Конспект урока: Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой

Угол, вершина которого является центром окружности, а стороны – радиусами, называется центральным. При этом величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он описается.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами называется вписанным. Величина вписанного угла равна половине градусной мере дуги, на которую он опирается.

Таким образом, мы умеем находить градусную меру углов окружности, образованных радиусами или хордами, пересекающимися в точке, лежащей на окружности.

Сейчас мы выясним как найти величину угла, образованного касательной и хордой окружности, проведенной в точку касания.

Рис. 1. Угол между касательной и хордой

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$. Проведем касательную $AB$, причём $A$ – точка касания (рис. 1). Построим хорду $AC$. Угол между хордой $AC$ и касательной $AB$ – это $\angle BAC$.

 

Проведем диаметр $AD$. Получим, что $\angle DAB=90°$, $\stackrel{⏝}{DCA}=180°$.  

 

Угол $DAC$ является вписанным, т.е.

 

$\angle DAC=\frac{1}{2} \stackrel{⏝}{DC}=\frac{1}{2}\left( \stackrel{⏝}{DCA}-\stackrel{⏝}{CA}\right)=$

$=\frac{1}{2}\left(180°-\stackrel{⏝}{CA}\right)=90°-\frac{1}{2}\stackrel{⏝}{CA}.$ 

 

С другой стороны,

 

$\angle DAC=\angle DAB-\angle BAC=90°-\angle BAC$.

 

Таким образом, приравнивая полученные выражения для угла $DAC$, получим:

 

$90°-\frac{1}{2} \stackrel{⏝}{CA}=90°-\angle BAC$,

 

т.е.

 

$\angle BAC=\frac{1}{2}\stackrel{⏝}{CA}$.

 

Получили выражение, с помощью которого можно найти угол между касательной и хордой.

Решение

Рис. 2. Угол между хордой и касательной

Центральный угол, опирающийся на хорду $AB$ – это $\angle BOA$. При этом центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается, т.е. 

 

$\angle BOA=\stackrel{⏝}{AB}$.

 

Дуга $AB$ – это дуга, заключенная в угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, т.е.

 

$\angle CBA=\frac{1}{2}\stackrel{⏝}{AB}$, $\stackrel{⏝}{AB}=2\angle CBA$.

 

Тогда величина центрального угла будет равна

 

$\angle BOA=2\angle CBA=2·32°=64°$.

 

Ответ: $64°$.

Решение

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания равен половине дуги, заключенной в этот угол. Острому углу будет соответствовать меньшая дуга.

Рассмотрим рисунок 1. Из соотношения дуг $3:5$, на которые хорда делит окружность, найдем величину меньшей дуги $\stackrel{⏝}{AC}$:

$\stackrel{⏝}{AC}=\frac{3}{8}·360°=135°$.

Тогда величина угла $BAC$ (между хордой и касательной) равна

$\angle BAC=\frac{1}{2}\stackrel{⏝}{AC}=\frac{1}{2}·135°=67°{30}^{\text{'}}$.

Ответ: $67°{30}^{\text{'}}$.