Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Решение неравенств второй степени с одной переменной

Решение уравнений и неравенств

28.03.2024
1619
0

Решение неравенств второй степени с одной переменной

План урока

  • Неравенства второй степени с одной переменной;
  • Алгоритм решения неравенств.

Цели урока

  • Знать определение неравенства второй степени с одной переменной,  алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной;
  • Уметь решать неравенства второй степени с одной переменной.

Разминка

  • Какие есть способы решения квадратных уравнений?
  • При каком условии квадратное уравнение не имеет корней?
  • При каком значении коэффициента a ветви параболы, графика квадратичной функции y=ax2+bx+c, направлены вверх?

Неравенства второй степени с одной переменной

 

В жизни вы часто сталкиваетесь со сравнениями: ценами в разных магазинах, доходов и расходов. Неравенства так же, как и уравнения, помогают решать важные задачи математики, экономики, практической жизнедеятельности. Например, в экономике есть зависимость прибыли от объема производства, и важно понимать, при каком объеме производства прибыль будет превышать издержки. Поэтому уметь решать неравенства также необходимо.

 

Одними из ключевых неравенств являются неравенства второй степени с одной переменной.


Неравенства вида ax2+bx+c>0 и ax2+bx+c<0, где x - переменная, ab и c - некоторые числа и a0 называют неравенствами второй степени с одной переменной.


Алгоритм решения неравенства второй степени

 

Вам известно, что решение любого неравенства, в отличии от решения уравнения, в основном, есть промежуток или несколько промежутков. Тогда решить неравенство вида ax2+bx+c>0 или ax2+bx+c<0 означает найти промежутки, где выражение ax2+bx+c принимает положительные или отрицательные значения.

 

Решение неравенства второй степени очень похоже на решение квадратного уравнения. Отличие состоит в том, что после нахождения корней квадратного трёхчлена, которые разбивают область определения на промежутки, необходимо выбрать нужные промежутки. Приведем алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.


Алгоритм решения неравенств вида ax2+bx+c>0 и ax2+bx+c<0

  1. Найти дискриминант квадратного трёхчлена ax2+bx+c и выяснить имеет ли трёхчлен корни.
  2. Если трёхчлен имеет корни, то отметить их на оси x и через них провести схематически параболу, ветви которой направлены вверх при a>0 или вниз при a<0 ; если трёхчлен не имеет корней, то схематически изобразить параболу, расположенную в верхней полуплоскости при a>0 или в нижней полуплоскости при a<0.
  3. Найти на оси x промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство ax2+bx+c>0) или ниже оси x, если решают неравенство ax2+bx+c<0.


Пример 1

Решить неравенство x2-3x+2>0.


Решение

 

1. Найдем корни трёхчлена x2-3x+2, для этого решим уравнение:

 

x2-3x+2=0,

D=(-3)2-4·1·2=1,

x1=3-12=1x2=3+12=2.

Рис. 1. Решение неравенства 
x2 – 3x + 2 > 0

 

2. Квадратный трёхчлен имеет два корня. Это значит, что парабола, заданная функцией y=x2-3x+2, пересекает ось x в двух точках, причём ветви параболы направлены вверх, так как a=1.

3. Изобразим эту параболу и отметим промежутки, на которых парабола находится в верхней полуплоскости.

По рисунку 1 видно, что парабола лежит выше оси xна промежутках (-; 1) и (2; +). Значит, решением неравенства является объединение этих промежутков, т.е. (-;1)(2; +).

 

Ответ: (-;1)(2; +).


По рисунку 1 также можно сделать вывод, что решением неравенства x2-3x+2<0, будет интервал 1;2, т.к. на этом промежутке парабола лежит ниже оси x.


Пример 2

Решить неравенство -x2+6x-9<0.


Решение

 

1. Найдем корни трёхчлена -x2+6x-9:

 

-x2+6x-9=0x2-6x+9=0

D=(-6)2-4·1·9=0

x=62=3.

Рис. 2 Решение неравенства 
-x2 + 6x - 9 < 0

2. Квадратный трёхчлен имеет один корень. Это значит, что парабола, заданная функцией y=-x2+6x-9, пересекает ось x в одной точке, ее ветви направлены вниз, так как a=-1.

Изобразим эту параболу и отметим промежутки, на которых парабола находится в нижней полуплоскости.

По рисунку 2 видно, что парабола лежит ниже оси xна промежутках (-; 3) и (3; +). Значит, решением неравенства является объединение этих промежутков, т.е. (-; 3)(3; +).

 

Ответ: (-; 3)(3; +).


Обратим внимание, что неравенство -x2+6x-9>0 не имеет решения, так как по рисунку 2 видно, что вся парабола лежит не выше оси x.


Пример 3

Решить неравенство 5x2+3x+2>0.


Решение

 

1. Найдем корни трёхчлена 5x2+3x+2:

 

5x2+3x+2=0,

D=(3)2-4·5·2=-31<0,

т.е. корней нет.

Рис. 3. Решение неравенства 5x2+3x+2>0

2. Квадратный трёхчлен не имеет корней. Это значит, что парабола, заданная функцией y=5x2+3x+2, не пересекает ось x. Её ветви направлены вверх, так как a=5.

3. Изобразим эту параболу и отметим промежутки, на которых парабола находится в верхней полуплоскости.

По рисунку 3 видно, что вся парабола лежит выше оси x. Значит, решение – множество всех действительных чисел. 

 

Ответ: x - любое число.


Заметим, что неравенство 5x2+3x+2<0 не имеет решения, так как по рисунку 3 видно, что вся парабола лежит выше оси x.


Упражнение

Решить неравенство:

  1. 2x2+5x-30
  2. -x2-5x-6>0
  3. 9x2-6x+10
  4. 2x2-5x+7<0


Контрольные вопросы:

 

1. Как решить неравенство второй степени с одной переменной?

2. Может ли неравенство второй степени с одной переменной не иметь решения? 

3. Чем отличается решение неравенства x2-3x+20 от решения неравенства x2-3x+2>0 из примера 1?


Ответы

Упражнение 

 

1. (-; -3][12; +). 2. -3; -2. 3. x=13.  4. нет решений

Предыдущий урок
Метод интервалов
Решение уравнений и неравенств
Следующий урок
Неравенства с двумя переменными
Решение уравнений и неравенств
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • М.Ю. Лермонтов. «Герой нашего времени». Главы «Бэла», «Максим Максимыч»

    Литература

  • Решение задач о движении связанных тел

    Физика

  • Альфа- и бета-распады. Правила смещения

    Физика

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке