Конспект урока: Вычисление углов между прямыми и плоскостями

Рис. 1. Направляющий вектор

Из аксиом планиметрии известно, что через любые две точки проходит прямая и причем только одна. Также координаты вектора в пространстве задают две точки. Соответственно, прямую, проходящую через две заданные точки в прямоугольной системе координат, можно соотнести с вектором, координаты которого являются разностью координат точек прямой. Такой вектор называют направляющим (рис. 1).

Рис. 2. Нормальный вектор плоскости

Из аксиом стереометрии известно, что через любые три точки проходит плоскость и притом только одна. Соответственно, плоскость нельзя однозначно соотнести с вектором, лежащим в этой плоскости или в параллельной ей.

Плоскость задается с помощью нормального вектора $\overrightarrow{n}$ (рис. 2). 

Рис. 3. φ=α

На рисунке 3 угол $\phi$ между прямыми равен углу $\alpha$ между векторами. Значит,                   

$\cos \phi =\cos \alpha$.

Рис. 4. α+φ=180°

На рисунке 4 угол $\phi$ между прямыми и угол $\alpha$ между векторами являются смежными, т.е. $\alpha +\phi =180°$. Значит, 

$\cos \phi =\cos (180°-\alpha )=-\cos \alpha$.

Рис. 5. Единичный куб

Решение

Введем систему координат с началом в точке $B$ (рис. 5).

Определим координаты направляющих векторов прямых $AB$ и $D{B}_1$. Для этого определим координаты точек $A, B, D, B_1$:

$A(0;0;1), B(0;0;0), D(1;0;1), B_1(0;1;0)$.

Тогда:

$\overrightarrow{AB} \left\{0;0;-1\right\}, \overrightarrow{D{B}_1} \left\{-1;1;-1\right\}$.

Воспользуемся формулой

$cos \phi =\frac{\left|x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2\right|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}·\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$.

где $\phi$ — угол между прямыми $AB$ и $D{B}_1$, а $x_1, y_1, z_1$ и $x_2, y_2, z_2$ — координаты векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{D{B}_1}$ соответственно. Тогда

$cos \phi =\frac{\left|0·(-1)+0·1+(-1)·(-1)\right|}{\sqrt{0^2+0^2+(-1{)}^2}·\sqrt{(-1{)}^2+1^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Рис. 6. Угол между прямой и плоскостью

Задача на нахождение угла между прямой и плоскостью сводится к нахождению угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Также, как и в задаче с прямыми, возможны два случая.

Рассмотрим один из них. После в итоговую формулу добавим модуль, как и в случае с прямыми.

Обратимся к рисунку 6. Необходимо найти угол между прямой $b$ и плоскостью $\gamma$. Пусть $\alpha$ – угол между прямой $b$ и плоскостью $\gamma$. Угол $\beta$ – угол между направляющим вектором $\overrightarrow{b}$ и нормальным вектором $\overrightarrow{n}$. Из рисунка видно, что $\alpha +\beta =90°$. Тогда

$\cos \beta =\cos (90°-\alpha )=\sin \alpha$.

В общем случае имеем $\sin \alpha =\left|\cos \beta \right|$.

Рис. 7. Единичный куб

Введем систему координат с началом в точке $B$ (рис. 7).

Определим координаты направляющего вектора прямой $D{B}_1$. Для этого определим координаты точек: $D(1;0;1), B_1(0;1;0)$.

Тогда:

$\overrightarrow{D{B}_1} \left\{-1;1;-1\right\}$.

Вектор $\overrightarrow{AB}$ перпендикулярен плоскости $\left(AD{D}_1\right)$ значит, его выберем в качестве нормального вектора. Определим его координаты:

$A(0;0;1), B(0;0;0),$ $\overrightarrow{AB} \left\{0;0;-1\right\}$.

Воспользуемся формулой

$\sin \alpha =\frac{\left|x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2\right|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}·\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$.

где $\alpha$ — угол между прямой $D{B}_1$ и плоскостью $\left(AD{D}_1\right)$, а $x_1, y_1, z_1$ и $x_2, y_2, z_2$ — координаты векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{D{B}_1}$ соответственно. Тогда

$sin \alpha =\frac{\left|0·(-1)+0·1+(-1)·(-1)\right|}{\sqrt{ 0^2+0^2+(-1{)}^2}·\sqrt{(-1{)}^2+1^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.