Конспект урока: Дробные рациональные уравнения

Дробное рациональное уравнение

Следующий тип уравнений, который необходимо уметь решать, — это дробные рациональные уравнения. С простейшими примерами дробных рациональных уравнений вы уже встречались. Вспомним, какие уравнения являются таковыми.

Каждое из следующих уравнений является дробным рациональным.

$\frac{2x}{x^2+5}=\frac{4}{x+1}$, $\frac{4}{x^3}=\frac{1}{2}$, $1-3x=\frac{1}{x+6}$.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений

При решении дробных рациональных уравнений, как вам известно, обычно поступают следующим образом:

1. находят общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2. умножают обе части уравнения на этот знаменатель;

3. решают получившееся целое уравнение;

4. исключают из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель дробей.

Рассмотрим несколько примеров.

Решить уравнение: 

$\frac{x^3}{(x^2-4)(x^2+2)}=\frac{4x}{x^4-2x^2-8}-\frac{3}{x^2+2}$.

Решение

Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, равен $x^4-2x^2-8$, так как если раскрыть скобки в знаменателе первой дроби, то получим

$(x^2-4)(x^2+2)=x^4+2x^2-4x^2-8=x^4-2x^2-8$.

Умножив обе части уравнения на общий знаменатель, получим

$x^3=4x-3(x^2-4)$.

Раскрыв скобки, имеем

$x^3=4x-3x^2+12$, $x^3+3x^2-4x-12=0$.

Решаем полученное целое уравнение, используя разложение левой части на множители с помощью метода группировки. Тогда

$x^2(x+3)-4(x+3)=0$,

$(x+3)(x^2-4)=0$,

$(x+3)(x-2)(x+2)=0$.

Т.е.  уравнение $x^3+3x^2-4x-12=0$ имеет три корня:

$x_1=-3$, $x_2=2$, $x_3=-2$.

Проверим, не обращают ли найденные корни в нуль общий знаменатель дробей$x^4-2x^2-8$:

при $x=-3$ имеем $x^4-2x^2-8=(-3{)}^4-2·(-3{)}^2-8=55\ne 0$;

при $x=2$ имеем $x^4-2x^2-8=2^4-2·2^2-8=0$;

при $x=-2$ имеем $x^4-2x^2-8=(-2{)}^4-2·(-2{)}^2-8=0$.

Значит, исходное уравнение имеет единственный корень $x=-3$.

Ответ: -3.

Решить уравнение: 

$\frac{1}{x-6}+\frac{1}{x-4}=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-7}$.

Решение

Если перенести все выражения в левую часть и привести все к общему знаменателю, то получим большие преобразования, в которых легко допустить ошибку. Поэтому поищем другой способ решения.

Перенесем дробь $\frac{1}{x-4}$ в правую часть, а дробь $\frac{1}{x-7}$ в левую часть

$\frac{1}{x-6}-\frac{1}{x-7}=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-4}$

Приведем к общему знаменателю по отдельности правую и левую части:

$\frac{x-7-x+6}{(x-6)(x-7)}=\frac{x-4-x-2}{(x+2)(x-4)}$

Преобразуем правую и левую части 

$\frac{-1}{x^2-13x+42}=\frac{-6}{x^2-2x-8}$,

$\frac{1}{x^2-13x+42}=\frac{6}{x^2-2x-8}$.

Получим уравнение, которое можно решить с помощью основного свойства пропорции. Решим его

$6(x^2-13x+42)=x^2-2x-8$,

$5x^2-76x+260=0$,

$x_1=10$, $x_2=5,2$.

Корни уравнения $5x^2-76x+260=0$, не обращают в нуль никакой знаменатель исходного уравнения, т.е. $x_1=10$, $x_2=5,2$ - корни исходного уравнения.

Ответ:  $x_1=10$, $x_2=5,2$.

Решить уравнение: 

$\frac{1}{x^2-5x+7}=5x-x^2-5$.

Решение

Перенесем все слагаемые в одну сторону 

$\frac{1}{x^2-5x+7}+x^2-5x+5=0$

Введем переменную $y=x^2-5x$. Получим новое уравнение с новой переменной:

$\frac{1}{y+7}+y+5=0$.

Умножим полученное уравнение на $y+7$и решим целое уравнение:

$1+(y+5)(y+7)=0$,

$y^2+12y+36=0$,

$y_1=y_2=-6$.

Заметим, что решение $y=-6$не обращает в нуль знаменатель $y+7$для уравнения с новой переменной. Значит, можно делать обратную замену.

Обратная замена:

$x^2-5x=-6$.

Решением данного уравнения являются числа $x_1=2$ и $x_2=3$. Эти же корни являются решениями для исходного уравнения.

Ответ: 2; 3.

Решите уравнение:

1. $\frac{2x-3}{x}=\frac{3-2x}{2x^2-4x}$,
2. $\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x-3}$,
3. $\frac{x^2+4x-1}{x^2+4x-3}=1+\frac{1}{x^2+4x-4}$.