Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Метод интервалов

Решение уравнений и неравенств

Решение неравенств методом интервалов

План урока

  1. Решение рациональных неравенств методом интервалов;
  2. Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов;
  3. Кратность корней.

Цели урока

  • Уметь решать рациональные неравенства;
  • Уметь решать дробно-рациональные неравенства;
  • Уметь определять кратность корней;
  • Знать, как применять кратность корней в методе интервалов.

Разминка

  • Что произойдет со знаком неравенства, если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число? Положительное число?
  • Что такое корни многочлена?
  • Какие способы разложения многочлена на множители существуют?

Решение рациональных неравенств методов интервалов

 

До сих пор мы имели дело с линейными и квадратными неравенствами с одной переменной, а мы должны уметь решать разные неравенства. Одним из самых эффективных и универсальных методов решения неравенств является метод интервалов. С помощью это метода можно решить рациональное или дробно-рациональное неравенство.

 

Начнем изучение метода интервалов с рациональных неравенств. С рациональными (или целыми) уравнениями вы уже знакомы. Дадим определение для рационального неравенства. 


Рациональным неравенством с одной переменной называют неравенство вида P(x)>0  или P(x)<0, где P(x)- многочлен стандартного вида.


Самый удобным способом решения рациональных уравнений P(x)=0 было разложение многочлена стандартного вида P(x)на множители. Поэтому прежде, чем решать рациональное неравенство вида P(x)>0 или P(x)<0, необходимо разложить многочлен P(x) на множители.


Чтобы решить рациональное неравенство P(x)>0 или P(x)<0, где P(x) - многочлен стандартного вида нужно:

1. найти корни многочлена P(x);

2. изобразить на числовой прямой получившиеся корни (корни разобьют прямую на интервалы);

3. определить знак многочлена P(x) на каждом получившемся интервале;

4. выбрать интервалы со знаком “+” для неравенства P(x)>0  или со знаком “-” для неравенства P(x)<0.


Обратим внимание на 3 пункт алгоритма. Чтобы определить знак на интервале, достаточно подставить в многочлен P(x)любое число, принадлежащее этому промежутку, и проверить, какого знака будет значение выражение: положительное (знак “+”) или отрицательное (знак  “-”). 

 

Вообще, достаточно определить знак лишь на одном интервале, а дальше чередовать знаки между собой.


Пример 1

Решить неравенство (2x-6)(x+5)<0.


Решение

 

1. Многочлен уже разложен на множители, поэтому приравняем к нулю выражение в левой части и найдем корни:

 

(2x-6)(x+5)=0

2x-6=0 или x+5=0,

x=3 или x=-5.

 

2. Отметим числа -5 и 3 на координатной прямой (рис.1). Они разбили прямую на промежутки (-;-5)(-5; 3) и (3; +)

3. Определим знак на самом правом промежутке (3; +). Для этого в выражение (2x-6)(x+5) подставим число из этого промежутка, например, x=4:

 

(2·4-6)(4+5)=18>0.

 

Получили положительное число, поэтому на самом правом промежутке знак “+”. Дальше идем влево и  чередуем знаки (рис. 1).

Рис. 1. Решение неравенства (2x-6)(x+5)<0 Рис. 1. Решение неравенства (2x-6)(x+5)<0

Выбираем промежутки со знаком “-”. Т.е. решение неравенства (2x-6)(x+5)<0 – промежуток (-5;  3).

Ответ: (-5;  3).


Упражнение 1

Решите неравенство:

  1. (x-1)(x+2)(x-3)0
  2. (5-x)(2x+3)<0


Решение дробно-рациональных неравенств методов интервалов

 

Определим алгоритм действий при решении дробно-рациональных неравенств.


Дробно-рациональным неравенством с одной переменной называют неравенство вида P(x)Q(x)>0 или P(x)Q(x)<0, где P(x)Q(x) - многочлены стандартного вида.


Наличие области определения у дробно-рационального неравенства – это важное его отличие от целого неравенства. Дробное неравенство содержит переменную в знаменателе, поэтому при решении всегда необходимо учитывать, что знаменатель не должен обраться в нуль, т.е. Q(x)0.

 

Значения переменной x, при которых числитель обращается в нуль будем называть  нули числителя , а значения x, при которых знаменатель равен нулю –  нули знаменателя . Причём, нули знаменателя выколоты всегда, а нули числителя – для строгих неравенств (содержащих знак  “>” или “<”).


