Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Решение неравенств методом интервалов

Решение уравнений и неравенств

08.12.2024
2423
0

Решение неравенств методом интервалов

План урока

  • Метод интервалов
  • Кратность точек
  • Алгоритм решения неравенств методом интервалов

Цели урока

  • Знать, в чем заключается метод интервалов для решения неравенств
  • Уметь решать неравенства методом интервалов

Разминка

  • Что произойдет со знаком неравенства, если обе его части умножить или разделить на одно и то же отрицательное число? Положительное число?
  • Что такое корни многочлена?
  • Какие способы разложения многочлена на множители вы знаете?

 

Метод интервалов

 

Одним из самых эффективных и универсальных методов решения неравенств является метод интервалов. 


Пример 1

Решите неравенство 2x-6x+5<0.


Решение

 

Рассмотрим функцию fx=2x-6x+5. Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел.

 

Найдем нули функции:

 

2x-6x+5=0

 

2x-6=0 или x+5=0,

 

x=3 или x=-5.

 

Отметим числа -5 и 3 на числовой прямой (рис. 1). Они разбили область определения функции на промежутки -; -5-5; 3 и 3; +

 

Определим знаки функции на каждом из получившихся промежутков. Для этого в каждый из множителей 2x-6 и x+5 подставим число из этого промежутка. Запишем результаты в таблицу.

 

(–∞; –5)

 (–5; 3) 

 (3; +∞) 

 2x – 6 

+

 x + 5 

+

+

 

Очевидно, что на промежутке -; -5 fx>0 (как произведение двух отрицательных выражений), на промежутке -5; 3 fx<0, на 3; + – fx>0.

 

Рис. 1. Решение неравенства (2x – 6)(x + 5) < 0

 

Выберем те промежутки, на которых функция принимает отрицательное значение, их объединение и будет являться решением неравенства: x-5; 3.

 

Ответ: -5; 3.


Видим, что в рассмотренном примере в каждом из промежутков -; -5(-5; 3)  и (3; +) функция сохраняет свой знак, а при переходе через нуль функции ее знак меняется.

 

Вообще, если функция имеет вид 

 

fx=x-x1x-x2(x-xn),

 

где x – переменная, x1x2, …, xn – некоторые числа, не равные друг другу, то эти числа являются нулями функции и разбивают область ее определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет свой знак, а при переходе через нуль – меняет. 

 

Это свойство используется для решения неравенств вида

 

x-x1x-x2x-xn<0,

 

x-x1x-x2x-xn>0,

 

где x1x2, …, xn – числа, не равные друг другу.


Пример 2

Решите неравенство:

 

(x+8)(x+3)(x-5)0.


Решение

Рис. 2. Решение неравенства
(x + 8)(x + 3)(x – 5) ≤ 0

Применим рассмотренное выше свойство чередования знаков функции.

 

Рассмотрим функцию fx=(x+8)(x+3)(x-5). Область определения – множество всех действительных чисел. Нули этой функции: x=-8x=-3x=5. Нанесем их на числовую прямую и определим знаки функции на каждом из получившихся промежутков. Для этого достаточно определить ее знак на одном их них, и, воспользовавшись свойством чередования функции, определить знаки на всех остальных. Удобнее брать крайний правый, в нем значения функции fx заведомо положительные, т. к. при значениях x, расположенных правее всех нулей функции каждый из множителей, входящих в функцию, положителен. То есть на (5; +) fx>0. Далее, двигаясь влево, меняем знаки fx на противоположные: на (-3; 5)  fx<0, на (-8; -3)  fx>0, на (-; -8) fx<0 (рис. 2).

 

Выберем промежутки, на которых функция не принимает положительных значений, их объединение и будет решением неравенства: x-; -8[-3; 5].

 

Ответ: -; -8[-3; 5].


Рассмотренный способ решения неравенства называют методом интервалов.


Упражнение 1

Решите неравенство:

 

1. x-1x+2x-30.

2. 5-x2x+3<0.


Пример 3

Решите неравенство:

 

12-4xx+1x-10.


