Конспект урока: Функция y=ax^2, ее график и свойства

Квадратичная функция

Рис. 1. График функции y=x²

С несколькими функциями и их графиками вы уже знакомы. Парабола, которая служит графиком функции $y=x^2$ (рис. 1), - одна из них. Параболу можно встретить везде и не только в объектах, созданных человеком, как, например, в фонтанах, бокалах и даже сёдлах для лошади, но и в самой природе, где не касалась рука человека: в виде горных хребтов, морских заливов и в других знакомых нам объектов. 

Рис. 2. Параболическая траектория

Парабола задает форму изгиба спутниковых тарелок. Также по параболической траектории летят в воздухе пушечные ядра, лыжники-фристайлеры и взмывают из воды дельфины (рис. 2). 

где $x$ - независимая переменная, $a$, $b$ и $c$ – некоторые числа, причём $a\ne 0$.

Областью определения квадратичной функции является множество всех чисел $x\in \left(-\infty ; +\infty \right)$.

Одним из самым популярных примеров квадратичной функции является зависимость координаты тела от времени при равноускоренном движении. Эта зависимость выражается формулой:

$x\left(t\right)=\frac{a{t}^2}{2}+v_{0}t+x_0$,

где $a$ (м/c²) – ускорение тела, $v_0$ (м/c) – начальная скорость движения, $x_0$ (м) - начальная координата, $t$ (c) – время, $x$ (м) – координата тела.

Если, например, $a=8$, $v_0=7$, $x_0=1$, то

$x\left(t\right)=4t^2+7t+1$.

Функция $y=a{x}^2$ и её график в зависимости от значения $a$

Изучение квадратичной функции начнем с частного случая – функции $y=a{x}^2$.

При $a=1$ формула $y=a{x}^2$ принимает вид $y=x^2$. Об этой функции и её графике мы поговорили в самом начале (рис.1).

Построим график функции $y=4x^2$ (рис.3а).

Составим таблицу значений этой функции:

При любом $x\ne 0$ значения функции $y=4x^2$ больше соответствующего значения функции $y=x^2$ в 4 раза. Получаем, что все точки графика функции $y=4x^2$ можно получить путем перемещения точек графика функции $y=x^2$ вверх так, чтобы расстояние от оси $x$ до каждой точки увеличилось в 4 раза. Иными словами, график функции $y=4x^2$ можно получить из параболы $y=x^2$ растяжением от оси $x$ в 4 раза (рис. 3. б).

Рис. 3. а) График функции  y=4x², б) Графики функции y=4x² и y=x²

 

Теперь построим график функции $y=\frac{1}{4}{x}^2$ и $y=-\frac{1}{4}{x}^2$. Для этого составим таблицу значений для первой функции: 

Составим таблицу значений для второй функции:

Рис. 4. Графики функций

Построим оба графика в одной координатной плоскости (рис. 4).

 

Сравнив таблицы значений и графики функций $y=\frac{1}{4}{x}^2$  и $y=-\frac{1}{4}{x}^2$, можно увидеть, что при любом $x\ne 0$ значения этих функций являются противоположными числами. Таким образом, можно сделать вывод, что графики этих функций симметричны относительно оси $x$.

График функции $y=a{x}^2$ где $a\ne 0$, как и график функции $y=x^2$ называется параболой.

1. Построить график функции $y=1.5x^2$.
2. Построить график функции $y=-\frac{2}{3}{x}^2$.

Свойства функции $y=a{x}^2$

Сформулируем свойства функции $y=a{x}^2$ при $a>0$.

2. Если $x\ne 0$, то $y>0$. График расположен в верхней полуплоскости.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси $y$.

4. Функция убывает в промежутке $(-\infty ; 0]$ и возрастает в промежутке $[0; +\infty )$.

5. Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при $x=0,$ наибольшего значения функция не имеет. 

6. Областью значений функции является промежуток $[0; +\infty )$.

Теперь сформулируем свойства функции $y=a{x}^2$ при $a<0$.

2. Если $x\ne 0$, то $y<0$. График расположен в нижней полуплоскости.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси $y$.

4. Функция возрастает в промежутке $(-\infty ; 0]$ и убывает в промежутке $[0; +\infty )$.

5. Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при $x=0$, наименьшего значения функция не имеет. 

6. Областью значений функции является промежуток $(-\infty ; 0]$.

Из перечисленных свойств следует, что при $a>0$ ветви параболы $y=a{x}^2$направлены вверх, а при $a<0$ - вниз. Ось $y$ является осью симметрии параболы. 

График функции $y=-f\left(x\right)$можно получить из графика функции $y=f\left(x\right)$ с помощью симметрии относительно оси $x$.

График функции $y=af\left(x\right)$ можно получить из графика функции $y=f\left(x\right)$ с помощью растяжения от оси $x$ в $a$ раз, если $a>1$, и с помощью сжатия к оси $x$ в $\frac{1}{a}$ раза, если $0<a<1$.

1. Опишите свойства функции $y=1.5x^2$;
2. Опишите свойства функции $y=-\frac{2}{3}{x}^2$.

Ответы

Упражнение 1

1.

2.

Упражнение 2

 

1. $x=0$ – нуль функции; область определения $x\in \left(-\infty ; +\infty \right)$; область значений $y\in [0; +\infty )$;  функция возрастает в $[0; +\infty )$;  функция убывает в $(-\infty ; 0]$;

наименьшее значение функции $y=0$ при $x=0$; наибольшего значения нет.

 

2. $x=0$ – нуль функции; область определения $x\in \left(-\infty ; +\infty \right)$; область значений $y\in (-\infty ; 0]$;  функция возрастает в $(-\infty ; 0]$ функция убывает в $[0; +\infty )$; 

наибольшее значение функции $y=0$, при $x=0$; наименьшего значения нет.