Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Функция y=ax^2, ее график и свойства

Функции

Функция y=ax2, её график и свойства

План урока

  • Квадратичная функция;
  • Функция y=ax2 и её график в зависимости от значения a;
  • Свойства функции y=ax2.

Цели урока

  • Знать определение квадратичной функции;
  • Уметь строить график функции y=ax2;
  • Знать свойства функции y=ax2.

Разминка

  • Как называется график функции y=x2?
  • В чем отличие графиков функций y=x2 и y=-x2?
  • Как построить график функции y=x2?

Квадратичная функция

 

Рис. 1. График функции y=x<sup>2</sup> Рис. 1. График функции y=x2

С несколькими функциями и их графиками вы уже знакомы. Парабола, которая служит графиком функции y=x2 (рис. 1), - одна из них. Параболу можно встретить везде и не только в объектах, созданных человеком, как, например, в фонтанах, бокалах и даже сёдлах для лошади, но и в самой природе, где не касалась рука человека: в виде горных хребтов, морских заливов и в другом большом количестве знакомых нам объектов. 

Рис. 2. Параболическая траектория Рис. 2. Параболическая траектория

Квадратичная функция (парабола) задает форму изгиба спутниковых тарелок. Также по параболической траектории летят в воздухе пушечные ядра, лыжники фристайлеры и взмывают из воды дельфины (рис. 2). Поэтому изучение квадратичной функции очень важно.


Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида:

y=ax2+bx+c,

где x - независимая переменная, ab и c - некоторый числа, причём a0.

 

Областью определения квадратичной функции является множество всех чисел x-; +.


Одним из самым популярных примеров квадратичной функции является зависимость координаты тела от времени при равноускоренном движении. Эта зависимость выражается формулой:

 

x(t)=at22+v0t+x0,

 

где a (м/c2) -  ускорение тела, v0 (м/c) - начальная скорость движения, x0 (м) - начальная координата, t (c) время, x (м) - координата тела.

 

Если, например, a=8v0=7x0=1, то

 

 

x(t)=4t2+7t+1.


Функция y=ax2 и её график в зависимости от значения a

 

Изучение квадратичной функции начнем с частного случая – функции y=ax2.

 

При a=1 формула y=ax2 принимает вид y=x2. Об этой функции и её графике мы поговорили в самом начале (рис.1).

 

Построим график функции y=4x2 (рис.3а).

 

Составим таблицу значений этой функции:

 

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

16

9

4

1

0

1

4

9

16

 

При любом x0 значения функции y=4x2 больше соответствующего значения функции y=x2 в 4 раза. Получаем, что все точки графика функции y=4x2 можно получить путем перемещения точек графика функции y=x2 вверх так, чтобы расстояние от оси x до каждой точки увеличилось в 4 раза. Иными словами, график функции y=4x2 можно получить из параболы y=x2 растяжением от оси x в 4 раза (рис. 3. б).

Рис. 3. а) График функции  y=4x<sup>2</sup>, б) График функции y=4x<sup>2</sup> и y=x<sup>2</sup> Рис. 3. а) График функции  y=4x2, б) График функции y=4x2 и y=x2

 

Теперь построим график функции y=14x2 и y=-14x2. Для этого составим таблицу значений для первой функции: 

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

4

2.25

1

0.25

0

0.25

1

2.25

4

 

Составим таблицу значений для второй функции:

 

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

-4

-2.25

-1

-0.25

0

-0.25

-1

-2.25

-4

 

Рис. 4. Графики функций Рис. 4. Графики функций

Построим оба графика в одной координатной плоскости (рис. 4).

 

Сравнив таблицы значений и графики функций y=14x2  и y=-14x2, можно увидеть, что при любом x0 значения этих функций являются противоположными числами. Таким образом, можно сделать вывод, что графики этих функций симметричны относительно оси x.


Графики функций y=ax2 и y=-ax2 (при a0) симметричны относительно оси x.

График функции y=ax2 где a0, как и график функции y=x2 называется параболой .


Упражнение 1

  1. Построить график функции y=1.5x2.
  2. Построить график функции y=-23x2.


Свойства функции y=ax2

 

Сформулируем свойства функции y=ax2 при a>0.


1. Если x=0, то y=0 График функции проходит через начало координат.

2. Если x0, то y>0 График расположен в верхней полуплоскости.

 

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси y.

 

4. Функция убывает в промежутке (-; 0] и возрастает в промежутке [0; +).

 

5. Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наибольшего значения функция не имеет. 

 

6. Областью значений функции является промежуток [0; +).


Теперь сформулируем свойства функции y=ax2 при a<0.


1. Если x=0 то y=0. График функции проходит через начало координат.

2. Если x0, то y<0 График расположен в нижней полуплоскости.

 

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси y.

 

4. Функция возрастает в промежутке (-; 0] и убывает в промежутке [0; +).

 

5. Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наименьшего значения функция не имеет. 

 

6. Областью значений функции является промежуток (-; 0].


Из перечисленных свойств следует, что при a>0 ветви параболы y=ax2 направлены вверх, а при a<0 - вниз. Ось y является осью симметрии параболы. 


Точку пересечения параболы с её осью симметрии называют вершиной параболы .


График функции y=-f(x) можно получить из графика функции y=f(x) с помощью симметрии относительно оси x.

График функции y=af(x) можно получить из графика функции y=f(x) с помощью растяжения от оси x в a раз, если a>1, и с помощью сжатия к оси x в 1a раза, если 0<a<1.


Упражнение 2

  1. Опишите свойства функции y=1.5x2;
  2. Опишите свойства функции y=-23x2.


Контрольные вопросы:

 

1. Что называют квадратичной функцией?

2. Какие свойства функции y=ax2 являются одинаковыми для положительных и отрицательных значений коэффициента a?

3. Как получить график функции y=-4x2 из графика функции y=x2, используя симметрию и растяжение/сжатие?


Ответы

Упражнение 1

1.

2.

Упражнение 2

 

1. x=0 - Нуль функции; область определения x-; +; область значений y[0; +);  функция возрастает в [0; +);  функция убывает в (-; 0];

наименьшее значение функции y=0 при x=0; наибольшего значения нет.

 

2. x=0 - Нуль функции; область определения x-; +; область значений y(-; 0];  функция возрастает в (-; 0] функция убывает в [0; +)

наибольшее значение функции y=0, при x=0; наименьшего значения нет.


Предыдущий урок
Функция. Область определения и область значений
Функции
Следующий урок
Свойства функций
Функции
  • Виды СПП. Сложноподчиненное предложение с придаточным определительным

    Русский язык

  • Фонетика. Графика. Орфоэпия

    Русский язык

  • Россия – федеративное государство

    Обществознание

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке