Тест к уроку: “Clothes” | Английский язык 4 класс

Описанный четырехугольник

План урока

Свойство описанного четырехугольника;
Примеры.

Цели урока

Знать свойство и признак описанного четырехугольника;
Уметь определять описанные четырехугольники;
Уметь применять свойство описанного четырехугольника при решении задач.

Разминка

В какие фигуры можно вписать окружность?
Закончи свойство: отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, …
Где лежит центр вписанной в треугольник окружности?

Свойство описанного четырехугольника

Вспомним, что многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны являются касательными к окружности. Окружность всегда можно вписать в треугольник и в любой правильный многоугольник.

Рис. 1. Описанный четырехугольник

Рассмотрим четырехугольник $A B C D$ , в который вписана окружность (рис. 1). Пусть $M$ , $N$ , $K$ , $P$ — точки касания сторон четырехугольника.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, поэтому

$A M = A P = x$ , $B M = B N = y$ ,

$C N = C K = z$ , $D K = D P = v$ .

На рисунке 1 равные отрезки обозначены одним цветом. Если рассмотреть суммы длин противоположных сторон:

$A B + C D = (A M + B M) + (C K + D K) = x + y + z + v$

$A D + B C = (A P + D P) + (B N + C N) = x + v + y + z$ ,

то можно сделать вывод, что

$A B + C D = A D + B C$ .

Таким образом, получили свойство описанного около окружности четырехугольника.

Свойство описанного четырехугольника

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Обратное утверждение является признаком того, что в четырехугольник можно вписать окружность.

Признак описанного четырехугольника

Если в четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Пример 1

В четырёхугольник $A B C D$ вписана окружность, $A B = 13$ , $B C = 7$ и $A D = 11$ . Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

Решение

По свойству описанного четырехугольника:

$A B + C D = A D + B C$

Тогда длину стороны можно вычислить по формуле:

$C D = A D + B C - A B = 11 + 7 - 13 = 5$

Ответ: 5.

Пример 2

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 15 и 22. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение

Пусть $a$ , $b$ — длины оснований трапеции, $m$ , $n$ — длины боковых сторон. Тогда по свойству описанного четырехугольника:

$a + b = m + n = 15 + 22 = 37$ .

Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований, т.е.

$l = \frac{a + b}{2} = \frac{37}{2} = 18, 5$ .

Ответ: 18,5.

Упражнение 1

1. В четырёхугольник $A B C D$ вписана окружность, $A B = 22$ , $C D = 17$ . Найдите периметр четырёхугольника $A B C D$ .

2. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 12 и 15. Найдите среднюю линию трапеции.

3. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 40, её большая боковая сторона равна 11. Найдите радиус окружности

Контрольные вопросы

1. Каким свойством касательных мы пользовались при выводе свойства описанного четырехугольника?

2. Как определить, можно ли вписать окружность в четырехугольник?

3. В какой параллелограмм можно вписать окружность?

Ответы

Упражнение 1

1. 78.

2. 13,5.

3. 4,5

Конспект урока: Описанный четырёхугольник

Окружность

Свойство описанного четырехугольника