Конспект урока: Системы линейных уравнений с двумя переменными

Функция

y = a x^{2}

, её график и свойства

План урока

Квадратичная функция
Функция $y = a x^{2}$ и её график в зависимости от значения $a$
Свойства функции $y = a x^{2}$

Цели урока

Знать определение квадратичной функции;
Уметь строить график функции $y = a x^{2}$ ;
Знать свойства функции $y = a x^{2}$ .

Разминка

Как называется график функции $y = x^{2}$ ?
В чем отличие графиков функций $y = x^{2}$ и $y = - x^{2}$ ?
Как построить график функции $y = x^{2}$ ?

Квадратичная функция

Рис. 1. График функции y=x²

С несколькими функциями и их графиками вы уже знакомы. Парабола, которая служит графиком функции $y = x^{2}$ (рис. 1), - одна из них. Параболу можно встретить везде и не только в объектах, созданных человеком, как, например, в фонтанах, бокалах и даже сёдлах для лошади, но и в самой природе, где не касалась рука человека: в виде горных хребтов, морских заливов и в других знакомых нам объектах.

Рис. 2. Параболическая траектория

Парабола задает форму изгиба спутниковых тарелок. Также по параболической траектории летят в воздухе пушечные ядра, лыжники-фристайлеры и взмывают из воды дельфины (рис. 2).

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида:

$y = a x^{2} + b x + c$ ,

где $x$ - независимая переменная, $a$ , $b$ и $c$ – некоторые числа, причём $a \neq 0$ .

Областью определения квадратичной функции является множество всех чисел $x \in (- \infty; + \infty)$ .

Одним из самым популярных примеров квадратичной функции является зависимость координаты тела от времени при равноускоренном движении. Эта зависимость выражается формулой:

$x (t) = \frac{a t^{2}}{2} + v_{0} t + x_{0}$ ,

где $a$ (м/c²) –ускорение тела, $v_{0}$ (м/c) – начальная скорость движения, $x_{0}$ (м) - начальная координата, $t$ (c) – время, $x$ (м) – координата тела.

Если, например, $a = 8$ , $v_{0} = 7$ , $x_{0} = 1$ , то

$x (t) = 4 t^{2} + 7 t + 1$ .

Функция $y = a x^{2}$ и её график в зависимости от значения $a$

Изучение квадратичной функции начнем с частного случая – функции $y = a x^{2}$ .

При $a = 1$ формула $y = a x^{2}$ принимает вид $y = x^{2}$ . Об этой функции и её графике мы поговорили в самом начале (рис.1).

Построим график функции $y = 4 x^{2}$ (рис.3а).

Составим таблицу значений этой функции:

$x$	-2	-1.5	-1	-0.5	0	0.5	1	1.5	2
$y$	16	9	4	1	0	1	4	9	16

При любом $x \neq 0$ значения функции $y = 4 x^{2}$ больше соответствующего значения функции $y = x^{2}$ в 4 раза. Получаем, что все точки графика функции $y = 4 x^{2}$ можно получить путем перемещения точек графика функции $y = x^{2}$ вверх так, чтобы расстояние от оси $x$ до каждой точки увеличилось в 4 раза. Иными словами, график функции $y = 4 x^{2}$ можно получить из параболы $y = x^{2}$ растяжением от оси $x$ в 4 раза (рис. 3. б).

Рис. 3. а) График функции y=4x², б) Графики функции y=4x² и y=x²

Теперь построим график функции $y = \frac{1}{4} x^{2}$ и $y = - \frac{1}{4} x^{2}$ . Для этого составим таблицу значений для первой функции:

$x$	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
$y$	4	2.25	1	0.25	0	0.25	1	2.25	4

Составим таблицу значений для второй функции:

$x$	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
$y$	-4	-2.25	-1	-0.25	0	-0.25	-1	-2.25	-4

Рис. 4. Графики функций

Построим оба графика в одной координатной плоскости (рис. 4).

Сравнив таблицы значений и графики функций $y = \frac{1}{4} x^{2}$ и $y = - \frac{1}{4} x^{2}$ , можно увидеть, что при любом $x \neq 0$ значения этих функций являются противоположными числами. Таким образом, можно сделать вывод, что графики этих функций симметричны относительно оси $x$ .

