Конспект урока: Построение графика квадратичной функции

Вершина параболы

Мы уже умеем строить график квадратичной функции вида $y=a(x-m{)}^2+n$ с помощью параллельных переносов графика функции $y=a{x}^2$. Тогда если представить квадратичную функцию $y=a{x}^2+bx+c$ в этом виде, то мы легко сможем построить график любой квадратичной функции. 

Но выделять каждый раз квадрат двучлена долго, поэтому выразим $m$ и $n$ через коэффициенты квадратичной функции $a$, $b$ и $c$. Выделим из трёхчлена $a{x}^2+bx+c$ квадрат двучлена: 

$a{x}^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=$

$=a\left(x^2+2x·\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right)=$

$=a\left({\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$

Мы получили, что квадратичная функция $y=a(x-m{)}^2+n$ имеет вид $y=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$, т. е. $m=-\frac{b}{2a}$, $n=\frac{-b^2+4ac}{4a}$.

Значит, график функции $y=a{x}^2+bx+c$ есть парабола, которую можно получить из графика функции $y=a{x}^2$ помощью двух параллельных переносов – сдвига вдоль оси $x$ и сдвига вдоль оси $y$.

Заметим, что абсциссу $m$ вершины удобно находить по формуле $m=-\frac{b}{2a}$. Ординату $n$ можно находить, подставив найденное значение абсциссы в формулу $y=a(x-m{)}^2+n$, так как при $x=m:$

$y=a{x}^2+bx+c=a{\left(x-m\right)}^2+n=n$.

Другими словами, координаты вершины $(m; n)$ параболы, графика квадратичной функции $y=a{x}^2+bx+c$, можно записать в таком виде:

$\left(-\frac{b}{2a}; y\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$.

Иногда для записи координат вершины параболы вместо $m$ и $n$ используют $x$ и $y$ с индексами, например, $\left(x_0; y_0\right)$ или $\left(x_{в.}; y_{в.}\right)$.

Алгоритм построения графика квадратичной функции

Исходя из всех полученных выводов, можно подвести следующий итог. 

График функции $y=a{x}^2+bx+c$ есть парабола, которую можно получить из графика функции $y=a{x}^2$ с помощью двух параллельных переносов – сдвига вдоль оси $x$ и сдвига вдоль оси $y$, вершиной которой является точка $(m; n)$, где $m=-\frac{b}{2a}$, $n=y\left(m\right)$. Осью симметрии параболы служит прямая $x=m$, параллельная оси $y$. При $a>0$ветви параболы направлены вверх, а при $a<0$ - вниз.

Постройте график функции $y=2x^2-2x-4$.

Рис. 1. График функции 

y=2x²-2x-4

Решение

 

Графиком функции $y=2x^2-2x-4$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты $m$ и $n$ вершины этой параболы: 

$m=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{4}=\frac{1}{2}$,

$n=2·{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-2·\frac{1}{2}-4=-4\frac{1}{2}$.

 

Вершина параболы – точка $\left(\frac{1}{2}; -4\frac{1}{2}\right)$.

 

 

Составим таблицу:

Построим график этой функции по таблице (рис. 1).

При составлении таблицы и построении графика учитывалось, что прямая $x=0,5$ является осью симметрии параболы. Поэтому мы брали точки с абсциссами 0 и 1, -1 и 2, -2 и 3, симметричные относительно прямой $x=0,5$ (эти точки имеют одинаковые ординаты).

Постройте график функции $y=-x^2+4x-5$.

Рис. 2. График функции 

y=-x²+4x-5

Решение

 

Графиком функции $y=-x^2+4x-5$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты $m$ и $n$ вершины этой параболы: 

 

$m=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{-2}=2$,

$n=-2^2+4·2-5=-1$.

 

 

 

Вычислим координаты еще нескольких точек, получим таблицу:

Построим график этой функции по таблице (рис. 2).

Постройте график функции:

1. $y=-0,5x^2-0,5x+3$
2. $y=3x^2-6x+3$

Ответы

Упражнение 1
1.

График функции y=-0,5x² - 0,5x+3

2.

График функции y=3x² - 6x+3