда относительно Земли

Человека будем считать точечным телом. Выберем две системы отсчета: лабораторную - связанную с Землей и движущуюся – связанную с поездом. За начало отсчета обеих систем отсчета выберем участок железной дороги, над которым находился человек в момент начала наблюдения. Координатные оси направим так, как показано на рисунке.

Рассмотрим движение человека в системе отсчета, связанной с поездом. Начальная координата человека равна нулю x₀₁ = 0. Человек равномерно движется в положительном направлении оси ОХ со скоростью ${\overrightarrow{v}}_1$. Следовательно, проекция скорости человека на ось абсцисс положительна. За промежуток времени t проекция его перемещения на ось ОХ равна $∆x_1=v_1·t$. Закон движения человека в движущейся системе отсчета будет иметь следующий вид:

$x_1=x_{01}+v_1·t=v_1·t$.

Теперь найдем закон движения точки А вагона в системе отсчета, связанной с Землей. Начальная координата данной точки равна x₀₂ = 0. Точка А движется относительно Земли с постоянной скоростью ${\overrightarrow{v}}_2$, сонаправленной с осью ОХ – проекция ее скорости на данную ось также будет положительна. К моменту времени t точка сместится вдоль оси ОХ на расстояние $∆x_2=v_2·t$. Закон движения точки А относительно неподвижной системы отсчета будет иметь следующий вид:

$x_2=x_{02}+v_2·t=v_2·t$.
 

Наконец, найдем закон движения человека относительно Земли. Начальная координата человека равна x₀ = 0. Через время t человек сместится на величину Δx, равную:

$∆x={∆x}_1+{∆x}_2$.

Тогда с учетом выражений выше закон движения человека относительно Земли имеет следующий вид:
 

$x=x_0+∆x={∆x}_1+{∆x}_2=v_1·t+v_2·t=(v_1+v_2)·t$.
 

Это выражение можно записать в следующем виде:
 

$x=v·t$, где $v=v_1+v_2$.
 

Данное выражение показывает, что человек движется относительно Земли равномерно прямолинейно со скоростью $\overrightarrow{v}$, равной сумме скорости человека относительно вагона ${\overrightarrow{v}}_1$ и скорости вагона относительно Земли ${\overrightarrow{v}}_2$.

Задача об относительном движении двух тел

Пусть автомобиль 1 движется со скоростью ${\overrightarrow{v}}_1$, автомобиль 2 – со скоростью ${\overrightarrow{v}}_2$ относительно Земли. Скорости автомобилей относительно неподвижной системы отсчета направлены так, как показано на рисунке 4. Необходимо найти скорость второго автомобиля относительно первого ${\overrightarrow{v}}_{21}$.

Рис. 4. Относительное движение двух тел

Примем, что автомобили являются точечными телами. Движущуюся систему отсчета X’Y’ свяжем с первым автомобилем. Лабораторную систему отсчета XY свяжем с Землей.

 

Согласно закону сложения скоростей, вектор скорости тела относительно неподвижной системы ${\overrightarrow{v}}_2$ отсчета равен сумме вектора скорости данного тела в подвижной системе отсчета ${\overrightarrow{v}}_{21}$ и вектора скорости подвижной системы отсчета ${\overrightarrow{v}}_1$ (рис. 5):

Рис. 5. Закон сложения скоростей

${\overrightarrow{v}}_2={\overrightarrow{v}}_{21}+{\overrightarrow{v}}_1$.
 

Следовательно, скорость второго автомобиля относительно первого равна:
 

${\overrightarrow{v}}_{21}={\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$.

Заметим, что скорость первого автомобиля относительно второго ${\overrightarrow{v}}_{12}$ можно найти аналогичным образом. Для этого необходимо принять второй автомобиль за подвижную систему отсчета. Тогда, если скорости первого и второго автомобиля относительно Земли равны ${\overrightarrow{v}}_1$ и ${\overrightarrow{v}}_2$ соответственно, скорость первого автомобиля относительно второго находится по следующей формуле:
 

${\overrightarrow{v}}_{12}={\overrightarrow{v}}_1-{\overrightarrow{v}}_2$.

Модули относительных скоростей ${\overrightarrow{v}}_{21}$ и ${\overrightarrow{v}}_{12}$ равны.

Физический смысл скоростей ${\overrightarrow{v}}_{21}$ и ${\overrightarrow{v}}_{12}$ становится очевиден, если представить, что автомобили двигались прямолинейно навстречу друг другу: в этом случае относительная скорость покажет скорость сближения рассматриваемых тел.

Решение

Рис. 6. К примеру 1

1. Пусть катер движется со скоростью $\overrightarrow{v_{к}}$ относительно воды, а скорость течения относительно берега равна $\overrightarrow{v_{в}}$. Расстояние между берегами равно $L$ (см. рис. 6).

2. Движущуюся систему отсчета $X’Y’$ свяжем с водой. Лабораторную систему отсчета $XY$ свяжем с берегом.

3. Из условия, что скорость катера относительно воды перпендикулярна скорости течения, можно сразу найти время переправы:

 

$t=\frac{L}{v_{к}}=\frac{120}{4}=30 с$.

 

4. Чтобы определить модуль перемещения $S$, необходимо найти общую скорость катера относительно берега. Для этого воспользуемся законом сложения скоростей: $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{к}}+\overrightarrow{v_{в}}$.

 

По теореме Пифагора определим модуль скорости:

 

$v=\sqrt{v_{к}^2+v_{в}^2}=5\frac{м}{с}$.

 

$⟹S=v·t=5·30=150 м$.

 

Ответ: $t=30 с$; $S=150 м$.

Итоги:

• Вектор скорости тела относительно неподвижной системы отсчета $\overrightarrow{v}$ равен сумме вектора скорости данного тела в подвижной системе отсчета $\overrightarrow{v_1}$ и вектора скорости подвижной системы отсчета $\overrightarrow{v_2}$: $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$;
• Перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета $∆\overrightarrow{r}$ равно сумме вектора перемещения данного тела в подвижной системе отсчета $∆\overrightarrow{r_1}$ и вектора перемещения подвижной системы отсчета $∆\overrightarrow{r_2}$: 
  $∆\overrightarrow{r}=∆\overrightarrow{r_1}+∆\overrightarrow{r_2}$