Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Неравенства с двумя переменными

Решение уравнений и неравенств

25.02.2024
1485
0

Неравенство с двумя переменными

План урока

  • Неравенство с двумя переменными
  • Графическое изображение решения неравенства с двумя переменными
  • Примеры

Цели урока

  • Знать что называют решением неравенства с двумя переменными
  • Уметь находить решения неравенства с двумя переменными
  • Уметь графически изображать решение неравенства с двумя переменными

Разминка

  • Решите неравенство 2x+5>7
  • Решите неравенство x2-2x-30

Неравенства с двумя переменными

 

Неравенства играют фундаментальную роль в математике, без них не может обойтись большинство дисциплин, например, физика, экономика, математическая статистика. Неравенства встречаются как в классических разделах математики, таких, как геометрия, теория чисел, так и в современных ее разделах. Многие из результатов, касающихся неравенств, были получены и применены как вспомогательные средства в геометрии, физике или астрономии, а затем были снова открыты много лет спустя.

 

Неравенством с двумя переменными является любое из следующих неравенств:

 

5x+3>y,          x2+3y,          xy9,          x2+y2<4.

 

Если в неравенство 5x+3>y подставить вместо переменных значения x=1 и y=5, то оно обратиться в верное числовое неравенство 5×1+3>5 Получили, что пара чисел (1; 5) является решением этого неравенства.


Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство.


Графическое изображение решения неравенства с двумя переменными

 

Определим алгоритм изображения на координатной плоскости множества решений на примере неравенства y+2x3

 

Все неравенства с одной переменной мы решали, используя соответствующие им уравнения. Тогда можно сделать вывод, что и для решения неравенств с двумя переменными также понадобится решение соответствующего уравнения с двумя переменными. 

 

Преобразуем неравенство к виду y-2x+3. График уравнения y=-2x+3, мы строить умеем. Построим прямую на координатной плоскости сплошной линией (аналогия с закрашенными точками), т. к. исходное неравенство нестрогое (рис. 1). Прямая разделила координатную плоскость на две части.

Рис. 1. Решение неравенства y+2x≤3

Проведем аналогию с решением неравенств с одной переменной. Вспомним, чтобы решить неравенство с одной переменной необходимо отметить все корни (нули) соответствующего ему уравнения, а после выбрать нужный промежуток. Следовательно, в случае неравенства с двумя переменными необходимо выбрать нужные области.

 

Вернемся к неравенству y-2x+3. Выберем в каждой области точку (рис. 1): в области I точку А(2; 3) и в области II — B(-2; 1). Подставим координаты обеих точек в неравенство и проверим какие из них обращают его в верное числовое неравенство. Получим:

А(2; 3): 3-2·2+33-1 — неверно;

 

B(-2; 1): 1-2·(-2)+317 — верно.

 

Проверка показала, что точка области II обращает неравенство y-2x+3 в верное числовое равенство. Значит, область II является решением этого неравенства (на рис. 1 изображена голубым цветом).

 

Подведем итог и запишем алгоритм решения неравенства с двумя переменными.


Чтобы решить неравенство с двумя переменными нужно:

 

1. написать соответствующее уравнение с двумя переменными;

2. изобразить на координатной плоскости график этого уравнения (пунктиром для строгого неравенства, сплошной линией для нестрогого неравенства);

3. определить, какая область является решением исходного неравенства (подставить координаты точки, лежащей в конкретной области).


Пример 1

Изобразить решение неравенства xy>5.

 

Решение:

Рис. 2. Решение неравенства xy>5

Построим в координатной плоскости график уравнения xy=5.

 

Графиком этого уравнения является гипербола, которая изображается пунктиром, так как неравенство строгое (рис. 2).

 

Гипербола разделила плоскость на три области. Выберем в каждой точку: в области I точку А(2; 5), в области II — B(1; 2) и в области III — C(-5; -3).

 

Подставим координаты этих точек в исходное неравенство xy>5:

А(2; 5): 2·5>5 — верно;

 

В(1; 2): 1·2>5 — неверно;

 

С(-5; -3): -5·(-3)>5 — верно.

 

Получили, что области I и III являются решениями неравенства xy>5 (изображены на рис. 2 голубым цветом).


Пример 2

Изобразить решение неравенства y-x2+4x+5.

 

Решение

Рис. 3. Решение неравенства y≤–x2+4x+5

Построим в координатной плоскости график уравнения y=-x2+4x+5.

 

Графиком этого уравнения является парабола, которая изображается сплошной линией, так как неравенство нестрогое (рис. 3).

 

Парабола разделила плоскость на две области. Выберем в каждой точку: в области I (вне параболы) точку А(6; 2), в области II (под параболой) — B(2; -4).

Подставим координаты этих точек в исходное неравенство y-x2+4x+5:

 

А(6; 2): 2-62+4·6+5, 2-7 — неверно;

 

B(2; -4): -4-22+4×2+5, -49 — верно.

 

Получили, что область II является решениями неравенства y-x2+4x+5 (изображена на рис. 3 голубым цветом).


Упражнение 1

1. Изобразить решение неравенства y-x>1.

2. Изобразить решение неравенства xy3.

3. Изобразить решение неравенства y-x2<-3.


Контрольные вопросы

1. Как изобразить решение неравенства с двумя переменными на координатной плоскости?

2. Входит ли прямая или кривая, являющаяся решением соответствующего уравнения, в область решения неравенства?

3. На какое максимальное количество областей можно разделить плоскость известными графиками?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 

 

2.

 

3.


Предыдущий урок
Целое уравнение и его корни
Решение уравнений и неравенств
Следующий урок
Уравнение с двумя переменными и его график
Решение уравнений и неравенств
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Моделирование как метод познания

    Информатика

  • Свойства функций

    Алгебра

  • Политические партии и движения

    Обществознание

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке