Конспект урока: Функция. Область определения и область значений. Свойства функции

Определение функции

Функция – это одно из самых фундаментальных математических понятий, оно применяется во всех точных науках. Функция в общем виде – это зависимость величин. Любая физическая формула выражает зависимость одного параметра от другого. Так, связь между давлением газа и его температурой при постоянном объеме выражается формулой: $p=VT$.

Переменную $x$ называют независимой переменной  или аргументом . Переменную $y$ называют зависимой переменной . Значения зависимой переменной называются значениями функции .

Говорят также, что переменная $y$ является функцией от переменной $x$.

Функция позволяет установить соответствие между двумя множествами таким образом, что каждому элементу первого множества соответствует единственный элемент второго множества. При этом данное соответствие выражается определенным правилом или законом.

Коротко зависимость $y$ от $x$ записывают так: $y=f\left(x\right)$ (читают: «$y$ равно $f$ от $x$»). Символом $f\left(x\right)$ обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному $x$.

В записи вида $y=f\left(x\right)$ вместо $f$ можно употреблять и другие буквы: $g$, $h$, $k$ и т.п.

Функция задана формулой $y=6x^3-5x$. Найти значения функции для значений $x$, равных $1$ и $-2$.

Решение

Т.к. функция имеет вид $y=6x^3-5x$, то $f\left(x\right)=6x^3-5x$.

Чтобы найти значение функции $f$ при заданных значениях, необходимо подставить эти значения в саму функцию вместо переменной $x$.

 $f\left(1\right)=6·1^3-5·1=1; f\left(-2\right)=6·{\left(-2\right)}^3-5·\left(-2\right)=-38$

Ответ: $f\left(1\right)=1; f\left(-2\right)=-38$ 

1. Найдите значения функции вида $y=-x^2+3x-1$ для значений переменной $x:$

а) $2$ б) $-4$ в) $1,5$

2. Найдите значения функции вида $y=2x^2+7$ для значений переменной $x$:

а) $0$ б) $-3$ в) $-2,5$

3. Функция имеет вид $f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{3-x}$. Найти $f\left(1\right)-f\left(2\right)$.

Область определения и область значений функции

Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции .

Функция $y=f\left(x\right)$ считается заданной, если указана область определения и правило, согласно которому каждому значению независимой переменной поставлено в соответствие единственное значение зависимой переменной. Областью определения функции может быть множество всех чисел, тогда пишут: $x\in \mathrm{ℝ}$. Также встречаются функции, область значений которых отличается от множества действительных чисел. Если функция имеет вид рациональной дроби, т.е. в знаменателе есть независимая переменная, то знаменатель этой дроби не должен обращаться в нуль. Если же в записи функции присутствует квадратный корень, то выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.

Найдите область определения следующих функций:

а) $y=2x^2-1$ б) $y=\frac{3x}{2x-1}$ в) $y=\sqrt{2x+4}$

Решение

1. Область определения первой функции – это множество действительных чисел $(x\in \mathrm{ℝ})$.
2. В знаменателе функции стоит выражение $2x-1$. Это выражение не может быть равно нулю, т.к. на нуль делить нельзя. Значит, $2x-1\ne 0$, $x\ne 0,5$, т.е. область определения $-x\ne 0,5$ или $x\in \left(-\infty ; 0,5\right) \cup \left(0,5; +\infty \right)$.
3. Функция имеет вид $y=\sqrt{2x+4}$, следовательно выражение под корнем должно быть неотрицательное, т.е. $2x+4\ge 0$, $x\ge -2$.

Ответ: 1) $x\in \mathrm{ℝ}$; 2) $x\ne 0,5$; 3) $x\ge -2$.

1. У какой(-их) из предложенных функций область определения – множество действительных чисел?

a) $y=-x^2+3x-\frac{1}{3}$

б)$y=\frac{1}{x+2}$

в)$y=x-5$

2. Найдите область определения функции вида:

$y=\frac{2x+1}{\sqrt{3-x}}$

График функции

С понятием «график» любой человек сталкивается постоянно. У всех на слуху: график движения поезда, график продаж и график изменения температуры. Это удобная форма представления информации, которая используется в самых разных областях повседневной деятельности человека. Графики применяются во всех сферах жизнедеятельности человека. Любая зависимость может быть задана с помощью графика функции $y=f\left(x\right)$. По сути график является графической иллюстрацией некоторой зависимости. 

Рис. 1. График функции

По графику функции можно найти области определения и значений функции, значения функции в некоторых точках, наибольшее и наименьшее значения функции.

Так на рисунке 1 изображен график функции $y=f\left(x\right)$ областью определения которой является интервал $\left(-7; 5\right)$. Также по графику можно найти, что $f\left(-6\right)=0$, $f\left(-3\right)=2$, $f\left(1\right)=-3$.  Наименьшее значение функции равно $-3$, а наибольшее равно $4$. При этом любое число от $-3$ до $4$ является значением данной функции, т.е. область значений функции – отрезок $\left[-3; 4\right]$.

Рис. 2. График функции f(x)

По графику функции (рисунок 2) определить:                                                             

 

1. область определения;                        

2. область значений; 

3. $f\left(-3\right)$, $f\left(1\right)$                                                          

Линейная функция

Вы уже знакомы с некоторыми функциями, которые изучали в предыдущих классах. Первая из них – это линейная функция, задаваемая формулой $y=kx+b$, где $k$ и $b$ - некоторые числа. Вторая функция – это частный случай линейной функции или функция прямой пропорциональности, которая задана формулой $y=kx$, где $k\ne 0$.

Рис. 3. График функции 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏

---

Графиком  функции $y=kx+b$ служит  прямая (рис. 3).

Область определения этой функции – это множество действительных чисел.

 

Область значений этой функции – это множество действительных чисел при $k\ne 0$; при $k=0$ множество значений состоит из одного числа $b$.

 

---

Функция обратной пропорциональности

Третья функция, с которой вы уже знакомы, - это функция обратной пропорциональности, которая имеет вид $y=\frac{k}{x}$, где $k\ne 0$.

Область определения и область значений этой функции одинаковые – это множество действительных чисел кроме нуля, т.е. $\left(-\infty ; 0\right)\cup \left(0; +\infty \right)$.

Рис. 4. График функции y = k/x

---

Графики некоторых функций

 

Ранее вы изучали функции, заданные формулами $y=x^2$, $y=x^3$, $y=\sqrt{x}$. Их графики изображены на рисунке 5.

Рис. 5. Графики функций

Рис. 6. График функции y = |x|

Еще одна функция, заданная формулой $y=\left|x\right|,$имеет интересный график, который вы легко можете построить, если вспомните, что такое модуль. А именно:

 

$y=\left\{\begin{array}{l}x, x\ge 0\\ -x, x<0\end{array}\right.$

 

Графики функций $y=x$ и $y=-x$ строить вы умеете. Поэтому достаточно построить графики этих функций и стереть лишнее.