Решение

 

Рассмотрим функцию fx=12-4xx+1x-1

 

Область определения функции 

 

x(-; -1)(-1; 1)(1; +).

 

Найдем нули функции: 12-4x=0x=3.

 

Отметим полученные точки на числовой прямой, получим четыре промежутка, на каждом из которых определим знак функции, используя свойство чередования знаков (рис. 3).

Рис. 3. Решение неравенства (12 – 4x) / ((x + 1)(x – 1)) ≥ 0

Видим, что решение неравенства: x-; -1(1; 3].

 

Ответ: -; -1(1; 3].


Упражнение 2

Решите неравенство:

 

1. 5x+14x+2-x-30.

2. 7x-2x+1<0.


Кратность точек

 

Метод интервалов включает в себя одну важную особенность. Дело в том, что чередовать знаки на промежутках можно не всегда. С этой особенностью связано понятие кратности точек.

 

Например, некоторое значение переменной x, равное a, может обращать в нуль и числитель, и знаменатель дроби; или выражение для функции разложено на множители, нулем одного из них является x=a, и он стоит в четной степени. Кратность точки, иными словами, означает сколько раз данная точка обратила в нуль функцию, или числитель выражения для функции, или знаменатель выражения для функции, или числитель и знаменатель выражения для функции.


Если кратность некоторой точки чётная, то знак функции при переходе через эту точку не меняется, другими словами, знаки функции справа и слева от этой точки должны совпадать.


Пример 4

Решите неравенство:

 

x-82x+93x-6<0.


Решение

 

Рассмотрим функцию fx=x-82x+93x-6.

 

Область определения этой функции – все числа, кроме x=-9 и x=6.

 

Найдем нули функции: x=8

 

Отметим все эти точки на числовой прямой. Получили четыре промежутка. Определим знаки функции на каждом из них.

 

Обратим внимание, что у точки x=8 кратность равна 2, значит, при переходе через нее функция свой знак не меняет (рис. 4).

Рис. 4. Решение неравенства (x – 8)2 / ((x + 9)2 (x – 6)) < 0

 

Выберем промежутки со знаком «–». Решение неравенства – интервал -9; 6.

 

Ответ: -9; 6.


Упражнение 3

Решите неравенство:

 

3x+13x+24-x+10.


Алгоритм решения неравенств методом интервалов

 

При решении рациональных неравенств методом интервалов нужно:

 

  1. все члены неравенства перенести в левую часть; если слева дробные рациональные выражения, привести их к общему знаменателю;
  2. найти область определения и нули функции левой части неравенства;
  3. нанести найденные точки на числовую прямую, разбивая ее при этом на промежутки, в каждом из которых рациональная функция непрерывна и сохраняет знак;
  4. определить знак функции на любом из промежутков (лучше, крайний правый);
  5. определить знаки на остальных промежутках: при переходе через точку знак меняется на противоположный, если точка встречается нечетное количество раз среди нулей функции или нулей числителя и знаменателя в случае дробного рационального выражения; при переходе через точку четной кратности знак сохраняется;
  6. множеством решения неравенства является объединение промежутков с соответствующим знаком функции. В случае нестрогого неравенства к этому множеству добавляются нули числителя (в случае дробного рационального выражения).


Контрольные вопросы

 

1. Какие неравенства можно решить с помощью метода интервалов?

2. На что влияет кратность точки при решении неравенства методом интервалов?


Ответы

Упражнение 1

 

1. -2; 1[3; +).     2. (-; -1,5)(5; +).

 

 

Упражнение 2

 

1. -3; -12[-15; +).    2. (-1; 27).

 

 

Упражнение 3

 

-; -2(-2; -13]1; +.

Предыдущий урок
Неравенства с двумя переменными
Решение уравнений и неравенств
Следующий урок
Целое уравнение и его корни
Решение уравнений и неравенств
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Уравнение прямой

    Геометрия

  • Равномерное движение по окружности. Угловая скорость. Период и частота вращения. Скорость и ускорение при равномерном движении по окружности

    Физика

  • Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии

    Алгебра

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке