Метод интервалов | Алгебра 9 класс

Решение неравенств методом интервалов

План урока

Решение целых рациональных неравенств методом интервалов
Решение дробных рациональных неравенств методом интервалов
Кратность корней

Цели урока

Уметь решать целые рациональные неравенства
Уметь решать дробные рациональные неравенства
Уметь определять кратность корней
Знать, как применять кратность корней в методе интервалов

Разминка

Что произойдет со знаком неравенства, если обе его части умножить или разделить на одно и то же отрицательное число? Положительное число?
Что такое корни многочлена?
Какие способы разложения многочлена на множители вы знаете?

Решение целых рациональных неравенств методом интервалов

До сих пор мы имели дело с линейными и квадратными неравенствами с одной переменной, а мы должны уметь решать разные неравенства. Одним из самых эффективных и универсальных методов решения неравенств является метод интервалов. С помощью это метода можно решить целое рациональное или дробное рациональное неравенство.

Начнем изучение метода интервалов с целых рациональных неравенств. С целыми рациональными уравнениями вы уже знакомы. Дадим определение для целого рационального неравенства.

Целым рациональным неравенством с одной переменной называют неравенство вида $P (x) > 0$ или $P (x) < 0$ , где $P (x)$ — многочлен стандартного вида.

Самым удобным способом решения целых рациональных уравнений $P (x) = 0$ было разложение многочлена стандартного вида $P (x)$ на множители. Поэтому прежде, чем решать целое рациональное неравенство вида $P (x) > 0$ или $P (x) < 0$ , необходимо разложить многочлен $P (x)$ на множители.

Чтобы решить целое рациональное неравенство $P (x) > 0$ или $P (x) < 0$ , где $P (x)$ — многочлен стандартного вида нужно:

найти корни многочлена $P (x)$ ;
изобразить на координатной прямой получившиеся корни (корни разобьют прямую на промежутки);
определить знак многочлена $P (x)$ на каждом получившемся промежутке;
выбрать промежутки со знаком " + " для неравенства $P (x) > 0$ или со знаком " − " для неравенства $P (x) < 0$ .

Обратим внимание на пункт 3 алгоритма. Чтобы определить знак на промежутке, достаточно подставить в многочлен $P (x)$ любое число, принадлежащее этому промежутку, и проверить, какого знака будет значение выражение: положительное (знак " + ") или отрицательное (знак " − ").

Вообще, достаточно определить знак лишь на одном промежутке, а дальше чередовать знаки между собой.

Пример 1

Решите неравенство $(2 x - 6) (x + 5) < 0$ .

Решение

1. Многочлен уже разложен на множители, поэтому приравняем к нулю выражение в левой части и найдем корни:

$(2 x - 6) (x + 5) = 0$

$2 x - 6 = 0$ или $x + 5 = 0$ ,

$x = 3$ или $x = - 5$ .

2. Отметим числа $- 5$ и $3$ на координатной прямой (рис. 1). Они разбили прямую на промежутки $(- \infty; - 5)$ , $(- 5; 3)$ и $(3; + \infty)$ .

3. Определим знак на самом правом промежутке $(3; + \infty)$ . Для этого в выражение $(2 x - 6) (x + 5)$ подставим число из этого промежутка, например, $x = 4 :$

$(2 \cdot 4 - 6) (4 + 5) = 18 > 0$ .

Получили положительное число, поэтому на самом правом промежутке ставим знак " + ". Дальше идем влево и чередуем знаки (рис. 1)

Рис. 1. Решение неравенства (2x − 6)(x + 5) < 0

4. Выбираем промежутки со знаком " − ". Решение неравенства $(2 x - 6) (x + 5) < 0$ — промежуток $(- 5; 3)$ .

Ответ: $(- 5; 3)$ .

Упражнение 1

Решите неравенство:

1. $(x - 1) (x + 2) (x - 3) \geq 0$

2. $(5 - x) (2 x + 3) < 0$

Решение дробных рациональных неравенств методом интервалов

Определим алгоритм действий при решении дробных рациональных неравенств.

Дробным рациональным неравенством с одной переменной называют неравенство вида $\frac{P (x)}{Q (x)} > 0$ или $\frac{P (x)}{Q (x)} < 0$ , где $P (x)$ , $Q (x)$ — многочлены стандартного вида.

Наличие области определения у дробного рационального неравенства — это важное его отличие от целого неравенства. Дробное неравенство содержит переменную в знаменателе, поэтому при решении всегда необходимо учитывать, что знаменатель не должен обраться в нуль, т. е. $Q (x) \neq 0$ .

Значения переменной $x$ , при которых числитель обращается в нуль будем называть нули числителя , а значения $x$ , при которых знаменатель равен нулю — нули знаменателя . Причём, нули знаменателя выколоты всегда, а нули числителя — для строгих неравенств (содержащих знак " > " или " < ").

Чтобы решить дробное рациональное неравенство $\frac{P (x)}{Q (x)} > 0$ или $\frac{P (x)}{Q (x)} < 0$ , где $P (x)$ , $Q (x)$ — многочлены стандартного вида нужно:

найти нули числителя и знаменателя;
изобразить на координатной прямой получившиеся нули (они разобьют прямую на промежутки);
определить знак выражения $\frac{P (x)}{Q (x)}$ на каждом получившемся промежутке;
выбрать промежутки со знаком " + " для неравенства $\frac{P (x)}{Q (x)} > 0$ или со знаком " − " для неравенства $\frac{P (x)}{Q (x)} < 0$

Точно также, как и для целых неравенств, в пункте 3 достаточно определить знак на одном из промежутков, а дальше — чередовать их.