Чтобы решить дробно-рациональное неравенство P(x)Q(x)>0 или P(x)Q(x)<0, где P(x)Q(x) - многочлен стандартного вида нужно:

1. найти нули числителя и знаменателя

2. изобразить на числовой прямой получившиеся нули (они разобьют прямую на интервалы);

3. определить знак выражения P(x)Q(x) на каждом получившемся интервале;

4. выбрать интервалы со знаком “+” для неравенства P(x)Q(x)>0 или со знаком “-” для неравенства P(x)Q(x)<0.


Точно также, как и для и целых неравенств, в пункте 3 достаточно определить знак на одном из интервалов, а дальше – чередовать их.


Пример 2

Решить неравенство:

 

12-4x(x+1)(x-1)0.


Решение

 

1. Найдем нули числителя. Для этого к нулю приравняем выражение 12-4x:

 

12-4x=0,x=3.

 

Найдем нули знаменателя. Для этого к нулю приравняем выражение (x+1)(x-1):

 

(x+1)(x-1)=0,

x+1=0x-1=0,

x=-1x=1.

 

2. Отметим число 3 на координатной прямой точкой, а числа -1 и 1 - выколотыми точками (рис.2). Они разбили прямую на промежутки (-; -1)(-1; 1) и [3; +)

3. Определим знак на самом правом промежутке [3; +). Для этого в выражение12-4x(x+1)(3x-1) подставим число из этого промежутка, например, x=5:

 

12-4·5(5+1)(3·5-1)=-221<0

 

Получили отрицательно число, поэтому на самом правом промежутке знак  “-”. Дальше идем влево по промежуткам и чередуем знаки (рис. 2).

Рис. 2. Решение неравенства Рис. 2. Решение неравенства

4. Выбираем промежутки со знаком “+”. Решение неравенства – промежутки (-;-1) и (1; 3].

Ответ: (-;-1)(1;3].


Упражнение 2

Решите неравенство:

 

  1. 5x+1(4x+2)(-x-3)0,
  2. 7x-2x+1<0.


Кратность корней

 

Метод интервалов включает в себя одну важную особенность. Дело в том, что чередовать знаки на промежутках можно не всегда. С этой особенностью связано понятие – кратность корня.


Кратность корня x=a некоторого выражения P(x), где P(x) - многочлен или дробно-рациональное выражение, - это число, показывающее сколько раз двучлен (x-a) входит в выражение P(x).


Например, некоторое значение переменной x=a может обращать в нуль и числитель, и знаменатель, или выражение, нулем которого является x=a, стоит во второй степени.  Это значит, что на координатную ось мы должны нанести его 2 раза. Но это сделать нельзя.  Такую проблему вызывают только четные корни. Для четных корней есть правило.


Если кратность корня чётная, то знак при переходе через этот корень не меняется, другими словами, знаки справа и слева от этого корня должны совпадать.


Рассмотрим, как учитывать кратность корней на примере.


Пример 3

Решить неравенство:

 

(x-8)2(x+9)3(x-6)<0.


Решение

 

1. Найдем нули числителя. Для этого к нулю приравняем выражение x-8:

 

x-8=0x=8.

 

При этом x=8 является чётным корнем.

Найдем нули знаменателя. Для этого к нулю приравняем выражение (x+9)3(x-6):

 

(x+9)3(x-6)=0,

x+9=0 или x-6=0,

x=-9 или x=6.

 

2. Отметим числа -9, 6 и 8 на координатной прямой выколотыми точками (рис.3). Они разбили прямую на промежутки (-;-9)(-9; 6)(6; 8) и (8; +).

3. Определим знак на самом правом промежутке (8; +). Для этого в выражение в левой части неравенства подставим, например, x=9:

 

(9-8)2(9+9)3(9-6)=114496>0

 

Получили положительное число, поэтому на самом правом промежутке знак “+”, Дальше чередуем, учитывая четность x=8, т.е. справа и слева от числа 8 знаки должны совпадать. (рис. 3).

Рис. 3. Решение неравенства Рис. 3. Решение неравенства

4. Выбираем промежутки со знаком “-”. Решение неравенства – промежуток (-9; 6).

Ответ: (-9; 6).


Упражнение 3

Решите неравенство:

(3x+1)3(x+2)4(-x+1)0.


Контрольные вопросы:

 

1. Какие неравенства можно решить с помощью метода интервалов?

2. Зачем в дробно-рациональном неравенстве разделять нули числителя и нули знаменателя?

3. Как определить кратность корня?

4. На что влияет кратность корня?


Ответы

Упражнение 1

 

  1. [-2; 1][3; +) 2. (-; -1.5)(5; +)

Упражнение 2

 

  1. (-3; -12)[-15; +) 2. (-1; 27)

Упражнение 3

(-; -2)(-2; -13](1; +)

Целое уравнение и его корни

Решение уравнений и неравенств
  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История