Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Свойства функций

План урока

Нули функции
Промежутки знакопостоянства
Монотонные функции. Промежутки возрастания и убывания функции
Свойства линейной функции
Свойства функции обратной пропорциональности

Цели урока

Знать какими бывают свойства функции
Знать какими свойствами обладают ранее изученные функции
Уметь описывать свойства функции по заданному графику

Разминка

Что такое функция?
Что можно определить по графику функции?
Чем область определения отличается от области значений функции?

Нули функции. Промежутки знакопостоянства

Функции стали неотъемлемой частью нашей жизни: ни одно явление, ни один процесс в окружающем мире не могут быть изучены без математического описания. Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать их можно с помощью функций и их свойств, позволяющих понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Именно поэтому необходимо научиться исследовать функции с помощью их графиков.

Рис. 1. График зависимости температуры T (℃) от времени суток t (ч)

На рисунке 1 изображен график зависимости температуры воздуха $T (℃)$ от времени суток $t$ (ч). По графику легко определить, что в 6 ч, 18 ч и в 21 ч температура равнялась нулю, от 0 ч до 6 ч и с 18 ч до 21 ч она была отрицательная (т.е. ниже нуля), а от 6 ч до 18 ч и с 21 ч до 24 ч — выше нуля или положительная. Также можно сделать вывод, что в периоды с 2 ч до 12 ч и с 20 ч до 24 ч температура повышалась, а остальные промежутки времени — понижалась.

С помощью графика мы выяснили некоторые свойства функции $T = f (t)$ , где $t$ — время суток в часах, а $T$ — температура воздуха в градусах Цельсия.

Пример 1

Рис. 2. График функции 𝑦 = 𝑓(𝑥)

По графику функции $y = f (x)$ (рис. 2) определить при каких значениях $x$ функция:

1. обращается в нуль

2. принимает положительные и отрицательные значения

Решение

Давайте выясним, как это определить.

1. Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью $x$ . Получим $x = - 2$ и $x = 2$ . Значит, функция обращается в нуль (принимает значение, равное нулю) при $x = - 2$ и $x = 2$ .

2. Эти значения переменной $x$ разбивают область определения функции — промежуток $(- 6; 3)$ — на три промежутка: $(- 6; - 2)$ , $(- 2; 2)$ и $(2; 3)$ . Для значений $x$ из промежутка $(- 2; 2)$ точки графика расположены выше оси $x$ , а для значений $x$ из промежутков $(- 6; - 2)$ и $(2; 3)$ — ниже оси $x$ . Значит, в промежутке $(- 2; 2)$ функция принимает положительные значения, а в каждом из промежутков $(- 6; - 2)$ и $(2; 3)$ — отрицательные.

Ответ: 1. $- 2$ ; $2$ .

2. в промежутке $(- 2; 2)$ функция принимает положительные значения, а в каждом из промежутков $(- 6; - 2)$ и $(2; 3)$ — отрицательные.

Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль, называют нулями функции.

Промежутки, в которых функция сохраняет знак, называют промежутками знакопостоянства.

Упражнение 1

Рис. 3. График функции 𝑦 = 𝑓(𝑥)

По графику функции $y = f (x)$ (рис. 3) найти:

1. нули функции

2. промежутки знакопостоянства.

Монотонные функции. Промежутки возрастания и убывания функции

Пример 2

Рис. 4. График функции 𝑦 = 𝑓(𝑥)

По графику функции $y = f (x)$ (рис. 4) определите, как изменяются (увеличиваются или уменьшаются) значения данной функции с изменением $x$ от $- 6$ до $3$ .

Решение

Из графика видно, что с возрастанием $x$ от $- 4$ до $0$ значения $y$ увеличиваются, а с возрастанием $x$ от $- 6$ до $- 4$ и от $0$ до $3$ значения $y$ уменьшаются. Говорят, что в промежутке $[- 4; 0]$ функция $y = f (x)$ является возрастающей, а в промежутках $(- 6; - 4]$ и $[0; 3)$ эта функция является убывающей.

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Другими словами, функцию $y = f (x)$ называют возрастающей в некотором промежутке, если для любых $x_{1}$ и $x_{2}$ из этого промежутка, таких, что $x_{2} > x_{1}$ , выполняется неравенство

$f (x_{2}) > f (x_{1})$ ;

функцию $y = f (x)$ называют убывающей в некотором промежутке, если для любых $x_{1}$ и $x_{2}$ из этого промежутка, таких, что $x_{2} > x_{1}$ , выполняется неравенство

$f (x_{2}) < f (x_{1})$ .

Если функция возрастает на всей области определения, то её называют возрастающей функцией.

Если функция убывает на всей области определения, то её называют убывающей функцией.

Возрастающие функции (или убывающие функции) на всей области определения называются монотонными функциями.

На рисунке 5 изображены графики возрастающей функции и убывающей функции.

Рис. 5. а) график возрастающей функции; б) график убывающей функции

Упражнение 2

Рис. 6. График функции 𝑦 = 𝑓(𝑥)

По графику функции $y = f (x)$ (рис. 6) найдите промежутки возрастания и убывания функции.

Свойства линейной функции

Рассмотрим свойства функции $y = k x + b$ , где $k \neq 0$ (рис. 7).

Рис. 7. Графики линейной функции 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏, где: а) 𝑘 > 0; б) 𝑘 < 0

Свойства функции $y = k x + b$ .

1. Функция обращается в нуль при $x = - \frac{b}{k}$

2. При $k > 0$ функция принимает отрицательные значения в промежутке $(- \infty; - \frac{b}{k})$ и положительные значения в промежутке $(- \frac{b}{k}; + \infty)$ . При $k < 0$ функция принимает отрицательные значения в промежутке $(- \frac{b}{k}; + \infty)$ и положительные значения в промежутке $(- \infty; - \frac{b}{k})$ .

3. При $k > 0$ функция является возрастающей, а при $k < 0$ — убывающей.

Свойства функции обратной пропорциональности

Рассмотрим свойства функции $y = \frac{k}{x}$ , где $k \neq 0$ (рис. 8).

Рис. 8. Графики функции обратной пропорциональности y=k/x, где: а) 𝑘 > 0; б) 𝑘 < 0

Свойства функции $y = \frac{k}{x}$ .

1. Функция нулей не имеет.

2. При $k > 0$ функция принимает отрицательные значения в промежутке $(- \infty; 0)$ и положительные значения в промежутке $(0; + \infty)$ .

При $k < 0$ функция принимает отрицательные значения в промежутке $(0; + \infty)$ и положительные значения в промежутке $(- \infty; 0)$ .

3. При $k > 0$ функция является убывающей в каждом из промежутков $(- \infty; 0)$ и $(0; + \infty)$ . При $k < 0$ функция является возрастающей в каждом из этих промежутков.

Контрольные вопросы:

1. Что такое нули функции?

2. Какую функцию называют возрастающей? Какую — убывающей?

3. Назовите свойства линейной функции.

Ответы

Упражнение 1

1. $- 2$ и $4$ .

2. положительная на $(- 3; - 2)$ и $(4; 8)$ ; отрицательная на $(- 2; 4)$ .

Упражнение 2

убывает на промежутках $(- 3; 2]$ и $[6; 8)$ ; возрастает на $[2; 6]$ .

Конспект урока: Функция. Область определения и область значений. Свойства функции

Функции

Нули функции. Промежутки знакопостоянства

Монотонные функции. Промежутки возрастания и убывания функции