Пример 2

Решите неравенство: $\frac{12 - 4 x}{(x + 1) (x - 1)} \geq 0$ .

Решение

1. Найдем нули числителя. Для этого к нулю приравняем выражение $12 - 4 x$ :

$12 - 4 x = 0$ ,

$x = 3$ .

Найдем нули знаменателя. Для этого к нулю приравняем выражение $(x + 1) (x - 1)$ :

$(x + 1) (x - 1) = 0$

$x + 1 = 0$ $x - 1 = 0$

$x = - 1$ $x = 1$ .

2. Отметим число $3$ на координатной прямой точкой, а числа $- 1$ и $1$ — выколотыми точками (рис. 2). Они разбили прямую на промежутки $(- \infty; - 1)$ , $(- 1; 1)$ , $(1; 3]$ и $[3; + \infty)$ .

3. Определим знак на самом правом промежутке $[3; + \infty)$ . Для этого в выражение $\frac{12 - 4 x}{(x + 1) (x - 1)}$ подставим число из этого промежутка, например, $x = 5$ :

$\frac{12 - 4 \cdot 5}{(5 + 1) (5 - 1)} = - \frac{1}{3} < 0$

Получили отрицательное число, поэтому на самом правом промежутке ставим знак " − ". Дальше идем влево по промежуткам и чередуем знаки (рис. 2).

^{Рис. 2. Решение неравенства} $\frac{12 - 4 x}{(x + 1) (x - 1)} \geq 0$

4. Выбираем промежутки со знаком " + ". Решение неравенства — промежутки $(- \infty; - 1)$ и $(1; 3]$ .

Ответ: $(- \infty; - 1) \cup (1; 3]$ .

Упражнение 2

Решите неравенство:

1. $\frac{5 x + 1}{(4 x + 2) (- x - 3)} \leq 0$ , 2. $\frac{7 x - 2}{x + 1} < 0$

Кратность корней

Метод интервалов включает в себя одну важную особенность. Дело в том, что чередовать знаки на промежутках можно не всегда. С этой особенностью связано понятие — кратность корня.

Кратность корня $x = a$ некоторого выражения $P (x)$ , где $P (x)$ — многочлен или дробное рациональное выражение, — это число, показывающее сколько раз двучлен $(x - a)$ входит в выражение $P (x)$ .

Например, некоторое значение переменной $x$ , равное $a$ , может обращать в нуль и числитель, и знаменатель, или выражение, нулем которого является $x = a$ , стоит в четной степени.

Если кратность корня чётная, то знак при переходе через этот корень не меняется, другими словами, знаки справа и слева от этого корня должны совпадать.

Рассмотрим, как учитывать кратность корней на примере.

Пример 3

Решите неравенство: $\frac{{(x - 8)}^{2}}{{(x + 9)}^{3} (x - 6)} < 0$

Решение

1. Найдем нули числителя. Для этого к нулю приравняем выражение $x - 8$ :

$x - 8 = 0$ , $x = 8$ .

При этом $x = 8$ является корнем четной кратности. Найдем нули знаменателя. Для этого к нулю приравняем выражение ${(x + 9)}^{3} (x - 6)$ :

${(x + 9)}^{3} (x - 6) = 0$ ,

$x + 9 = 0$ или $x - 6 = 0$ ,

$x = - 9$ или $x = 6$ .

2. Отметим числа $- 9$ , $6$ и $8$ на координатной прямой выколотыми точками (рис. 3). Они разбили прямую на промежутки $(- \infty; - 9)$ , $(- 9; 6)$ , $(6; 8)$ и $(8; + \infty)$ .

3. Определим знак на самом правом промежутке $(8; + \infty)$ . Для этого в выражение в левой части неравенства подставим, например, $x = 9$ :

$\frac{{(9 - 8)}^{2}}{{(9 + 9)}^{3} (9 - 6)} = \frac{1}{17496} > 0$

Получили положительное число, поэтому на самом правом промежутке пишем знак " + ". Дальше чередуем, учитывая кратность нуля $x = 8$ , т. е. справа и слева от числа $8$ знаки должны совпадать. (рис. 3).

^{Рис. 3. Решение неравенства} $\frac{{(x - 8)}^{2}}{{(x + 9)}^{3} (x - 6)} < 0$

4. Выбираем промежутки со знаком " − ". Решение неравенства — промежуток $(- 9; 6)$ .

Ответ: $(- 9; 6)$ .

Упражнение 3

Решите неравенство: $\frac{{(3 x + 1)}^{3}}{{(x + 2)}^{4} (- x + 1)} \leq 0$ .

Контрольные вопросы

1. Какие неравенства можно решить с помощью метода интервалов?

2. Зачем в дробном рациональном неравенстве разделять нули числителя и нули знаменателя?

3. Как определить кратность корня?

4. На что влияет кратность корня?

Ответы

Упражнение 1

1. $[- 2; 1] \cup [3; + \infty)$ . 2. $(- \infty; - 1, 5) \cup (5; + \infty)$

Упражнение 2

1. $(- 3; - \frac{1}{2}) \cup [- \frac{1}{5}; + \infty)$ . 2. $(- 1; \frac{2}{7})$ .

Упражнение 3

$(- \infty; - 2) \cup (- 2; - \frac{1}{3}] \cup (1; + \infty)$ .

Конспект урока: Метод интервалов

Решение уравнений и неравенств