Умножение многочлена на многочлен

План урока

Правило умножения многочлена на многочлен;
Решение заданий.

Цели урока

Знать правило умножения многочленов;
Уметь умножать многочлен на многочлен.

Разминка

Что называется одночленом? Многочленом?
Что значит привести к стандартному виду многочлен?
По какому правилу умножают одночлен на многочлен?
Изменится ли многочлен, если его умножить на 1?
Вспомните распределительный закон умножения.

Умножение многочлена на многочлен

Мы уже умеем умножать одночлен на многочлен. И теперь нам не составит труда получить правило умножения многочлена на многочлен. Рассмотрим произведение двучленов $a + b$ и $c + d$ .

Итак, нам нужно найти произведение $(a + b) (c + d)$ . Введем новую переменную $x = c + d$ . Тогда наше произведение примет вид:

$(a + b) (c + d) = (a + b) x$

Мы получили умножение многочлена $a + b$ на одночлен $x$ . Выполним это умножение по ранее изученному правилу, а затем вернемся к исходным переменным.

$(a + b) (c + d) = (a + b) x = a x + b x = a (c + d) + b (c + d) =$

$= a c + a d + b c + b d$

Таким образом, при умножении многочленов $a + b$ и $c + d$ , мы получили новый многочлен $a c + a d + b c + b d$ . Этот многочлен является суммой всех одночленов, полученных при умножении каждого члена многочлена $a + b$ на каждый член многочлена $c + d$ .

С помощью схемы можно наглядно показать, как происходило умножение.

Рассмотрим еще один пример. Найдем произведение многочленов $a + b + c$ и $m + k$ . Аналогичным образом введем новую переменную $x = m + k$ , выполним умножение многочлена $a + b + c$ на одночлен $x$ и вернемся к исходным переменным.

$(a + b + c) (m + k) = (a + b + c) x = a x + b x + c x =$

$= a (m + k) + b (m + k) + c (m + k) =$

$= a m + a k + b m + b k + c m + c k$

В этом случае схема умножения будет выглядеть следующим образом:

Теперь можно сформулировать правило умножения многочленов.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Пример 1

Выполните умножение многочленов:

а) $(a + 2) (a + 3)$ ;

б) $(x + y) (x + 1)$ ;

в) $(b + 4) (c - 5)$ ;

г) $(- x + y) (- x - y)$ .

Решение

а) $(a + 2) (a + 3) = a \cdot a + a \cdot 3 + 2 \cdot a + 2 \cdot 3 = a^{2} + 3 a + 2 a + 6 = a^{2} + 5 a + 6$

б) $(x + y) (x + 1) = x \cdot x + x \cdot 1 + y \cdot x + y \cdot 1 = x^{2} + x + x y + y$

в) $(b + 4) (c - 5) = b \cdot c + b \cdot (- 5) + 4 \cdot c + 4 \cdot (- 5) = b c - 5 b + 4 c - 20$

г) $(- x + y) (- x - y) = - x \cdot (- x) + (- x) \cdot (- y) + y \cdot (- x) + y \cdot (- y) =$

$= x^{2} + x y - y x - y^{2} = x^{2} - y^{2}$

Упражнение 1

Выполните умножение многочленов:

а) $(a + 6) (a - 8)$ ;

б) $(x - 7) (- x - 2)$ ;

в) $(2 x + 1) (x + 3)$ ;

г) $(3 c - 2) (2 c - 1)$ .

Обратите внимание, если у одного из многочленов $m$ членов, а у другого $n$ членов, то в произведении (до приведения подобных слагаемых) должно быть $m n$ членов. Этим можно пользоваться для контроля умножения многочленов. В примере 1 мы умножали двучлены, поэтому, до приведения подобных слагаемых, получили сумму четырех слагаемых.

Если стоит задача умножить несколько многочленов, то нужно это делать поочередно. При этом после очередного умножения нужно привести подобные члены. Рассмотрим пример такого умножения.

Пример 2

Выполните умножение многочленов: $(x + y) (x + 2 y) (x - 3 y)$ .

Решение

Сначала перемножим первый и второй многочлен. Потом полученный результат умножим на третий многочлен.

Ответ: $x^{3} - 7 x y^{2} - 6 y^{3}$ .

Пример 3

а) Упростите выражение: $(x - 5) (x + 4) - x (x - 1)$ .

б) Квадрат двучлена представьте в виде произведения, а затем преобразуйте в многочлен стандартного вида: ${(x + 3)}^{2}$ .

Решение

а) Умножим многочлены $x - 5$ и $x + 4$ по правилу умножения многочленов. И умножим одночлен $x$ на многочлен $x - 1$ .

$(x - 5) (x + 4) - x (x - 1) = x \cdot x + x \cdot 4 - 5 x - 5 \cdot 4 - x \cdot x - x (- 1) =$

$= x^{2} + 4 x - 5 x - 20 - x^{2} + x$

Приведем подобные слагаемые:

$x^{2} + 4 x - 5 x - 20 - x^{2} + x = 20$

б) Возведение в квадрат означает умножение многочлена самого на себя два раза, т.е.

${(x + 3)}^{2} = (x + 3) (x + 3)$

Далее умножаем два многочлена по правилу умножения и приводим подобные слагаемые:

${(x + 3)}^{2} = (x + 3) (x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 \cdot x + 3 \cdot 3 = x^{2} + 3 x + 3 x + 9 =$

$= x^{2} + 6 x + 9$

Пример 4

Упростите выражение: $(x^{2} - 3 x + 1) (x^{2} - 3 x + 5) - (x^{2} - 3 x + 2) (x^{2} - 3 x - 3)$ .

Решение

Заметим, что у всех многочленов в данном примере есть общая часть $x^{2} - 3 x$ .

$(x^{2} - 3 x + 1) (x^{2} - 3 x + 5) - (x^{2} - 3 x + 2) (x^{2} - 3 x - 3)$

Введем новую переменную $y = x^{2} - 3 x$ . Тогда выражение примет вид:

$(y + 1) (y + 5) - (y + 2) (y - 3)$

Выполним умножение многочленов и приведем подобные слагаемые:

$(y + 1) (y + 5) - (y + 2) (y - 3) = y^{2} + 5 y + y + 5 - y^{2} + 3 y - 2 y + 6 = 7 y + 11$

Выполним обратную замену:

$7 y + 11 = 7 (x^{2} - 3 x) + 11 = 7 x^{2} - 21 x + 11$

Упражнение 2

1. Выполните умножение многочленов:

а) $(y - 5) (y + 4) (y + 1)$ ;

б) $(3 a - 1) (a + 5) (a - 7)$ .

2. Упростите выражение:

а) $(x + 6) (x - 4) - x (x + 2)$ ;

б) $(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1)$ .

3. Квадрат двучлена представьте в виде произведения, а затем преобразуйте в многочлен стандартного вида:

а) ${(x + 6)}^{2}$ ;

б) ${(x - 1)}^{2}$ .

4*. Упростите выражение: $(x - 1) (x - 6) (x^{2} - 7 x - 3) - (x - 3) (x - 4) (x^{2} - 7 x + 1)$

Контрольные вопросы

1. Как умножить многочлены?

2. Что является результатом умножения многочленов?

3. Зависит ли произведение двух многочленов от порядка множителей?

4. По какому правилу умножают три и более многочленов?

Ответы

Упражнение 1

а) $a^{2} - 2 a - 48$ ;

б) $- x^{2} + 5 x + 14$ ;

в) $2 x^{2} + 7 x + 3$ ;

г) $6 c^{2} - 7 c + 2$ .

Упражнение 2

1. а) $y^{3} - 21 y - 20$ ;

б) $3 a^{3} - 7 a^{2} - 103 a + 35$ .

2. а) $- 24$ ;

б) $x^{4} - 1$ .

3. а) $x^{2} + 12 x + 36$ ;

б) $x^{2} - 2 x + 1$ .

4*. Замена переменной $y = x^{2} - 7 x$ . Тогда

$(y + 6) (y - 3) - (y + 12) (y + 1) = - 10 y - 30$ .

Ответ: $10 x^{2} + 70 x - 30$ .

Конспект урока: Умножение многочлена на многочлен

Многочлены

Умножение многочлена на многочлен