Конспект урока: Неравенства с двумя переменными

Неравенства с двумя переменными

Неравенства играют фундаментальную роль в математике, без них не может обойтись большинство дисциплин, например, физика, экономика, математическая статистика. Неравенства встречаются как в классических разделах математики, таких, как геометрия, теория чисел, так и в современных ее разделах. Многие из результатов, касающихся неравенств, были получены и применены как вспомогательные средства в геометрии, физике или астрономии, а затем были снова открыты много лет спустя.

Неравенством с двумя переменными является любое из следующих неравенств:

$5x+3>y, x^2+3\le y, xy\ge 9, x^2+y^2<4$.

Если в неравенство $5x+3>y$ подставить вместо переменных значения $x=1$ и $y=5$, то оно обратится в верное числовое неравенство $5·1+3>5$ Получили, что пара чисел $(1; 5)$ является решением этого неравенства.

Графическое изображение решения неравенства с двумя переменными

Определим алгоритм изображения на координатной плоскости множества решений на примере неравенства $y+2x\le 3$. 

Все неравенства с одной переменной мы решали, используя соответствующие им уравнения. Тогда можно сделать вывод, что и для решения неравенств с двумя переменными также понадобится решение соответствующего уравнения с двумя переменными. 

Преобразуем неравенство к виду $y\le -2x+3$. График уравнения $y=-2x+3$, мы строить умеем. Построим прямую на координатной плоскости сплошной линией (аналогия с закрашенными точками), т. к. исходное неравенство нестрогое (рис. 1). Прямая разделила координатную плоскость на две части.

Рис. 1. Решение неравенства y+2x≤3

Проведем аналогию с решением неравенств с одной переменной. Вспомним, чтобы решить неравенство с одной переменной необходимо отметить все корни (нули) соответствующего ему уравнения, а после выбрать нужный промежуток. Следовательно, в случае неравенства с двумя переменными необходимо выбрать нужные области.

 

Вернемся к неравенству $y\le -2x+3$. Выберем в каждой области точку (рис. 1): в области I точку $А(2; 3)$ и в области II — $B(-2; 1)$. Подставим координаты обеих точек в неравенство и проверим какие из них обращают его в верное числовое неравенство. Получим:

$А(2; 3): 3\le -2·2+3$; $3\le -1$ — неверно;

$B(-2; 1): 1\le -2·(-2)+3$; $1\le 7$ — верно.

Проверка показала, что точка области II обращает неравенство $y\le -2x+3$ в верное числовое неравенство. Значит, область II является решением этого неравенства (на рис. 1 изображена голубым цветом).

Подведем итог и запишем алгоритм решения неравенства с двумя переменными.

Изобразите решение неравенства $xy>5$.

Решение:

Рис. 2. Решение неравенства xy>5

Построим в координатной плоскости график уравнения $xy=5$.

 

Графиком этого уравнения является гипербола, которая изображается пунктиром, так как неравенство строгое (рис. 2).

 

Гипербола разделила плоскость на три области. Выберем в каждой точку: в области I точку $А(2; 5)$, в области II — $B(1; 2)$ и в области III — $C(-5; -3)$.

 

Подставим координаты этих точек в исходное неравенство $xy>5$:

$А(2; 5): 2·5>5$ — верно;

$В(1; 2): 1·2>5$ — неверно;

$С(-5; -3): -5·(-3)>5$ — верно.

Получили, что области I и III являются решениями неравенства $xy>5$ (изображены на рис. 2 голубым цветом).

Изобразите решение неравенства $y\le -x^2+4x+5$.

Решение

Рис. 3. Решение неравенства y≤–x²+4x+5

Построим в координатной плоскости график уравнения $y=-x^2+4x+5$.

 

Графиком этого уравнения является парабола, которая изображается сплошной линией, так как неравенство нестрогое (рис. 3).

 

Парабола разделила плоскость на две области. Выберем в каждой точку: в области I (вне параболы) точку $А(6; 2)$, в области II (под параболой) — $B(2; -4)$.

Подставим координаты этих точек в исходное неравенство $y\le -x^2+4x+5$:

$А(6; 2): 2\le -6^2+4·6+5; 2\le -7$ — неверно;

$B(2; -4): -4\le -2^2+4·2+5; -4\le 9$ — верно.

Получили, что область II является решением неравенства $y\le -x^2+4x+5$ (изображена на рис. 3 голубым цветом).

1. Изобразите решение неравенства $y-x>1$.

2. Изобразите решение неравенства $xy\le 3$.

3. Изобразите решение неравенства $y-x^2<-3$.

1. Как изобразить решение неравенства с двумя переменными на координатной плоскости?

2. Входит ли прямая или кривая, являющаяся решением соответствующего уравнения, в область решения неравенства?

3. На какое максимальное количество областей можно разделить плоскость известными графиками функций?

Упражнение 1

1. 

2.

3.