Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Целое уравнение и его корни

Решение уравнений и неравенств

24.02.2024
2354
0

Целое уравнение и его корни

План урока

  • Целое уравнение;
  • Уравнения первой и второй степени;
  • Методы решения уравнений третьей степени и более.

Цели урока

  • Знать, что такое целое уравнение;
  • Знать методы решения целых уравнений;
  • Уметь решать целые уравнения.

Разминка

  • Решите уравнение 3x-12=6
  • Решите уравнение x2+4x-21=0
  • Можно ли решить уравнение x2+9=0?

Целое уравнение

 

Уравнения – очень мощный инструмент для решения задач. В школе, как правило, работают с текстовыми задачами. Это задачи на движение, на работу, на проценты и многие-многие другие. Однако применение уравнений не ограничивается одними лишь школьными задачами. Без умения составлять и решать уравнения не решить ни одной серьёзной научной задачи - физической, инженерной или экономической. Например, рассчитать, куда попадёт ракета. Или ответить на вопрос, выдержит или не выдержит нагрузку ответственная конструкция (лифт или мост). Или спрогнозировать погоду, рост (или падение) цен или доходов. В общем, уравнение – ключевая фигура в решении самых разнообразных вычислительных задач.

 

Поэтому необходимо научиться решать уравнения. Некоторые типы уравнений вы уже умеете решать: линейные и квадратные. Эти уравнения являются частными случаями целого уравнения.


Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.


Каждое из следующих уравнений является целым:

 

(2x2+1)2=3x-1,

3x+1=7x-12,

x2-x3=5.

 

А вот такие уравнения не являются целыми:

 

17xx-1=2,

12x+31=x.

 

Преобразуем уравнение (2x2+1)2=3x-1. Для этого раскроем скобки, перенесём все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые. Получим

 

4x4+4x2+1-3x+1=0,

4x4+4x2-3x+2=0.

 

Выполним те же преобразования в уравнении x2-x3=5, умножив предварительно обе его части на 2:

 

x-2x3=10,

-2x3+x-10=0.

 

Выполняя преобразования, мы привели каждое из уравнений к виду P(x)=0, где P(x) – многочлен стандартного вида. По сути, мы заменили оба уравнения на равносильные им уравнения вида P(x)=0. Такие преобразования можно сделать с любым целым уравнением.  


Если уравнение с одной переменной записано в виде P(x)=0, где P(x) - многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения .

 

Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида P(x)=0,  где P(x) - многочлен стандартного вида.


Пример 1

Определите степень уравнения (x2+3x)2-3x3=(2x-1)2.


Решение

 

Чтобы определить степень этого уравнения, необходимо привести его к виду  P(x)=0,  где P(x) – многочлен стандартного вида.

 

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые:

 

x4+6x3+9x2-3x3=4x2-4x+1

x4+6x3+9x2-3x3-4x2+4x-1=0

x4+3x3+5x2+4x-1=0

 

Тогда получили, что P(x)=x4+3x3+5x2+4x-1. Степень этого многочлена равна 4. Значит, и степень уравнения равна 4.

 

Ответ: 4.


Упражнение 1

Определите степень уравнения:

 

  1. 3x5-(3-6x)3=2-5x3
  2. (x-1)3+(x-1)2=x-12


Уравнения первой и второй степени

 

Уравнение первой степени можно привести к виду ax+b=0, где x – переменная, a и b – некоторые числа, причем a0. Знаем, что при a0 корнем этого уравнения является x=-ba. Каждое уравнение первой степени имеет один корень.

 

Уравнение второй степени можно привести к виду квадратного уравнения ax2+bx+c=0, где x – переменная, abc – некоторые числа, причем a0. Количество корней такого уравнения зависит от значения дискриминанта D=b2-4ac:

 

  • если D>0, то уравнение имеет два корня;
  • если D=0, то уравнение имеет один корень;
  • если D<0, то уравнение не имеет корней.

 

Корни квадратного уравнения при D0 можно найти с помощью формулы 

 

x=-b±D2a.


Упражнение 2

  1. Решите уравнение: 3(x-2)+4=2(4-x)-2
  2. Решите уравнение: (x-2)2=9


Методы решения уравнений третьей степени и более

 

Уравнения третьей степени можно привести к виду 

 

ax3+bx2+cx+d=0,

 

уравнение четвёртой степени – к виду

 

ax4+bx3+cx2+dx+e=0

 

и т.д., где abc … - некоторые числа, причём a0. При этом любое уравнение 
n-й степени не может иметь более n корней.

 

Уравнения, степень которых больше двух, либо имеют громоздкие формулы корней (например, уравнения третьей и четвертой степеней), либо не имеют совсем. Часто удается решить эти уравнения с помощью какого-либо специального приема.

 

Рассмотрим метод разложения многочлена на множители (метод группировки) на примере.


Пример 2

Решить уравнение x3-4x2-x+4=0.


Решение

 

Выполним группировку первого слагаемого со вторым, третьего с четвертым. У первой пары вынесем за скобку x2, а у второй -1. Получим:

 

x2(x-4)-(x-4)=0,

(x-4)(x2-1)=0.

 

Выражение (x2-1) можно разложить на множители, воспользовавшись формулой разности квадратов a2-b2=(a-b)(a+b), тогда получим

 

(x-4)(x-1)(x+1)=0.

 

Отсюда:

 

x-4=0, или x-1=0, или x+1=0.

 

Получили:

 

x1=4x2=1x3=-1.

 

Ответ: -1; 1; 4.


Теперь рассмотрим примеры, которые решим с помощью метода замены.


Пример 3

Решить уравнение (x2+2x-2)(x2+2x+4)=7.


Решение

 

Обычные преобразования приведут нас к сложному уравнению четвертой степени:

 

x4+4x3+6x2+4x-15=0.

 

Заметим, что обе скобки уравнения имеют одинаковое выражение x2+2x. Тогда это выражение можно обозначить за новую переменную y:

 

y=x2+2x

 

Получим уравнение с переменной y:

 

(y-2)(y+4)=7

 

Приведем уравнение к виду P(x)=0:

 

y2+4y-2y-8-7=0,

y2+2y-15=0.

 

Имеем квадратное уравнение, корнями которого являются:

 

y1=-5y2=3.

 

Возвращаясь к переменной x, получим два квадратных уравнения:

 

x2+2x=-5,x2+2x=3.

 

Решая оба уравнения, получим, что x2+2x+5=0 не имеет корней, а уравнение x2+2x-3=0 имеет два корня:

 

x1=1x2=-3.

 

Тогда x1=1x2=-3   также корни исходного уравнения (x2+2x-2)(x2+2x+4)=7.

 

Ответ: -3; 1.


Метод введения новой переменной является достаточно универсальным способом решения разных уравнений. С его помощью можно решить уравнение вида ax4+bx2+c=0.


Уравнение вида ax4+bx2+c=0, где a0, являющееся квадратным относительно x2, называют  биквадратным уравнением .


Пример 4

Решить уравнение x4-13x2+36=0.


Решение

 

Обозначим x2 через y (т.е. x2=y), причём x4=y2.

 

Тогда уравнение четвертой степени превратилось в уравнение второй степени с новой переменной y:

 

y2-13y+36=0.

 

Корни этого уравнения:

 

y1=4y2=9.

 

Возвращаясь к переменной x, получим два квадратных уравнения:

 

x2=4x2=9

 

Решая уравнения, получим, что уравнение x2=4 имеет два корня x1=-2x2=2,  и уравнение x2=9 тоже имеет два корня x3=-3x4=3.

 

Значит, исходное биквадратное уравнение имеет четыре корня:

 

 x1=-2x2=2x3=-3x4=3.

 

Ответ: -3; -2; 2; 3.


Упражнение 3

  1. Решить уравнение: x3-3x2-4x+12=0
  2. Решить уравнение: (x2+x-1)(x2+x+5)=7
  3. Решить уравнение: 36x4-5x2-1=0


Контрольные вопросы:

 

1. Сколько корней может иметь целое уравнение? От чего это зависит?

2. Какие методы решения уравнений третьей степени и более есть?

3. Что такое биквадратное уравнение? Как его решить?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 5. 2. 3

 

Упражнение 2

 

1. 1,6. 2. -1; 5

 

Упражнение 3

 

1.-2; 2; 3. 2. -2; 1. 3. -0,5; 0,5.

Предыдущий урок
Дробные рациональные уравнения
Решение уравнений и неравенств
Следующий урок
Неравенства с двумя переменными
Решение уравнений и неравенств
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания. Электромагнитные волны

    Физика

  • Восточно-Европейская равнина. Волга

    География

  • Химический состав планеты Земля. Охрана окружающей среды от химического загрязнения

    Химия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке