Построение графика квадратичной функции

План урока

Вершина параболы;
Алгоритм построения квадратичной функции;
Примеры построений графика квадратичной функции.

Цели урока

Уметь строить график квадратичной функции;
Знать свойства квадратичной функции;
Уметь находить координаты вершины квадратичной функции.

Разминка

Что такое параллельный перенос графика?
Какими свойствами обладает функция $y = 2 (x + 3)^{2} - 2$ ?
Чему равны корни уравнения $2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$ ?

Вершина параболы

Мы уже умеем строить график квадратичной функции вида $y = a (x - m)^{2} + n$ с помощью параллельных переносов графика функции $y = a x^{2}$ . Тогда если представить квадратичную функцию $y = a x^{2} + b x + c$ в этом виде, то мы легко сможем построить график любой квадратичной функции.

Но выделять каждый раз квадрат двучлена долго, поэтому выразим $m$ и $n$ через коэффициенты квадратичной функции $a$ , $b$ и $c$ . Выделим из трёхчлена $a x^{2} + b x + c$ квадрат двучлена:

$a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) =$

$= a (x^{2} + 2 x \cdot \frac{b}{2 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a}) =$

$= a ({(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$

Мы получили, что квадратичная функция $y = a (x - m)^{2} + n$ имеет вид $y = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$ , т.е. $m = - \frac{b}{2 a}$ , $n = \frac{- b^{2} + 4 a c}{4 a}$ .

Значит, график функции $y = a x^{2} + b x + c$ есть парабола, которую можно получить из графика функции $y = a x^{2}$ помощью двух параллельных переносов – сдвига вдоль оси $x$ и сдвига вдоль оси $y$ .

Точка с координатами $(m; n)$ , где $m = - \frac{b}{2 a}$ , $n = \frac{- b^{2} + 4 a c}{4 a}$ называется вершиной параболы квадратичной функции.

Заметим, что абсциссу $m$ вершины удобно находить по формуле $m = - \frac{b}{2 a}$ . Ординату $n$ можно находить, подставив найденное значение абсциссы в формулу $y = a (x - m)^{2} + n$ , так как при $x = m :$

$y = a x^{2} + b x + c = a {(x - m)}^{2} + n = n$ .

Другими словами, координаты вершины $(m; n)$ параболы квадратичной функции $y = a x^{2} + b x + c$ можно записать в таком виде:

$(- \frac{b}{2 a}; y (- \frac{b}{2 a}))$ .

Иногда для записи координат вершины параболы вместо $m$ и $n$ используют $x$ и $y$ с индексами, например, $(x_{0}; y_{0})$ или $(x_{в .}; y_{в .})$ .

Алгоритм построения графика квадратичной функции

Исходя из всех полученных выводов, можно подвести следующий итог.

График функции $y = a x^{2} + b x + c$ есть парабола, которую можно получить из графика функции $y = a x^{2}$ с помощью двух параллельных переносов – сдвига вдоль оси $x$ и сдвига вдоль оси $y$ , вершиной которой является точка $(m; n)$ , где $m = - \frac{b}{2 a}$ , $n = y (m)$ . Осью симметрии параболы служит прямая $x = m$ , параллельная оси $y$ . При $a > 0$ ветви параболы направлены вверх, а при $a < 0$ - вниз.

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1. найти координаты вершины параболы и отметить их в координатной плоскости;

2. построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе;

3. соединить отмеченные точки плавной линией.

Пример 1

Построить график функции $y = 2 x^{2} - 2 x - 4$ .

Рис. 1. График функции y=2x²-2x-4

Решение

Графиком функции $y = 2 x^{2} - 2 x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты $m$ и $n$ вершины этой параболы:

$m = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 2}{4} = \frac{1}{2}$ ,

$n = 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 2 \cdot (\frac{1}{2}) - 4 = - 4 \frac{1}{2}$ .

Вершина параболы – точка $(\frac{1}{2}; - 4 \frac{1}{2})$ .

Составим таблицу:

$x$	-2	-1	0	0.5	1	2	3
$y$	8	0	-4	-4.5	-4	0	8

Построим график этой функции по таблице (рис.1).

При составлении таблицы и построении графика учитывалось, что прямая $x = 0.5$ является осью симметрии параболы. Поэтому мы брали точки с абсциссами 0 и 1, -1 и 2, -2 и 3, симметричные относительно прямой $x = 0.5$ (эти точки имеют одинаковые ординаты).

Пример 2

Построить график функции $y = - x^{2} + 4 x - 5$ .

Рис. 2. График функции y=-x²+4x-5

Решение

Графиком функции $y = - x^{2} + 4 x - 5$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты $m$ и $n$ вершины этой параболы:

$m = - \frac{b}{2 a} = - \frac{4}{- 2} = 2$ ,

$n = - 2^{2} + 4 \cdot 2 - 5 = - 1$ .

Вычислим координаты еще нескольких точек, получим таблицу:

$x$	0	1	2	3	4
$y$	-5	-2	-1	-2	-5

Построим график этой функции по таблице (рис. 2).

Упражнение 1

Построить график квадратичной функции:

$y = - 0, 5 x^{2} - 0, 5 x + 3$
$y = 3 x^{2} - 6 x + 3$

Контрольные вопросы:

1. Как найти координаты вершины параболы?

2. Зачем нужна ось симметрии для построения графика квадратичной функции?

3. С чего начинается алгоритм построения параболы?

Ответы

Упражнение 1

Конспект урока: Построение графика квадратичной функции

Функции

Вершина параболы

Алгоритм построения графика квадратичной функции