[header]Построение графика квадратичной функции[/header]
[flex column='true'][row title='План урока']
- Вершина параболы;
- Алгоритм построения квадратичной функции;
- Примеры построений графика квадратичной функции.
[/row][row title='Цели урока']
- Уметь строить график квадратичной функции;
- Знать свойства квадратичной функции;
- Уметь находить координаты вершины квадратичной функции.
[/row][row title='Разминка' final]
- Что такое параллельный перенос графика?
- Какими свойствами обладает функция ?
- Чему равны корни уравнения ?
[/row][/flex]
Вершина параболы
Мы уже умеем строить график квадратичной функции вида с помощью параллельных переносов графика функции . Тогда если представить квадратичную функцию в этом виде, то мы легко сможем построить график любой квадратичной функции.
Но выделять каждый раз квадрат двучлена долго, поэтому выразим и через коэффициенты квадратичной функции , и . Выделим из трёхчлена квадрат двучлена:
Мы получили, что квадратичная функция имеет вид , т.е. , .
Значит, график функции есть парабола, которую можно получить из графика функции помощью двух параллельных переносов – сдвига вдоль оси и сдвига вдоль оси .
[line][/line]
[section icon='note']
Точка с координатами , где , называется вершиной параболы квадратичной функции.
[/section]
[line][/line]
Заметим, что абсциссу вершины удобно находить по формуле . Ординату можно находить, подставив найденное значение абсциссы в формулу , так как при
.
Другими словами, координаты вершины параболы квадратичной функции можно записать в таком виде:
.
Иногда для записи координат вершины параболы вместо и используют и с индексами, например, или .
Алгоритм построения графика квадратичной функции
Исходя из всех полученных выводов, можно подвести следующий итог.
График функции есть парабола, которую можно получить из графика функции с помощью двух параллельных переносов – сдвига вдоль оси и сдвига вдоль оси , вершиной которой является точка , где , . Осью симметрии параболы служит прямая , параллельная оси . При ветви параболы направлены вверх, а при - вниз.
[line][/line]
[section icon='note']
Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:
1. найти координаты вершины параболы и отметить их в координатной плоскости;
2. построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе;
3. соединить отмеченные точки плавной линией.
[/section]
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 1
[/section]
Построить график функции .
[line][/line]
[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/14oRKv0NRlah_image.png' name='Рис. 1. График функции y=2x2-2x-4' float='right' width='30']
Решение
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем координаты и вершины этой параболы:
,
.
Вершина параболы – точка .
Составим таблицу:
[/img]
[table][tr][td]
[/td][td]
-2
[/td][td]
-1
[/td][td]
0
[/td][td]
0.5
[/td][td]
1
[/td][td]
2
[/td][td]
3
[/td][/tr][tr][td]
[/td][td]
8
[/td][td]
0
[/td][td]
-4
[/td][td]
-4.5
[/td][td]
-4
[/td][td]
0
[/td][td]
8
[/td][/tr][/table]
Построим график этой функции по таблице (рис.1).
При составлении таблицы и построении графика учитывалось, что прямая является осью симметрии параболы. Поэтому мы брали точки с абсциссами 0 и 1, -1 и 2, -2 и 3, симметричные относительно прямой (эти точки имеют одинаковые ординаты).
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 2
[/section]
Построить график функции .
[line][/line]
[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/8y7Crms26Ut2_image.png' name='Рис. 2. График функции y=-x2+4x-5' float='right' width='30']
Решение
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты и вершины этой параболы:
,
.
Вычислим координаты еще нескольких точек, получим таблицу:
[/img]
[table][tr][td]
[/td][td]
0
[/td][td]
1
[/td][td]
2
[/td][td]
3
[/td][td]
4
[/td][/tr][tr][td]
[/td][td]
-5
[/td][td]
-2
[/td][td]
-1
[/td][td]
-2
[/td][td]
-5
[/td][/tr][/table]
Построим график этой функции по таблице (рис. 2).
[line][/line]
[section icon='exercise']
Упражнение 1
[/section]
Построить график квадратичной функции:
[line][/line]
[section icon='question']
Контрольные вопросы:
1. Как найти координаты вершины параболы?
2. Зачем нужна ось симметрии для построения графика квадратичной функции?
3. С чего начинается алгоритм построения параболы?
[/section]
[line][/line]
[flex column='true'][row title='Ответы' final]
Упражнение 1
[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/bo86kauLUZyY_image.png' width='70']
1.
[/img]
[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/AYYgIBvYbtRy_image.png' width='70']
2.
[/img]
[/row][/flex]
[line][/line]