Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Уравнение с двумя переменными и его график

Решение уравнений и неравенств

23.07.2024
2766
0

Уравнение с двумя переменными и его график

План урока

  • Уравнение с двумя переменными;
  • График уравнения с двумя переменными;
  • Уравнение окружности и ее график.

Цели урока

  • Знать, что называют решением уравнения с двумя переменными, графиком уравнения с двумя переменными, определение равносильных уравнений;
  • Уметь находить решение уравнения с двумя переменными;
  • Знать уравнение окружности;
  • Уметь строить график окружности.

Разминка

  • Как называется график линейной функции? Как его построить?
  • Как построить график квадратичной функции?
  • Графики каких ещё функций вы умеете строить?

Уравнение с двумя переменными

 

Мы уже много раз говорили о необходимости уметь решать уравнения, и вы уже умеете решать некоторые виды уравнений с одной переменной. Но в задачах довольно часто встречаются уравнения с несколькими переменными. Рассмотрим уравнения с двумя переменными.

 

Очевидно, что новый вид уравнения отличается от старых в первую очередь тем, что теперь оно будет содержать сразу две переменные. Каждое из следующих уравнений является тем самым уравнением с двумя переменными

 

4x+5y=14x2+5=yy2+2x2-x=1.

 

Решить уравнение с одной переменной x означало, что необходимо найти такое значение x, при котором уравнение обращалось в верное равенство. Значит, можно сделать вывод, что для того, чтобы решить уравнение с двумя переменными x и y, необходимо найти значения для x и y, при которых уравнение обращается в верное равенство. Это второе отличие.


Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Для уравнения с двумя переменными x и y решение записывается в виде пары чисел (x0; y0), где x0, y0 - решение этого уравнения.


Например, для уравнения 4x+5y=14 пара чисел (1; 2) является решением уравнения, так как при подстановке 4·1+5·2=1414=14, получаем верное равенство.

 

Уравнение с двумя переменными, как правило, имеет бесконечное множество решений.


Два уравнения, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными уравнениями .


Для того, чтобы определить степень уравнения с двумя переменными, необходимо привести его к виду, где левая часть есть многочлен стандартного вида, а правая часть – нуль. Тогда степень уравнения будет совпадать со степенью этого многочлена.


Пример 1

Определить степень уравнения с двумя переменными 

 

(3x-2y2)2=9x2-1.


Решение

 

Преобразуем уравнение. Для этого раскроем скобки, перенесем слагаемые из правой части в левую и приведем подобные слагаемые:

 

9x2-12xy2+4y4-9x2+1=0,

4y4-12xy2+1=0.

 

В левой части получили многочлен 4y4-12xy2+1, степень которого равна 4. Значит, степень уравнения (3x-2y2)2=9x2-1 тоже равна 4.

 

Ответ: 4.


Упражнение 1

1. Определить какие пары чисел являются решениями уравнения y2+2x2-x=1

а) (1; 0)  б) (-1; 1)   в) (0; 1)    г) (0: -1)   д) (2; 2)

 

2. Определить степень уравнения (x2+y3)2=(y2-1)3


График уравнения с двумя переменными

 

Мы уже выяснили, что решением уравнения с двумя переменными является пара чисел и, как правило, таких решений бесконечно много. Эти решения можно изобразить на координатной плоскости.


Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.


Графики некоторых уравнений вы уже умеете строить. Например, график линейного уравнения ax+by=c, где a0 и b0, — это прямая, а график уравнения y=ax2+bx+c — парабола.

Но вообще графики уравнений с двумя переменными могут принимать абсолютно любой вид. На рисунке 1 вы можете увидеть некоторые из них.

Рис. 1. Графики функций (x2+y2 )2=3xy и (x2+y2-1)3-x2 y3=0

Уравнение окружности и ее график

 

Рис.2. Окружность с центром в начале координат радиуса R

Построим в системе координат окружность с центром в начале координат радиуса R(рис. 2). Отметим на окружности точку A. Пусть точка A имеет координаты (x0; y0). Соединим центр окружности с точкой A. Получим отрезок OA, длина которого равна радиусу окружности R. Опустим перпендикуляр ABна ось x. Получили прямоугольный треугольник ABO, гипотенуза которого AO=R, а катеты 

AB=|y0|BO=|x0|.  Длины сторон прямоугольного треугольника, как вам известно, связаны с помощью теоремы Пифагора: BO2+AB2=AO2. Таким образом, имеем, что |x0|2+|y0|2=R2 или x02+y02=R2.

Так как точку на окружности мы выбрали произвольным образом, то получившееся равенство верно для любой точки, принадлежащей окружности и имеющей координаты (x; y).

Таким образом, уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом R служит уравнение вида x2+y2=R2.

Рис. 3. График окружности (x-x0)2+(y-y0)2=R2

Известно, что параллельный перенос применим для графика любой функции, значит, можно применить сдвиги вдоль осей x и y для центра окружности. Тогда уравнение окружности с центром в точке A0(x0; y0) и радиусом R (рис. 3) имеет вид (x-x0)2+(y-y0)2=R2.


Пример 2

Написать уравнение окружности с центром в точке A0(-1; 2) и радиусом R=3 и построить график этой окружности.


Рис. 4. График окружности 
(x + 1)2 + (y – 2)2 = 9

Решение

 

Подставив в уравнение окружности (x-x0)2+(y-y0)2=R2 значения координат центра и радиуса окружности, получим 

 

(x-(-1))2+(y-2)2=32

(x+1)2+(y-2)2=9

 

Для того, чтобы построить окружность в координатной плоскости, нужно отметить центр в точке A0(-1; 2), а далее с помощью циркуля нарисовать окружность, радиус которой будет равен 3 (рис. 4).

 

Ответ: (x+1)2+(y-2)2=9.


Упражнение 2

 

1. Написать уравнение окружности с центром в точке A0(2; 3) и радиусом R=5.

2. Построить график этой окружности.


Контрольные вопросы:

 

1. Чем уравнение с двумя переменными отличается от уравнения с одной переменной?

2. Сколько решений может иметь уравнение с двумя переменными?

3. Графиком какого уравнения является окружность?


Ответы

Упражнение 1

 

1. а, в, г. 2. 5.

 

Упражнение 2

 

1. (x-2)2+(y-3)2=25

2.

Предыдущий урок
Уравнение с двумя переменными и его график
Решение уравнений и неравенств
Следующий урок
Целое уравнение и его корни
Решение уравнений и неравенств
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Лесной комплекс

    География

  • Построение графика квадратичной функции

    Алгебра

  • Вещества

    Химия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке