Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
10 класс
Физика
Ускорение. Прямолинейное равноускоренное движение. Свободное падение. Решение задач о равноускоренном движении. Аналитический и графический способы решения

Физика 10 класс Физика 10 класс

Конспект урока: Ускорение. Прямолинейное равноускоренное движение. Свободное падение. Решение задач о равноускоренном движении. Аналитический и графический способы решения

Кинематика

31.03.2025

3482

Решение задач о равноускоренном движении. Аналитический и графический способы решения

План урока

Графический способ решения
Аналитический способ решения
Задача о движении тела, брошенного под углом к горизонту

Цели урока

знать алгоритмы решения задач кинематики равноускоренного прямолинейного движения
уметь решать задачи кинематики равноускоренного прямолинейного движения графическим и аналитическим способом

Разминка

По какому закону изменяется координата тела, движущегося равноускоренно прямолинейно?
Как выглядит график зависимости скорости от времени при равноускоренном движении?
По какому закону изменяется скорость тела, движущегося равноускоренно прямолинейно?

Мы познакомились со способами описания движения тела, движущегося равноускоренно прямолинейно. Применим полученные знания на практике. Рассмотрим графический и аналитический способы решения.

Пример 1. Графический способ решения

Поезд, движущийся по прямолинейной железной дороге, останавливается на станции. В момент начала торможения скорость поезда равна $v_{0}$ = 20 м/с. Определите длину тормозного пути поезда, если модуль его ускорения равен $a$ = 2 м/с².

Решение

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1

1. Выбор модели и системы отсчёта

Примем, что поезд является точечным телом.

Систему отсчёта свяжем с Землёй. Координатную ось направим в сторону движения поезда, за начало отсчёта примем точку, в которой находился поезд в момент начала наблюдения (рис. 1).

2. Определение начальной координаты, проекций скоростей и ускорения тела

В выбранной системе отсчёта начальная координата поезда равна нулю:

$x_{0} = 0 м$ .

Поезд движется в положительном направлении оси ОХ, следовательно, проекции скоростей на данную ось будут положительны, в конце тормозного пути поезд останавливается — конечная скорость равна нулю:

$v_{0 x} = 20 \frac{м}{с}$ ;

$v_{x} = 0$ .

Поезд движется равнозамедленно, следовательно, ускорение направлено в сторону, противоположную направлению оси ОХ, — проекция ускорения будет отрицательна:

$a_{x} = - 2 м / с^{2}$ .

3. Запись закона движения и закона изменения скорости тела:

$x = x_{0} + v_{0 x} \cdot t + \frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2} = 20 \cdot t - \frac{2 \cdot t^{2}}{2}$ ;

$v_{x} = v_{0 x} + a_{x} \cdot t = 20 - 2 \cdot t$ .

4. Построение графиков движения

Для решения поставленной задачи необходимо построить график изменения проекции скорости. Искомый тормозной путь можно найти как площадь под графиком зависимости проекции скорости от времени.

График зависимости скорости от времени представляет собой наклонную прямую линию, для построения которой необходимо две точки. Начальная скорость тела известна, найдём проекцию скорости в какой-либо момент времени, например, при t = 5 c:

$v_{x} (5) = 20 - 2 \cdot 5 = 10 м / с$ .

Рис. 2. График зависимости проекции скорости от времени

Нанесём на график полученные значения скоростей и соединим точки. На рисунке 2 показан получившийся график изменения скорости.

Если продлить полученную прямую до пересечения с осью времени, полученная точка будет соответствовать конечной скорости поезда $v_{x}$ = 0.

Тогда тормозной путь будет равен площади прямоугольного треугольника с катетами $v_{0 x}$ = 20 и t = 10:

$S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 10 = 100 м$ .

Ответ: $S = 100 м$ .

Пример 2. Аналитический способ решения

С края крыши вертикально вверх брошен камень с начальной скоростью $v_{0} = 10 м / с$ . Известно, что камень упал на Землю через
5 секунд после броска. Определите высоту крыши, с которой был брошен камень. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2

1. Выбор модели и системы отсчёта

Примем, что камень является точечным телом.

Систему отсчёта свяжем с Землёй. Координатную ось направим вверх, за начало отсчёта примем точку на поверхности Земли, в которую упадёт камень в конце движения (рис. 3).

2. Определение начальной координаты, проекций скорости и ускорения тела

В выбранной системе отсчёта начальная координата тела равна $y_{0} = H - h$ м.

В начальный момент времени тело движется в положительном направлении оси ОY, следовательно, проекция его начальной скорости на данную ось будет положительна, в наивысшей точке скорость тела уменьшается до нуля:

$v_{0 y} = 10 \frac{м}{с}$ .

Тело летит вверх с ускорением, равным ускорению свободного падения, проекция ускорения отрицательна:

$a_{y} = g_{y} = - 10 \frac{м}{с^{2}}$ .

3. Запись закона движения и закона изменения скорости

$y = y_{0} + v_{0 y} \cdot t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2} = H - h + 10 \cdot t - \frac{10 \cdot t^{2}}{2}$

$v_{y} = v_{0 y} + a_{y} \cdot t = 10 - 10 \cdot t$

4. Составление уравнения

Рассмотрим момент времени t, когда тело находится в наивысшей точке подъёма. В этой точке координата тела равна H, а скорость равна нулю. Тогда уравнения принимают следующий вид:

$H = H - h + 10 \cdot t - \frac{10 \cdot t^{2}}{2}$ ;

$0 = 10 - 10 \cdot t$ .

Из последнего уравнения получаем, что время подъёма тела на максимальную высоту равно t = 1 с. Подставляем полученное значение в первое уравнение и находим высоту h:

$H = H - h + 10 \cdot t - \frac{10 \cdot t^{2}}{2} \Leftrightarrow H - H + h = 10 \cdot t - \frac{10 \cdot t^{2}}{2}$ ;

$h = 10 \cdot t - \frac{10 \cdot t^{2}}{2} = 10 \cdot 1 - \frac{10 \cdot 1^{2}}{2} = 5 м$ .

Для ответа на поставленный вопрос необходимо найти максимальную высоту подъёма H. Для этого запишем уравнение координаты тела при его движении вниз.

Начальная координата в этом случае равна $y_{0} = H$ , начальная скорость равна нулю, проекция ускорения по-прежнему отрицательна $a_{y} = g_{y} = - 10 \frac{м}{с^{2}}$ . Уравнение координаты будет иметь следующий вид:

$y = y_{0} + v_{0 y} \cdot t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2} = H - \frac{10 \cdot t_{1}^{2}}{2}$ .

Если t₁ — это время свободного падения тела, то конечная координата в данный момент времени будет равна нулю y = 0.

Помимо этого, известно, что всё время движения составляет 5 с, из которых, согласно уравнению, 1 секунду тело поднималось вверх. Тогда время падения тела составляет t₁ = 5 − 1 = 4 с:

$y = H - \frac{10 \cdot t_{1}^{2}}{2} \Leftrightarrow 0 = H - \frac{10 \cdot 4^{2}}{2}$ ;

$H = 80 м$ .

Тогда высота крыши, с которой был брошен камень, равна

$H - h = 80 - 5 = 75 м$ .

Ответ: $H - h = 75 м$ .

Пример 3. Задача о движении тела, брошенного под углом к горизонту

Камень брошен под углом 30° к горизонту с начальной скоростью
100 м/с. Найти дальность полёта и максимальную высоту, на которую поднимется тело.

Решение

1. Выбор модели и системы отсчёта

Примем, что камень является точечным телом.

Систему отсчёта свяжем с Землёй. Ось абсцисс направим горизонтально вправо, ось ординат — вертикально вверх, за начало отсчета примем точку, из которой брошен камень (рис. 4).

Покажем на рисунке направление скоростей в начальный момент времени и в наивысшей точке подъёма.

Рис. 4. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

2. Определение начальной координаты, проекций скорости и ускорения тела

В выбранной системе отсчёта начальные координаты тела равны x₀ = 0, y₀ = 0.

В начальный момент времени вектор начальной скорости ${\vec{v}}_{0}$ направлен под углом $α$ к горизонту.

Проекции вектора начальной скорости на координатные оси можно найти, используя тригонометрические функции:

$v_{0 x} = \cos (α) \cdot v_{0}$ ;

$v_{0 y} = \sin (α) \cdot v_{0}$ .

Тело движется только под действием силы тяжести, поэтому ускорение тела $\vec{a}$ равно ускорению свободного падения $\vec{g}$ . Вектор ускорения свободного падения всегда направлен вертикально вниз, поэтому проекция ускорения на ось ОХ равна нулю $g_{x}$ = 0.

Проекция ускорения на ось ординат не равна нулю и имеет знак «−», так как вектор ускорения направлен противоположно оси OY: $g_{y}$ = −10 м/с².

3. Запись закона движения и закона изменения скорости

Так как проекция ускорения тела на ось ОХ при баллистическом движении равна нулю $g_{x}$ = 0, вдоль оси абсцисс тело движется равномерно.

Тогда закон изменения координаты $x$ такого тела с учётом формулы будет иметь следующий вид:

$x = x_{0} + v_{0 x} \cdot t = \cos (α) \cdot v_{0} \cdot t$ .

Вдоль оси ординат тело движется равноускоренно с ускорением
$g$ = −10 м/с².

Тогда закон изменения координаты $y$ такого тела будет иметь следующий вид:

$y = y_{0} + v_{0 y} \cdot t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2} = \sin (α) \cdot v_{0} \cdot t - \frac{g \cdot t^{2}}{2}$ .

Проекция скорости на ось абсцисс не меняется с течением времени, тогда проекция начальной скорости на ось ОХ равна проекциям скорости на ось ОХ в любой момент времени:

$v_{x} = v_{0 x} = \cos (α) \cdot v_{0}$ .

Вдоль оси OY тело движется равноускоренно, поэтому применим закон изменения скорости для равноускоренного движения:

$v_{y} = v_{0 y} + a_{y} \cdot t = \sin (α) \cdot v_{0} - g \cdot t$ .

4. Составление уравнения

Пусть t_в — всё время полёта тела, тогда дальность полёта L соответствует абсциссе тела в момент времени t = t_в:

$L = x = \cos (α) \cdot v_{0} \cdot t_{в}$ .

На максимальную высоту H тело поднимется за время t_п, равное половине всего времени движения t_в = 2t_п. Тогда максимальная высота подъёма H соответствует ординате тела в момент времени t = t_п:

$H = y = \sin (α) \cdot v_{0} \cdot t_{п} - \frac{g \cdot t_{п}^{2}}{2}$ .

Понятно, что для решения поставленной задачи необходимо найти время подъёма тела на максимальную высоту. Это время можно найти из уравнения $v_{y} = \sin (α) \cdot v_{0} - g \cdot t$ . В момент времени t = t_п проекция скорости на ось ординат будет равна нулю:

$v_{y} = \sin (α) \cdot v_{0} - g \cdot t \Leftrightarrow 0 = \sin (α) \cdot v_{0} - g \cdot t_{п}$ ,

отсюда

$t_{п} = \frac{\sin (α) \cdot v_{0}}{g}$ .

Подставляем выражение выше в формулы высоты и дальности полёта:

$L = \cos (α) \cdot v_{0} \cdot t_{в} = \cos (α) \cdot v_{0} \cdot 2 t_{п}$ ;

$L = \frac{\cos (α) \cdot v_{0} \cdot 2 \cdot \sin (α) \cdot v_{0}}{g} = \frac{\cos (α) \cdot v_{0}^{2} \cdot 2 \cdot \sin (α)}{g} \approx 866 м$ ;

$H = \sin (α) \cdot v_{0} \cdot t_{п} - \frac{g \cdot t_{п}^{2}}{2} = \frac{{(\sin (α) \cdot v_{0})}^{2}}{g} - \frac{g \cdot {(\sin (α) \cdot v_{0})}^{2}}{2 \cdot g^{2}} = 125 м$ .

Ответ: $L = 866 м$ ; $H = 125 м$ .

Упражнение 1

1. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд тело упадёт на Землю? На какую максимальную высоту поднимается тело?

2. Тело брошено под углом 60° к горизонту с начальной скоростью
200 м/с. Найти:

а) дальность полёта;
б) максимальную высоту, на которую поднимется тело;
в) полное время движения;
г) скорость тела через 4 с от начала движения.

Ответы

Упражнение 1

1. t = 8 c; H = 80 м

2. а) L = 3464 м; б) H = 1 500 м; в) t_п = 34,64 c; г) $v$ (4) = 167 м/с

Решение задач о равноускоренном движении. Аналитический и графический способы решения

План урока

Графический способ решения
Аналитический способ решения
Задача о движении тела, брошенного под углом к горизонту

Цели урока

знать алгоритмы решения задач кинематики равноускоренного прямолинейного движения
уметь решать задачи кинематики равноускоренного прямолинейного движения графическим и аналитическим способом

Разминка

По какому закону изменяется координата тела, движущегося равноускоренно прямолинейно?
Как выглядит график зависимости скорости от времени при равноускоренном движении?
По какому закону изменяется скорость тела, движущегося равноускоренно прямолинейно?

Пример 1. Графический способ решения

Решение

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1

1. Выбор модели и системы отсчёта

Примем, что поезд является точечным телом.

2. Определение начальной координаты, проекций скоростей и ускорения тела

В выбранной системе отсчёта начальная координата поезда равна нулю:

$x_{0} = 0 м$ .

$v_{0 x} = 20 \frac{м}{с}$ ;

$v_{x} = 0$ .

$a_{x} = - 2 м / с^{2}$ .

3. Запись закона движения и закона изменения скорости тела:

$x = x_{0} + v_{0 x} \cdot t + \frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2} = 20 \cdot t - \frac{2 \cdot t^{2}}{2}$ ;

$v_{x} = v_{0 x} + a_{x} \cdot t = 20 - 2 \cdot t$ .

4. Построение графиков движения

$v_{x} (5) = 20 - 2 \cdot 5 = 10 м / с$ .

Рис. 2. График зависимости проекции скорости от времени

Тогда тормозной путь будет равен площади прямоугольного треугольника с катетами $v_{0 x}$ = 20 и t = 10:

$S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 10 = 100 м$ .

Ответ: $S = 100 м$ .

Пример 2. Аналитический способ решения

Решение

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2

1. Выбор модели и системы отсчёта

Примем, что камень является точечным телом.

2. Определение начальной координаты, проекций скорости и ускорения тела

В выбранной системе отсчёта начальная координата тела равна $y_{0} = H - h$ м.

$v_{0 y} = 10 \frac{м}{с}$ .

Тело летит вверх с ускорением, равным ускорению свободного падения, проекция ускорения отрицательна:

$a_{y} = g_{y} = - 10 \frac{м}{с^{2}}$ .

3. Запись закона движения и закона изменения скорости

$y = y_{0} + v_{0 y} \cdot t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2} = H - h + 10 \cdot t - \frac{10 \cdot t^{2}}{2}$

$v_{y} = v_{0 y} + a_{y} \cdot t = 10 - 10 \cdot t$

4. Составление уравнения

$H = H - h + 10 \cdot t - \frac{10 \cdot t^{2}}{2}$ ;

$0 = 10 - 10 \cdot t$ .

$H = H - h + 10 \cdot t - \frac{10 \cdot t^{2}}{2} \Leftrightarrow H - H + h = 10 \cdot t - \frac{10 \cdot t^{2}}{2}$ ;

$h = 10 \cdot t - \frac{10 \cdot t^{2}}{2} = 10 \cdot 1 - \frac{10 \cdot 1^{2}}{2} = 5 м$ .

$y = y_{0} + v_{0 y} \cdot t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2} = H - \frac{10 \cdot t_{1}^{2}}{2}$ .

$y = H - \frac{10 \cdot t_{1}^{2}}{2} \Leftrightarrow 0 = H - \frac{10 \cdot 4^{2}}{2}$ ;

$H = 80 м$ .

Тогда высота крыши, с которой был брошен камень, равна

$H - h = 80 - 5 = 75 м$ .

Ответ: $H - h = 75 м$ .

Пример 3. Задача о движении тела, брошенного под углом к горизонту

Решение

1. Выбор модели и системы отсчёта

Примем, что камень является точечным телом.

Покажем на рисунке направление скоростей в начальный момент времени и в наивысшей точке подъёма.

Рис. 4. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

2. Определение начальной координаты, проекций скорости и ускорения тела

В выбранной системе отсчёта начальные координаты тела равны x₀ = 0, y₀ = 0.

В начальный момент времени вектор начальной скорости ${\vec{v}}_{0}$ направлен под углом $α$ к горизонту.

Проекции вектора начальной скорости на координатные оси можно найти, используя тригонометрические функции:

$v_{0 x} = \cos (α) \cdot v_{0}$ ;

$v_{0 y} = \sin (α) \cdot v_{0}$ .

3. Запись закона движения и закона изменения скорости

Тогда закон изменения координаты $x$ такого тела с учётом формулы будет иметь следующий вид:

$x = x_{0} + v_{0 x} \cdot t = \cos (α) \cdot v_{0} \cdot t$ .

Вдоль оси ординат тело движется равноускоренно с ускорением
$g$ = −10 м/с².

Тогда закон изменения координаты $y$ такого тела будет иметь следующий вид:

$y = y_{0} + v_{0 y} \cdot t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2} = \sin (α) \cdot v_{0} \cdot t - \frac{g \cdot t^{2}}{2}$ .

$v_{x} = v_{0 x} = \cos (α) \cdot v_{0}$ .

$v_{y} = v_{0 y} + a_{y} \cdot t = \sin (α) \cdot v_{0} - g \cdot t$ .

4. Составление уравнения

Пусть t_в — всё время полёта тела, тогда дальность полёта L соответствует абсциссе тела в момент времени t = t_в:

$L = x = \cos (α) \cdot v_{0} \cdot t_{в}$ .

$H = y = \sin (α) \cdot v_{0} \cdot t_{п} - \frac{g \cdot t_{п}^{2}}{2}$ .

$v_{y} = \sin (α) \cdot v_{0} - g \cdot t \Leftrightarrow 0 = \sin (α) \cdot v_{0} - g \cdot t_{п}$ ,

отсюда

$t_{п} = \frac{\sin (α) \cdot v_{0}}{g}$ .

Подставляем выражение выше в формулы высоты и дальности полёта:

$L = \cos (α) \cdot v_{0} \cdot t_{в} = \cos (α) \cdot v_{0} \cdot 2 t_{п}$ ;

$L = \frac{\cos (α) \cdot v_{0} \cdot 2 \cdot \sin (α) \cdot v_{0}}{g} = \frac{\cos (α) \cdot v_{0}^{2} \cdot 2 \cdot \sin (α)}{g} \approx 866 м$ ;

$H = \sin (α) \cdot v_{0} \cdot t_{п} - \frac{g \cdot t_{п}^{2}}{2} = \frac{{(\sin (α) \cdot v_{0})}^{2}}{g} - \frac{g \cdot {(\sin (α) \cdot v_{0})}^{2}}{2 \cdot g^{2}} = 125 м$ .