Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Метод интервалов

Решение уравнений и неравенств

Решение неравенств методом интервалов

План урока

  • Решение целых рациональных неравенств методом интервалов
  • Решение дробных рациональных неравенств методом интервалов
  • Кратность корней

Цели урока

  • Уметь решать целые рациональные неравенства
  • Уметь решать дробные рациональные неравенства
  • Уметь определять кратность корней
  • Знать, как применять кратность корней в методе интервалов

Разминка

  • Что произойдет со знаком неравенства, если обе его части умножить или разделить на одно и то же отрицательное число? Положительное число?
  • Что такое корни многочлена?
  • Какие способы разложения многочлена на множители вы знаете?

 

 

Решение целых рациональных неравенств методом интервалов 

 

До сих пор мы имели дело с линейными и квадратными неравенствами с одной переменной, а мы должны уметь решать разные неравенства. Одним из самых эффективных и универсальных методов решения неравенств является метод интервалов. С помощью это метода можно решить целое рациональное или дробное рациональное неравенство. 

 

Начнем изучение метода интервалов с целых рациональных неравенств. С целыми рациональными уравнениями вы уже знакомы. Дадим определение для целого рационального неравенства.  


Целым рациональным неравенством с одной переменной называют неравенство вида P(x)>0 или P(x)<0, где P(x) — многочлен стандартного вида. 


Самым удобным способом решения целых рациональных уравнений P(x)=0 было разложение многочлена стандартного вида P(x) на множители. Поэтому прежде, чем решать целое рациональное неравенство вида P(x)>0 или P(x)<0, необходимо разложить многочлен P(x) на множители. 


Чтобы решить целое рациональное неравенствоP(x)>0 или P(x)<0, где P(x) — многочлен стандартного вида нужно: 

  1. найти корни многочлена P(x);
  2. изобразить на координатной прямой получившиеся корни (корни разобьют прямую на промежутки);
  3. определить знак многочлена P(x) на каждом получившемся промежутке;
  4. выбрать промежутки со знаком " + " для неравенства P(x)>0 или со знаком " − " для неравенства P(x)<0.


Обратим внимание на пункт 3 алгоритма. Чтобы определить знак на промежутке, достаточно подставить в многочлен P(x) любое число, принадлежащее этому промежутку, и проверить, какого знака будет значение выражение: положительное (знак " + ") или отрицательное (знак " − "). 

 

Вообще, достаточно определить знак лишь на одном промежутке, а дальше чередовать знаки между собой. 


Пример 1 

 

Решите неравенство (2x-6)(x+5)<0


Решение 

 

1. Многочлен уже разложен на множители, поэтому приравняем к нулю выражение в левой части и найдем корни: 

 

(2x-6)(x+5)=0

2x-6=0 или x+5=0

x=3 или x=-5

 

2. Отметим числа -5 и 3 на координатной прямой (рис. 1). Они разбили прямую на промежутки -; -5-5; 3 и 3; +

 

3. Определим знак на самом правом промежутке 3; +. Для этого в выражение 2x-6x+5 подставим число из этого промежутка, например, x=4: 

 

2·4-64+5=18>0

 

Получили положительное число, поэтому на самом правом промежутке ставим знак " + ". Дальше идем влево и чередуем знаки (рис. 1) 

 

Рис. 1. Решение неравенства (2x − 6)(x + 5) < 0 Рис. 1. Решение неравенства (2x − 6)(x + 5) < 0

 

4. Выбираем промежутки со знаком " − ". Решение неравенства 2x-6x+5<0 — промежуток -5; 3. 

 

Ответ: -5; 3


Упражнение 1 

 

Решите неравенство: 

                    1. x-1x+2x-30

                    2. 5-x2x+3<0


Решение дробных рациональных неравенств методом интервалов 

 

Определим алгоритм действий при решении дробных рациональных неравенств. 


Дробным рациональным неравенством с одной переменной называют неравенство вида P(x)Qx>0 или PxQx<0, где P(x)Qx — многочлены стандартного вида. 


Наличие области определения у дробного рационального неравенства — это важное его отличие от целого неравенства. Дробное неравенство содержит переменную в знаменателе, поэтому при решении всегда необходимо учитывать, что знаменатель не должен обраться в нуль, т. е. Qx0

 

Значения переменной x, при которых числитель обращается в нуль будем называть нули числителя , а значения x, при которых знаменатель равен нулю — нули знаменателя . Причём, нули знаменателя выколоты всегда, а нули числителя — для строгих неравенств (содержащих знак " > " или " < "). 


Чтобы решить дробное рациональное неравенство PxQx>0 или PxQx<0, где PxQx  — многочлены стандартного вида нужно: 

  1. найти нули числителя и знаменателя;
  2. изобразить на координатной прямой получившиеся нули (они разобьют прямую на промежутки);
  3. определить знак выражения PxQx на каждом получившемся промежутке;
  4. выбрать промежутки со знаком  " + " для неравенства PxQx>0 или со знаком  " − " для неравенства PxQx<0


Точно также, как и для целых неравенств, в пункте 3 достаточно определить знак на одном из промежутков, а дальше — чередовать их. 


Пример 2 

 

Решите неравенство: 12-4xx+1x-10.


Решение 

 

1. Найдем нули числителя. Для этого к нулю приравняем выражение 12-4x

 

12  4x = 0

 

x = 3

 

Найдем нули знаменателя. Для этого к нулю приравняем выражение (x + 1)(x  1)

 

x+1x-1=0

 

x+1=0          x-1=0

 

x=-1             x=1.

 

2. Отметим число 3 на координатной прямой точкой, а числа -1 и 1 — выколотыми точками (рис. 2). Они разбили прямую на промежутки -; -1-1; 1(1; 3] и [3; +).

 

3. Определим знак на самом правом промежутке [3; +). Для этого в выражение 12-4xx+1x-1 подставим число из этого промежутка, например, x=5

 

12-4·55+15-1=-13<0

 

Получили отрицательное число, поэтому на самом правом промежутке ставим знак " − ". Дальше идем влево по промежуткам и чередуем знаки (рис. 2). 

 

Рис. 2. Решение неравенства 12-4xx+1x-10

 

4. Выбираем промежутки со знаком " + ". Решение неравенства — промежутки -; -1 и (1; 3]. 

 

Ответ: -; -1(1; 3]


Упражнение 2 

 

Решите неравенство: 

                    1. 5x+14x+2-x-30,                2. 7x-2x+1<0


Кратность корней


Метод интервалов включает в себя одну важную особенность. Дело в том, что чередовать знаки на промежутках можно не всегда. С этой особенностью связано понятие — кратность корня.


Кратность корня  x=a некоторого выражения P(x), где P(x) — многочлен или дробное рациональное выражение, — это число, показывающее сколько раз двучлен x-a входит в выражение Px


Например, некоторое значение переменной x, равное a, может обращать в нуль и числитель, и знаменатель, или выражение, нулем которого является x=a, стоит в четной степени.  


Если кратность корня чётная, то знак при переходе через этот корень не меняется, другими словами, знаки справа и слева от этого корня должны совпадать. 


Рассмотрим, как учитывать кратность корней на примере. 


Пример 3 

 

Решите неравенство: x-82x+93x-6<0


Решение 

 

1. Найдем нули числителя. Для этого к нулю приравняем выражение x-8:

 

 x-8=0x=8

 

При этом x=8 является корнем четной кратности. Найдем нули знаменателя. Для этого к нулю приравняем выражение (x + 9)3x  6

 

(x + 9)3x  6 = 0

 

x + 9 = 0 или x  6 = 0

 

x =9 или x = 6

 

2. Отметим числа -96 и 8 на координатной прямой выколотыми точками (рис. 3). Они разбили прямую на промежутки -; -99; 6(6; 8) и (8; +)

 

3. Определим знак на самом правом промежутке (8; +). Для этого в выражение в левой части неравенства подставим, например, x = 9

 

9-829+939-6=117496>0

 

Получили положительное число, поэтому на самом правом промежутке пишем знак " + ". Дальше чередуем, учитывая кратность нуля x = 8, т. е. справа и слева от числа 8 знаки должны совпадать. (рис. 3). 

 

Рис. 3. Решение неравенства x-82x+93x-6<0

 

4. Выбираем промежутки со знаком " − ". Решение неравенства — промежуток 9; 6. 

 

Ответ: (9; 6)


Упражнение 3 

 

Решите неравенство: 3x+13x+24-x+10.


Контрольные вопросы 

 

1. Какие неравенства можно решить с помощью метода интервалов?

2. Зачем в дробном рациональном неравенстве разделять нули числителя и нули знаменателя?

3. Как определить кратность корня?

4. На что влияет кратность корня?


Ответы

Упражнение 1 

 

1. -2; 1[3;+).       2. (; 1,5)  (5; +)

 

 

Упражнение 2

 

1. -3; -12[-15; +).       2. -1; 27.

 

 

Упражнение 3

 

-; -2(-2; -13]1; +.


Предыдущий урок
Квадратные неравенства
Решение уравнений и неравенств
Следующий урок
Уравнение с двумя переменными и его график
Решение уравнений и неравенств
  • Локальные и глобальные компьютерные сети

    Информатика

  • Synonyms. Синонимы

    Английский язык

  • Обмен веществ и энергии: энергетический обмен

    Биология

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке