Конспект урока: Решение задач с помощью систем уравнений

Решение задач с помощью систем уравнений

Системы уравнений широко используются при решении задач. В тех задачах, где неизвестных более одного и они связаны различными условиями, целесообразно использовать системы уравнений. Рассмотрим простой пример такой задачи.

Сумма двух чисел равна 10, а их разность равна 4. Найдите эти числа.

Решение

Решим задачу с помощью системы уравнений. Пусть $x$ – первое число, а $y$ – второе число. По условию задачи известно, что их сумма равна 10, т.е. $x+y=10$. Также известно, что их разность равна 4, т.е. $x-y=4$. Так как речь идет об одних и тех же числах, нам нужно найти такие значения $x$ и $y$, чтобы они удовлетворяли и первому и второму уравнению одновременно. Получим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=10,\\ x-y=4.\end{array}\right.$

1 способ. Решим систему уравнений способом подстановки. Выразим из первого уравнения переменную $x$ и подставим во второе уравнение:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=10,\\ x-y=4,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=10-y,\\ (10-y)-y=4,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=10-y,\\ -2y=-6,\end{array}\right.\iff$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=10-y,\\ y=3,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=10-3,\\ y=3,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=7,\\ y=3.\end{array}\right.$

2 способ. Решим систему уравнений способом сложения:

$\frac{+\left\{\begin{array}{l}x+y=10,\\ x-y=4,\end{array}\right.}{(x+y)+(x-y)=10+4}$,

$2x=14$,

$x=7$.

Подставим полученное значение переменной $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти значение $y$:

$x+y=10$,

$7+y=10$,

$y=3$.

Ответ: 7 и 3.

Для решения конкретной системы уравнений нужно выбирать тот способ, который кажется для данного случая наиболее удобным, или тот, который вам больше нравится. В примере 1 мы решили систему уравнений двумя способами, чтобы повторить метод подстановки и метод сложения.

Расстояние между пунктами по реке равно 80 км. Это расстояние лодка проплывает по течению реки за 4 ч, а против течения – за 5 ч. Чему равна собственная скорость лодки и скорость течения реки?

Решение

Пусть $x$ км/ч - собственная скорость лодки, а $y$ км/ч - скорость течения реки. Когда лодка движется по течению, река ей «помогает» и ее скорость становится равной $(x+y)$ км/ч. Двигаясь по течению со скоростью $(x+y)$ км/ч лодка пройдет расстояние 80 км за 4 ч. Мы знаем, что расстояние равно скорости, умноженной на время $(S=Vt)$. Тогда первое уравнение будет $(x+y)·4=80$.

Вторая ситуация, когда лодка движется против течения, т.е. река ей «мешает» и скорость движения будет меньше. Она будет равна $(x-y)$ км/ч. Те же 80 км лодка будет проходить 5 ч. Составим второе уравнение: $(x-y)·5=80$. 

Итак, получили систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}(x+y)·4=80,\\ (x-y)·5=80.\end{array}\right.$

Решим эту систему способом сложения:

$\left\{\begin{array}{l}(x+y)·4=80,\\ (x-y)·5=80,\end{array}\right.$

$\frac{+\left\{\begin{array}{l}x+y=20\\ x-y=16\end{array}\right.}{(x+y)+(x-y)=20+16}$,

$2x=36$,

$x=18$.

Найдем значение $y$:

$x+y=20$,

$18+y=20$,

$y=2$.

Ответ: собственная скорость лодки 18 км/ч, скорость течения – 2 км/ч.

Можно ли разменять купюру в 2000 рублей купюрами в 50 рублей и 10 рублей, если для размена нужно использовать 46 купюр?

Решение

Пусть для размена использовали $x$ штук купюр в 50 рублей и $y$ штук купюр в 10 рублей. Общее количество купюр по условию задачи равно 46, т.е. $x+y=46$. Учтем, что $x$ купюр по 50 рублей стоят $50x$ рублей, а $y$ купюр по 10 рублей составят $10y$ рублей. Общая сумма всех купюр должна быть 2000. Получим уравнение $50x+10y=2000$.

Составим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=46,\\ 50x+10y=2000,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=46,\\ 5x+y=200.\end{array}\right.$

Для удобства все члены второго уравнения мы разделили на 10. Решим систему уравнений способом подстановки:

$\left\{\begin{array}{l}x=46-y,\\ 5x+y=200,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=46-y,\\ 5(46-y)+y=200,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=46-y,\\ -4y=-30,\end{array}\right.\iff$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=46-y,\\ y=7,5,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=38,5,\\ y=7,5.\end{array}\right.$

Вернемся к нашим обозначениям в начале задачи. Мы получили, что для размена понадобится 7,5 купюр в 10 рублей и 38,5 купюр в 50 рублей. По смыслу задачи числа $x$ и $y$ могут быть только натуральными. Поэтому разменять купюру 2000 рублей данным способом не получится.

Ответ: нельзя.

В прямоугольнике, периметр которого 52 см, разность длин двух сторон равна 4 см. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение

Пусть $x$ см будет длина прямоугольника, а $y$ см – ширина. Периметр – это сумма длин всех сторон, т.е. $(x+y)·2$. По условию он равен 52 см. Значит, первое уравнение будет: $(x+y)·2=52$.

Также известно, что разность длин сторон равна 4, т.е. $x-y=4$. Составим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}(x+y)·2=52,\\ x-y=4.\end{array}\right.$

Разделим обе части первого уравнения на 2 и решим систему уравнений способом сложения:

$\frac{+\left\{\begin{array}{l}x+y=26,\\ x-y=4,\end{array}\right.}{(x+y)+(x-y)=26+4}$,

$2x=30$,

$x=15$.

Найдем значение $y$ из первого уравнения:

$x+y=26$,

$15+y=26$,

$y=11$.

Мы решили систему уравнений. Получили, что длина прямоугольника равна 15 см, а ширина – 11 см.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно вычислить площадь прямоугольника, которая равна произведению его длины на ширину:

$15·11=165$ см².

Ответ: $165$ см².

Решая задачи с помощью системы уравнений, нужно придерживаться схемы:

1 шаг. Ввести обозначения неизвестных и составить систему уравнений к задаче.

2 шаг. Решить систему уравнений.

3 шаг. После решения системы уравнений вернуться к условию задачи и использованным обозначениям и записать ответ (могут понадобиться дополнительные вычисления, как в примере 4).

1. Одно число больше другого на 6, а их сумма равна 40. Найдите эти числа.

2. Было куплено 84 кг картофеля и моркови, причем картофеля куплено на 3 ящика больше, чем моркови. Сколько ящиков картофеля и моркови закуплено по отдельности, если в 1 ящике моркови 8 кг, а картофеля 10 кг.

3. Теплоход проходит 180 км по течению за 6 часов, а 120 км против течения за 5 часов. Найдите скорость течения реки и собственную скорость теплохода.

4. Основание равнобедренного треугольника на 6 см больше его боковой стороны. Найдите его боковую сторону, если его периметр равен 42 см.