- Дробные рациональные уравнения;
- Алгоритм решения дробных рациональных уравнений;
- Примеры решений.
- Знать алгоритм решения дробных рациональных уравнений;
- Уметь находить решения для дробных рациональных уравнений.
- Что такое пропорция?
- Назовите основное свойство пропорции
- Решите уравнение .
Дробное рациональное уравнение
Следующий тип уравнений, который необходимо уметь решать, — это дробные рациональные уравнения. С простейшими примерами дробных рациональных уравнений вы уже встречались. Вспомним какие уравнения являются таковыми.
Дробным рациональным уравнением называется уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, причём хотя бы одно из них – дробным выражением.
Каждое из следующих уравнений является дробным рациональным.
, , .
Алгоритм решения дробных рациональных уравнений
При решении дробных рациональных уравнений, как вам известно, обычно поступают следующим образом:
1. находят общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2. умножают обе части уравнения на этот знаменатель;
3. решают получившееся целое уравнение;
4. исключают из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель дробей.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
Решить уравнение:
.
Решение
Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, равен , так как если раскрыть скобки в знаменателе первой дроби, то получим
.
Умножив обе части уравнения на общий знаменатель, получим
.
Раскрыв скобки, имеем
, .
Решаем полученное целое уравнение, используя разложение левой части на множители с помощью метода группировки. Тогда
,
,
.
Т.е. уравнение имеет три корня:
, , .
Проверим не обращают ли найденные корни в нуль общий знаменатель дробей:
;
;
.
Значит, исходное уравнение имеет единственный корень .
Ответ: -3.
Пример 2
Решить уравнение:
.
Решение
Если перенести все выражения в левую часть и привести все к общему знаменателю, то получим большие преобразования, в которых легко допустить ошибку. Поэтому поищем другой способ решения.
Перенесем дробь в правую часть, а дробь в левую часть
Приведем к общему знаменателю по отдельности правую и левую части:
Преобразуем правую и левую части
,
.
Получим уравнение, которое можно решить с помощью основного свойства пропорции. Решим его
,
,
, .
Корни уравнения , не обращают в нуль никакой знаменатель исходного уравнения, т.е. , - корни исходного уравнения.
Ответ: , .
Пример 3
Решить уравнение:
.
Решение
Перенесем все слагаемые в одну сторону
Введем переменную . Получим новое уравнение с новой переменной:
.
Умножим полученное уравнение на и решим целое уравнение:
,
,
.
Заметим, что решение не обращает в нуль знаменатель для уравнения с новой переменной. Значит, можно делать обратную замену.
Обратная замена:
.
Решением данного уравнения являются числа и . Эти же корни являются решениями для исходного уравнения.
Ответ: 2; 3.
Упражнение 1
Решите уравнение:
- ,
- ,
- .
Контрольные вопросы:
1. Как решить дробное рациональное уравнение?
2. Зачем нужно делать проверку после нахождения корней?
Упражнение 1
1. 1,5. 2. 0; 6. 3. -5; 1.