- Цилиндрическая поверхность;
- Цилиндр;
- Сечения цилиндра;
- Площадь поверхности цилиндра.
- Знать определение цилиндра;
- Знать элементы цилиндра;
- Уметь находить площадь поверхности цилиндра.
- Какую форму имеют трубы?
- Может ли в основании призмы лежать круг? А у пирамиды?
- Каким свойством обладают прямые, перпендикулярные одной плоскости?
Цилиндрическая поверхность
Рассмотрим окружность с центром в точке и радиусом , лежащую в некоторой плоскости . Через каждую точку окружности проведем прямые, перпендикулярные этой окружности. Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью . Сами прямые называются образующими цилиндрической поверхности . Прямая, проходящая через точку перпендикулярно плоскости - осью цилиндрической поверхности .
При этом образующие и ось цилиндрической поверхности параллельны, так как перпендикулярны одной плоскости .
Цилиндр
Ограничим цилиндрическую поверхность плоскостью , параллельной плоскости . Образующие цилиндрической поверхности пересекают плоскость в точках, которые образуют окружность равную окружности в плоскости (рис. 1). Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границей и называется цилиндром , круги называются основаниями цилиндра .
Образующими цилиндра называют отрезки образующих цилиндрической поверхности, заключенные между основаниями, а боковой поверхностью цилиндра – образованную ими часть цилиндрической поверхности. Ось цилиндрической поверхности является также и осью цилиндра .
Все образующие цилиндра равны друг другу и параллельны. Длина образующей называется высотой цилиндра , а радиус основания – радиусом цилиндра .
Цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон ( оси вращения ) (рис. 2). При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны, параллельной оси вращения, а основания – вращением двух других сторон.
Сечение цилиндра
Построим секущую плоскость, проходящую через ось цилиндра (рис. 3). Полученное сечение – это прямоугольник, две стороны которого – это диаметры оснований, а две другие – образующие цилиндра.
Это сечение называется осевым .
Теперь построим секущую плоскость, перпендикулярную оси цилиндра (рис. 4). Такое сечение является кругом. Она (плоскость) отсекает от цилиндра тело, также являющееся цилиндром, основания которого равны основаниям исходного цилиндра.
Пример 1
Найдите площадь сечения цилиндра, параллельного его оси, радиус основания которого равен 5, а образующая – 10, если расстояние от оси цилиндра до этой плоскости равно 3.
Решение
На рисунке 5 изображено это сечение . Сечение является прямоугольником, одна сторона которого равна образующей цилиндра, а вторая – это хорда основания.
- расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.
Рассмотрим равнобедренный треугольник , где - высота, а значит, - середина . Тогда по теореме Пифагора:
,
.
Тогда площадь сечения:
.
Ответ: 80.
Упражнение 1
Найдите площадь сечения цилиндра параллельного его оси, радиус основания которого равен 8, а образующая – 7, если расстояние от оси цилиндра до этой плоскости равно 4.
Площадь поверхности цилиндра
Чтобы вычислить площадь боковой поверхности цилиндра, необходимо развернуть её на плоскость. Если сделать разрез по образующей цилиндра и развернуть поверхность так, чтобы все образующие лежали в одной плоскости, то получим прямоугольник , одна сторона которого равна образующей (или высоте цилиндра), а другая - длине окружности основания цилиндра (рис. 6).
В этом случае, площадь поверхности цилиндра равна площади прямоугольника , т.е.
,
где — радиус основания цилиндра, — высота цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра есть сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого из оснований равна . Тогда для вычисления площади полной поверхности можно воспользоваться формулой:
.
Пример 2
Во сколько раз площадь полной поверхности цилиндра больше боковой поверхности, если радиус основания равен высоте цилиндра?
Решение
При условии, что получаем
,
.
Тогда
.
Ответ: 2.
Упражнение 2
1. Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра, если его высота равна 7, а радиус основания равен 3.
2. Во сколько раз площадь полной поверхности цилиндра больше боковой поверхности, если радиус основания в 3 раза меньше высоты цилиндра?
Контрольные вопросы
1. Что такое цилиндр?
2. Какие элементы есть у цилиндра?
3. Что представляет собой боковая поверхность цилиндра?
Упражнение 1
.
Упражнение 2
1. .
2. .