Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Вычисление углов между прямыми и плоскостями

Векторы на плоскости и в пространстве

29.03.2024
1182
0

Вычисление углов между прямыми и плоскостями

Ответы

  • Направляющий вектор. Нормальный вектор;
  • Угол между двумя прямыми;
  • Угол между прямой и плоскостью.

Цели урока

  • Знать, что называют направляющим вектором и нормальным вектором;
  • Уметь находить угол между прямыми;
  • Уметь находить угол между прямой и плоскостью.

Разминка

  • Что такое угол между векторами?
  • Чему может быть равен угол между прямыми?
  • Как найти угол между векторами?

Направляющий вектор. Нормальный вектор

 

Знания о векторах можно применить для решения разных задач. 

Рис. 1. Направляющий вектор

Из аксиом планиметрии известно, что через любые две точки проходит прямая и причем только одна. Также координаты вектора в пространстве задают две точки. Соответственно, прямую, проходящую через две заданные точки в прямоугольной системе координат, можно соотнести с вектором, координаты которого являются разностью координат точек прямой. Такой вектор называют направляющим (рис. 1).


Ненулевой вектор называется направляющим вектором  прямой a, если он лежит либо на прямой a, либо на прямой, параллельной a.


Рис. 2. Нормальный вектор плоскости

Из аксиом стереометрии известно, что через любые три точки проходит плоскость и притом только одна. Соответственно, плоскость нельзя однозначно соотнести с вектором, лежащим в этой плоскости или в параллельной ей.

 

Плоскость задается с помощью нормального вектора n (рис. 2). 


Нормальный вектор плоскости  – это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.


Угол между прямыми

 

Задача на нахождение угла между прямыми сводится к нахождению угла между направляющими векторами. Необходимо учитывать тот факт, что угол между прямыми φ90°, а угол α между векторами  может быть больше 90°.

 

Рассмотрим две прямые a и b, а также их направляющие векторы a и b. Возможны два случая.

Рис. 3. φ=α

На рисунке 3 угол φ между прямыми равен углу α между векторами. Значит,                   

 

cos φ=cos α.

Рис. 4. α+φ=180°

На рисунке 4 угол φ между прямыми и угол α между векторами являются смежными, т.е. α+φ=180°. Значит, 

 

cos φ=cos (180°-α)=-cos α.

В любом случае cos φ=cos α, а так как φ90°, то cos φ0. Следовательно,

 

cos φ=cos α.

 

Если a x1;y1;z1 и b x2;y2;z2, то используя формулу для нахождения косинуса угла между векторами, имеем:

 

cos φ=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12·x22+y22+z22.


Пример 1

 

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла между прямыми AB и DB1.


Рис. 5. Единичный куб

Решение

 

Введем систему координат с началом в точке B (рис. 5).

Определим координаты направляющих векторов прямых AB и DB1. Для этого определим координаты точек A, B, D, B1:

 

A(0;0;1), B(0;0;0), D(1;0;1), B1(0;1;0).

 

Тогда:

 

AB 0;0;-1, DB1 -1;1;-1.

 

Воспользуемся формулой

 

cos φ=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12·x22+y22+z22.

 

где φ — угол между прямыми AB и DB1, а x1, y1, z1 и x2, y2, z2 — координаты векторов AB и DB1 соответственно. Тогда

 

cos φ=0·(-1)+0·1+(-1)·(-1)02+02+(-1)2·(-1)2+12+(-1)2=13=33.

 

Ответ: 33.


Упражнение 1

 

1. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AB1 и BC1.

2. Сторона основания правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 2, высота — 4. Точка E — середина отрезка CD, точка F — середина отрезка AD. Найдите угол между прямыми CF и B1E.


Угол между прямой и плоскостью

Рис. 6. Угол между прямой и плоскостью

Задача на нахождение угла между прямой и плоскостью сводится к нахождению угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Также, как и в задаче с прямыми, возможны два случая.

 

Рассмотрим один из них. После в итоговую формулу добавим модуль, как и в случае с прямыми.

 

Обратимся к рисунку 6. Необходимо найти угол между прямой b и плоскостью γ. Пусть α – угол между прямой b и плоскостью γ. Угол β – угол между направляющим вектором b и нормальным вектором n. Из рисунка видно, что α+β=90°. Тогда

 

cos β=cos (90°-α)=sin α.

 

В общем случае имеем sin α=cos β.

Таким образом, если координаты направляющего вектора b x1;y1;z1, а координаты нормального вектора n x2;y2;z2, то синус угла α между прямой и плоскостью можно найти по формуле

 

sin α=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12·x22+y22+z22.


Пример 2

 

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите синус угла между прямой DB1 и плоскостью ADD1.


Решение

Рис. 7. Единичный куб

Введем систему координат с началом в точке B (рис. 7).

Определим координаты направляющего вектора прямой DB1. Для этого определим координаты точек: D(1;0;1), B1(0;1;0).

 

Тогда:

 

DB1 -1;1;-1.

 

Вектор AB перпендикулярен плоскости ADD1 значит, его выберем в качестве нормального вектора. Определим его координаты:

 

A(0;0;1), B(0;0;0), AB 0;0;-1.

 

Воспользуемся формулой

 

sin α=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12·x22+y22+z22.

 

где α — угол между прямой DB1 и плоскостью ADD1, а x1, y1, z1 и x2, y2, z2 — координаты векторов AB и DB1 соответственно. Тогда

 

sin α=0·(-1)+0·1+(-1)·(-1) 02+02+(-1)2·(-1)2+12+(-1)2=13=33.

Ответ: 33.


Упражнение 2

 

Найдите синус угла между прямой MK и BCC1 в единичном кубе ABCDA1B1C1D1, где M — середина A1B1K середина AD.


Контрольные вопросы

 

1. Что такое направляющий вектор?

2. Как с помощью направляющих векторов найти угол между прямыми?

3. Как связаны угол между прямой и плоскостью с углом между направляющим и нормальным векторами?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 60°.

2. 90°

 

Упражнение 2

 

66.

Предыдущий урок
Простейшие задачи в координатах. Уравнение сферы
Векторы на плоскости и в пространстве
Следующий урок
Координаты точки и координаты вектора
Векторы на плоскости и в пространстве
Поделиться:
  • Производная степенной функции. Правила дифференцирования

    Алгебра

  • Вычисление углов между прямыми и плоскостями

    Геометрия

  • Финансовая политика государства

    Обществознание

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке