Конспект урока: Графики функций y=aх^2+n и y=a(x-m)^2

График функции $y=a{x}^2+n$

На прошлых уроках мы с вами познакомились с квадратичной функцией $y=a{x}^2+bx+c$, а также научились строить графики функций вида $y=a{x}^2$, где $a\ne 0$. Ещё мы знаем, что квадратный трёхчлен $a{x}^2+bx+c$ можно представить в виде $a(x-m{)}^2+n$, а значит и квадратичную функцию можно представить в этом виде $y=a(x-m{)}^2+n$, где $m$, $n$ - некоторые числа. Чтобы построить график квадратичной функции в таком виде, рассмотрим её частные случаи.

Выясним, что представляет собой график функции вида $y=a{x}^2+n$. Рассмотрим на примере функции $y=\frac{1}{2}{x}^2+3$.

В одной системе координат построить графики функций  $y=\frac{1}{2}{x}^2$ и $y=\frac{1}{2}{x}^2+3$.

Решение

Составим таблицу значений функции $y=\frac{1}{2}{x}^2$:

Чтобы получить таблицу значений функции $y=\frac{1}{2}{x}^2+3$ при тех же значениях аргумента, следует к найденным значениям функции $y=\frac{1}{2}{x}^2$ прибавить $3$.

Построим по таблицам значений графики этих функций (рис.1)

Рис. 1. Графики функций

Сравнивая графики и таблицы значений функций, можно заметить, что каждой точке $(x_0; y_0)$ графика функции $y=\frac{1}{2}{x}^2$соответствует единственная точка $(x_0; y_0+3)$графика функции $y=\frac{1}{2}{x}^2+3$ и наоборот. Значит, если переместить каждую точку графика функции $y=\frac{1}{2}{x}^2$ на 3 единицы вверх, то получим соответствующую точку графика функции $y=\frac{1}{2}{x}^2+3$. Другими словами, каждую точку второго графика можно получить из некоторой точки первого графика с помощью параллельного переноса на 3 единицы вверх вдоль оси $y$.

Построить в одной системе координат графики функций $y=2x^2$ и $y=2x^2+1$.

График функции $y=a(x-m{)}^2$

Теперь на примере функции $y=\frac{1}{2}(x-2{)}^2$ выясним, что представляет собой график функции вида $y=a(x-m{)}^2$.

В одной системе координат построить графики функций  $y=\frac{1}{2}{x}^2$ и $y=\frac{1}{2}{\left(x-2\right)}^2$.

Решение

Воспользуемся таблицей значений функции $y=\frac{1}{2}{x}^2$:

Составим таблицу значений функции $y=\frac{1}{2}{\left(x-2\right)}^2$ так, чтобы значения переменной $y$ у обеих функций были одинаковыми:

Построим по таблице значений графики этих функций (рис.2).

Рис. 2. Графики функций

Сравнивая графики и таблицы значений функций, можно заметить, что каждой точке $(x_0; y_0)$ графика функции $y=\frac{1}{2}{x}^2$ соответствует единственная точка $(x_0+2; y_0)$графика функции $y=\frac{1}{2}{\left(x-2\right)}^2$ и наоборот.  Значит, если переместить каждую точку графика функции $y=\frac{1}{2}{x}^2$ на 2 единицы вправо, то получим соответствующую точку графика функции $y=\frac{1}{2}{\left(x-2\right)}^2$. Другими словами, каждую точку второго графика можно получить из некоторой точки первого графика с помощью параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси $x$.

Построить в одной системе координат графики функций $y=-2x^2$ и $y=-2{(x-3)}^2.$

График функции $y=a(x-m{)}^2+n$

Заметим, что производить параллельные переносы можно в любом порядке: сначала выполнить параллельный перенос вдоль оси $x$, а затем – вдоль оси $y$ или наоборот. 

Полученные нами выводы о преобразовании графиков применимы к любым функциям.

График функции $y=f(x-m)$ можно получить из графика функции $y=f\left(x\right)$ с помощью параллельного переноса вдоль оси $x$ на $m$ единиц вправо, если $m>0,$ или на $-m$ единиц влево, если $m<0$.

График функции $y=f(x-m)+n$ можно получить из графика функции $y=f\left(x\right)$ с помощью двух соответствующих параллельных переносов.

В одной системе координат построить графики функций  $y=\frac{1}{2}{x}^2$  и $y=\frac{1}{2}{(x+1)}^2-3$.

Решение

Воспользуемся таблицей значений функции $y=\frac{1}{2}{x}^2$ из примера 1.

Рис. 3. Графики функций

Заметим, что график функции $y=\frac{1}{2}{(x+1)}^2-3$ можно построить с помощью параллельного переноса графика функции $y=\frac{1}{2}{x}^2$ вдоль оси $x$ на 1 единицу влево и вдоль оси $y$ на 3 единицы вниз.

 

Построим графики этих функций (рис.3).

Построить в одной системе координат графики функций $y=\frac{2}{3}{x}^2$  и $y=\frac{2}{3}{\left(x+2\right)}^2+1$. 

Ответы

Упражнение 1

 

Синий - $y=2x^2$, зеленый - $y=2x^2+1$.

 

Упражнение 2

 

Синий - $y=-2x^2$, оранжевый - $y=-2{(x-3)}^2$.

 

Упражнение 3

 

Синий - $y=\frac{2}{3}{x}^2$, красный - $y=\frac{2}{3}{(x+2)}^2+1$.