Графики функций $y = a x^{2}$ и $y = - a x^{2}$ (при $a \neq 0$ ) симметричны относительно оси $x$ .

График функции $y = a x^{2}$ , где $a \neq 0$ , как и график функции $y = x^{2}$ называется параболой.

Упражнение 1

Постройте график функции $y = 1, 5 x^{2}$ .
Постройте график функции $y = - \frac{2}{3} x^{2}$ .

Свойства функции $y = a x^{2}$

Сформулируем свойства функции $y = a x^{2}$ при $a > 0$ .

Область определения функции - множество всех действительных чисел, т. е. $D (y) = (- \infty; + \infty)$ .
Если $x = 0$ , то $y = 0$ . График функции проходит через начало координат.
Если $x \neq 0$ , то $y > 0$ . График расположен в верхней полуплоскости.
Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси $y$ . Функция является чётной.
Функция убывает на промежутке $(- \infty; 0]$ и возрастает на промежутке
Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при $x = 0,$ наибольшего значения функция не имеет.
Область значений функции - множество неотрицательных чисел, т. е. $E (y) = [0; + \infty)$ .

Теперь сформулируем свойства функции $y = a x^{2}$ при $a < 0$ .

Область определения функции - множество действительных чисел, т. е. $D (y) = (- \infty; + \infty)$ .
Если $x = 0$ то $y = 0$ . График функции проходит через начало координат.
Если $x \neq 0$ , то $y < 0$ . График расположен в нижней полуплоскости.
Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси $y$ . Функция является чётной.
Функция возрастает на промежутке $(- \infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; + \infty)$ .
Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при $x = 0$ , наименьшего значения функция не имеет.
Область значений функции - множество неположительных чисел, т. е. $E (y) = (- \infty; 0]$ .

Из перечисленных свойств следует, что при $a > 0$ ветви параболы $y = a x^{2}$ направлены вверх, а при $a < 0$ - вниз. Ось $y$ является осью симметрии параболы.

Точку пересечения параболы с её осью симметрии называют вершиной параболы.

График функции $y = - f (x)$ можно получить из графика функции $y = f (x)$ с помощью симметрии относительно оси $x$ .

График функции $y = a f (x)$ можно получить из графика функции $y = f (x)$ с помощью растяжения от оси $x$ в $a$ раз, если $a > 1$ , и с помощью сжатия к оси $x$ в $\frac{1}{a}$ раза, если $0 < a < 1$ .

Упражнение 2

Опишите свойства функции $y = 1, 5 x^{2}$ ;
Опишите свойства функции $y = - \frac{2}{3} x^{2}$ .

Контрольные вопросы:

1. Что называют квадратичной функцией?

2. Какие свойства функции $y = a x^{2}$ являются одинаковыми для положительных и отрицательных значений коэффициента $a$ ?

3. Как получить график функции $y = - 4 x^{2}$ из графика функции $y = x^{2},$ используя симметрию и растяжение/сжатие?

Ответы

Упражнение 1

Упражнение 2

1. область определения $x \in (- \infty; + \infty)$ ; область значений $y \in [0; + \infty)$ ; чётная; функция возрастает на $[0; + \infty)$ ; функция убывает на $(- \infty; 0]$ ; $x = 0$ – нуль функции; наименьшее значение функции $y = 0$ при $x = 0$ ; наибольшего значения нет.

2. область определения $x \in (- \infty; + \infty)$ ; область значений $y \in (- \infty; 0]$ ; чётная; функция возрастает на $(- \infty; 0]$ функция убывает на $[0; + \infty)$ ; $x = 0$ – нуль функции; наибольшее значение функции $y = 0$ , при $x = 0$ ; наименьшего значения нет.

Конспект урока: Функция y=ax^2, ее график и свойства. Графики функций y=ax^2+n, y=a(x-m)^2

Функции

Квадратичная функция

Функция $y = a x^{2}$ и её график в зависимости от значения $a$

Свойства функции $y = a x^{2}$

Конспект урока: Функция y=ax^2, ее график и свойства. Графики функций y=ax^2+n, y=a(x-m)^2

Функции

Квадратичная функция

Функция y=ax2 и её график в зависимости от значения a

Свойства функции y=ax2

Функция $y = a x^{2}$ и её график в зависимости от значения $a$

Свойства функции $y = a x^{2}$