Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Теоремы об отрезках, связанных с окружностью. Углы с вершинами внутри и вне круга

Окружность

03.03.2024
1898
0

Теоремы об отрезках, связанных с окружностью. Углы с вершинами внутри и вне круга

План урока

  • Теоремы об отрезках, связанных с окружностью;
  • Углы с вершинами внутри и вне круга.

Цели урока

  • Знать формулировки теорем об отрезках, связанных с окружностью, и уметь их доказывать;
  • Знать, как выражаются углы с вершинами внутри и вне круга через заключённые внутри них дуги;
  • Уметь применять изученные теоремы при решении задач.

Разминка

  • Какую прямую называют секущей к окружности?
  • Какую прямую называют касательной к окружности?
  • Что такое хорда окружности?
  • Как связаны центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну дугу окружности?

Теоремы об отрезках, связанных с окружностью

 

Сформулируем и докажем две теоремы.


Теорема 1

 

Произведение отрезков одной из двух пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой хорды.


Доказательство

Рис. 1.

Известно, что некоторые хорды MN и EF пересекаются в точке K (рис. 1). Требуется доказать, что MK·NK=EK·FK.

 

Рассмотрим треугольники MFK и ENK.

 

1=2  (вертикальные), 3=4 (опираются на одну и ту же дугу NF).

Следовательно, MFK~ENK по двум углам.

 

Тогда MKEK=FKNKMK·NK=EK·FK.

 

Теорема доказана.


Теорема 2

 

Если через точку S проведены секущая, пересекающая окружность в точках M и N и касательная SK (K – точка касания), то SK2=SM·SN (рис. 2).


Доказательство

Рис. 2.

Пусть из некоторой точки S проведены секущая, пересекающая окружность в точках M и N, и касательная SK (K – точка касания). Требуется доказать, что SN·SM=SK2.

Рассмотрим треугольники MKS и KNS.

S – общий, MKS=KNS (каждый из них равен половине дуги MKMKS~KNS по двум углам.

 

Тогда SKSN=SMSKSN·SM=SK2

 

Теорема доказана.


Пример 1

 

Хорда CD, перпендикулярная диаметру AB, пересекает этот диаметр в точке E (рис. 3). Найдите хорду CD, если AE=9BE=16.


Решение

Рис. 3.

По условию хорда CD перпендикулярна диаметру AB, тогда, опираясь на симметрию окружности относительно диаметра, можно сделать вывод, что CE=DE. Обозначим CE за x.

Из теоремы об отрезках пересекающихся хорд (теорема 1) следует, что CE·DE=AE·BE.

Тогда

x2=9·16

x=3·4

x=12

 

Таким образом, CE=12CD=24.

 

Ответ: 24.


Пример 2

 

Через вершины A и С треугольника ABC проходит окружность, пересекающая сторону AB в точке D и касающаяся стороны BC. Найдите AD, если AC=8BC=6DC=4,8.


Решение

Рис. 4.

Так как окружность по условию задачи проходит через вершину C и при этом касается стороны BC, то это означает, что точка C и является точкой касания окружности (рис. 4).

Треугольники ABC и CBD подобны по двум углам 
(B – общий, CAB=DCB). Из подобия этих треугольников следует

 

BCBD=ACDCBD=BC·DCAC=6·4,88=3,6.

 

Из теоремы о квадрате отрезка касательной (Теорема 2) следует

 

AB·BD=BC2AB=BC2BD=363,6=10.

AD=10-3,6=6,4.

 

Ответ: 6,4.


Свойство секущих окружности


Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой секущей на ее внешнюю часть.


Упражнение 1

Рис. 5.

  1. На рисунке 5 изображена полуокружность с диаметром AB. Найдите x.
  2. Через вершины A и C треугольника ABC проходит окружность, пересекающая сторону AB в точке D и касающаяся стороны BC. Найдите AD, если AC=18BC=18DC=63.


Углы с вершинами внутри и вне круга


Теорема 3

 

Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме двух противоположных дуг, заключённых между этими хордами.


Доказательство

Рис. 6.

Пусть хорды AC и BD пересекаются в точке M (рис. 6). 

Требуется доказать, что AMB=CXD+AYB2.

Угол AMB – внешний угол треугольника BMC. Следовательно AMB=MBC+MCB.

 

По теореме о вписанном угле MBC=CXD2MCB=AYB2.

Тогда AMB=MBC+MCB=CXD+AYB2.

 

Теорема доказана.


Теорема 4

 

Угол между двумя секущими, проведёнными из одной точки, равен полуразности заключённых внутри него дуг.


Доказательство

Рис. 7.

Пусть одна из секущих, проведённых из точки M, пересекает окружность в точках A и B, а вторая секущая – в точках C и D(рис. 7).

 

Угол BAD является внешним углом треугольника AMD.

 

Поэтому 

 

BAD=AMD+ADMAMD=BAD-ADM.

 

BAD=BXD2ADM=AYC2AMD=BXD2-AYC2.

 

Теорема доказана.

 

Сформулируем ещё две теоремы, доказательство которых аналогично доказательствам предыдущих теорем.


Рис. 8.

Теорема 5

 

Угол между касательной и секущей, проведёнными из одной точки, равен полуразности заключённых внутри него дуг (рис. 8).

 

Применительно к рисунку 8, можно записать 

 

M=BXK-AYK2.


Теорема 6

 

Угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки, равен 180° минус величина заключённой внутри него меньшей дуги (рис. 9). 


Рис. 9.

Применительно к рисунку 9, можно записать                                                                                

 

M=180°-AXB.


Упражнение 2

Рис. 10.

  1. Докажите теорему об угле между касательной и секущей (Теорема 5).
  2. Докажите теорему об угле между двумя касательными (Теорема 6).
  3. По данным, указанным на рисунке 10, найдите угол M.


Контрольные вопросы

 

  1. Сформулируйте теоремы об отрезках, связанных с окружностью
  2. Сформулируйте теоремы об углах внутри и вне окружности.


Ответы

Упражнение 1

 

1. 3; 

2.  123.

 

Упражнение 2

 

3. 40°.

Предыдущий урок
Вписанный четырёхугольник
Окружность
Следующий урок
Описанный четырёхугольник
Окружность
Поделиться:
  • Обратимость химических реакций. Химическое равновесие и способы его смещения

    Химия

  • Глобальная продовольственная проблема

    География

  • Жизненные формы организмов. Приспособления организмов к действию экологических факторов

    Биология

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке